賀芙蓉，操德文,2*，吳 健,2

(1.安慶師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 安慶 246133；2.安慶師范大學(xué) 智能感知與計(jì)算安徽省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 安慶 246133)

近年來(lái)，由于實(shí)際應(yīng)用中對(duì)節(jié)省系統(tǒng)資源的需要，基于事件觸發(fā)機(jī)制的控制方法成為研究熱點(diǎn)之一[1-8]。Song 等[3]提出了一個(gè)基于事件觸發(fā)機(jī)制的自適應(yīng)固定時(shí)間控制方案，來(lái)研究無(wú)人車(chē)系統(tǒng)的軌跡跟蹤問(wèn)題，在保證閉環(huán)系統(tǒng)固定時(shí)間穩(wěn)定性的同時(shí)，減少控制器往執(zhí)行器發(fā)送控制信號(hào)的次數(shù)。研究表明，相較于周期性地發(fā)送控制信號(hào)的時(shí)間觸發(fā)機(jī)制，事件觸發(fā)機(jī)制只有在滿足觸發(fā)條件時(shí)才通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳輸數(shù)據(jù)，從而大大節(jié)省了系統(tǒng)的通訊資源。

有限時(shí)間控制的效果受到系統(tǒng)初始狀態(tài)的約束，而由其發(fā)展而來(lái)的固定時(shí)間控制解決了這一問(wèn)題，因而受到學(xué)者的廣泛關(guān)注，并取得了許多成果[9-15]。從研究可知，固定時(shí)間的控制性能與被控系統(tǒng)的初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，只與系統(tǒng)控制參數(shù)選取有關(guān)，因而廣泛應(yīng)用于各種動(dòng)力系統(tǒng)[16-18]。安思宇等[16]提出了一個(gè)基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的反推控制策略，解決了單鏈路機(jī)械臂的固定時(shí)間跟蹤控制問(wèn)題。

雖然文獻(xiàn)[16]中采取了固定時(shí)間控制策略來(lái)解決系統(tǒng)跟蹤問(wèn)題，但是由于其選擇了周期性時(shí)間觸發(fā)機(jī)制，所以導(dǎo)致控制器向執(zhí)行器發(fā)送了許多不必要的更新信號(hào)，從而出現(xiàn)了嚴(yán)重的資源浪費(fèi)問(wèn)題。為了節(jié)省系統(tǒng)通訊資源，減小系統(tǒng)壓力，本文針對(duì)單鏈路機(jī)械臂系統(tǒng)，研究基于事件觸發(fā)機(jī)制的固定時(shí)間跟蹤控制問(wèn)題。 本文的主要工作如下：1) 研究一種結(jié)合反推法和Lyapunov函數(shù)的固定時(shí)間控制方法；2) 通過(guò)事件觸發(fā)機(jī)制來(lái)優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)和通信資源占用問(wèn)題, 同時(shí)為了避免出現(xiàn)傳統(tǒng)反推控制中存在的“計(jì)算爆炸”問(wèn)題, 引入帶有命令濾波器的新型控制方法；3) 此外，本文采用固定時(shí)間控制方案，在閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)的所有信號(hào)有界的情況下,使得系統(tǒng)輸出信號(hào)能夠追蹤上期望信號(hào)，且收斂時(shí)間與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，跟蹤誤差收斂到平衡點(diǎn)附近的一個(gè)小鄰域內(nèi)。

1 問(wèn)題描述及預(yù)備知識(shí)

1.1 系統(tǒng)模型

考慮如下形式的單鏈路機(jī)械臂系統(tǒng)模型：

(1)

其中，b(t)表示機(jī)械臂的角度，m和l分別表示連桿的質(zhì)量和長(zhǎng)度，g是重力加速度，M是瞬時(shí)慣性，u(t)是輸入扭矩，y(t)是系統(tǒng)的輸出信號(hào)。

(2)

控制目標(biāo)是針對(duì)模型(1)設(shè)計(jì)的一種基于事件觸發(fā)的固定時(shí)間跟蹤控制方法，滿足：

1)系統(tǒng)輸出y(t)在固定時(shí)間內(nèi)跟蹤上參考信號(hào)yg(t)；

2)其跟蹤誤差在預(yù)定義的固定時(shí)間內(nèi)收斂到零附近的任意小鄰域內(nèi)。

針對(duì)單鏈路機(jī)械臂模型(1)，文獻(xiàn)[16]提出的反推控制方法，解決了固定時(shí)間內(nèi)機(jī)械臂系統(tǒng)的跟蹤問(wèn)題，使得系統(tǒng)輸出信號(hào)可以在固定時(shí)間內(nèi)跟蹤上期望信號(hào)，但是其采用的時(shí)間觸發(fā)機(jī)制大大占用了系統(tǒng)通信資源。針對(duì)這一問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)控制器時(shí)采用基于相對(duì)閾值的事件觸發(fā)機(jī)制，降低網(wǎng)絡(luò)和通信資源占用率，減小系統(tǒng)傳輸壓力，更貼合實(shí)際應(yīng)用情景；同時(shí)為了避免傳統(tǒng)反推法中對(duì)虛擬控制器重復(fù)微分而產(chǎn)生的“計(jì)算爆炸”問(wèn)題, 本文使用帶有命令濾波器的新型控制方法。

1.2 重要引理和假設(shè)

為了實(shí)現(xiàn)上述控制目標(biāo),針對(duì)模型(1)作如下假設(shè)：

(3)

(4)

(5)

引理4[14]考慮下面非線性系統(tǒng)模型：

(6)

其中，x表示系統(tǒng)狀態(tài)變量，f(·)為光滑連續(xù)的非線性函數(shù)。假設(shè)存在正定函數(shù)V(x)，且其一階導(dǎo)數(shù)形式可表示為

(7)

則模型(6)可以在固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，且系統(tǒng)跟蹤誤差收斂于平衡點(diǎn)附近的一個(gè)任意小鄰域內(nèi)，其中μ1，μ2∈R+，a0>1，0

(8)

為了便于討論，以下推導(dǎo)過(guò)程省略時(shí)間變量t。

2 主要結(jié)果

2.1 事件觸發(fā)控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)結(jié)合濾波器和固定時(shí)間穩(wěn)定性理論，采用反推法，提出一種針對(duì)單鏈路機(jī)械臂的事件觸發(fā)跟蹤控制方案。首先將跟蹤誤差定義為

z1=y-yg，

(9)

引入如下坐標(biāo)變換:

z2=x2-γ，

(10)

其中γ滿足方程(11)。

針對(duì)模型(2)，下面給出具體的控制器設(shè)計(jì)過(guò)程：

第一步：為了克服傳統(tǒng)反推控制方法存在的復(fù)雜性問(wèn)題，將虛擬控制器通過(guò)如下二階濾波器表示：

(11)

其中:虛擬控制器α1是濾波器的輸入，其具體表達(dá)式后面會(huì)給出；γ是濾波器的輸出。定義濾波器誤差為

ε=γ-α1。

(12)

結(jié)合公式(2)和公式(9)，對(duì)z1求導(dǎo)，可得

(13)

再由公式(10)和公式(13)，可得

(14)

構(gòu)造第一個(gè)子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù):

(15)

結(jié)合公式(12)和公式(14)，對(duì)V1求一階導(dǎo)數(shù)，可得

(16)

設(shè)計(jì)虛擬控制器α1如下：

，

(17)

，

(18)

(19)

其中：σ10∈R+為待設(shè)計(jì)參數(shù)，且滿足σ10→0；系數(shù)c1，c2由下面的式子計(jì)算：

(20)

根據(jù)引理1和公式(17)，公式(16)中的z1α1可表示為

(21)

將公式(18)和公式(21)代入公式(16)，整理后得

(22)

情形1：當(dāng)|z1|≥σ10>0時(shí)，

(23)

情形2：當(dāng)|z1|≤σ10時(shí)，

(24)

第二步：結(jié)合公式(10)和模型(2)，得z2的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

(25)

考慮以下Lyapunov函數(shù)：

(26)

計(jì)算得出V2的導(dǎo)數(shù)為

(27)

基于公式(27)，設(shè)計(jì)控制器如下：

(28)

(29)

其中，S21∈R+,S22∈R+為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

(30)

(31)

其中，ω(t)=α2(t)-u(t),β0∈(0,1),β1∈(0,∞)為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

因此，在區(qū)間[ts,ts+1)內(nèi)，由于公式(30)和公式(31)，控制器α2滿足

α2=(1+K0β0)u+K1β1。

(32)

其中，K0(t)和K1(t)為時(shí)變常數(shù)，并且滿足|K0(t)|≤1，|K1(t)|≤1。

因此，由公式(32)式可得

(33)

(34)

由控制器公式(28)可得z2α2≤0。又因|K0(t)|≤1和|K1(t)|≤1，可以得到

(35)

(36)

結(jié)合引理1、公式(28)和公式(35)，采取類(lèi)似于公式(21)中的分析，可以得到

。

(37)

(38)

(39)

(40)

其中σ=σ1+σ2。

令q1=min(S11,S21)，q2=min(S12,S22)，根據(jù)引理2 和引理3，可以得到

(41)

(42)

將公式(41)和公式(42)代入公式(40)中，可得

(43)

(44)

根據(jù)引理4，其收斂時(shí)間即為

(45)

2.2 穩(wěn)定性分析

定理1：針對(duì)給定的單鏈路機(jī)械臂系統(tǒng)模型(1)，在滿足假設(shè)1后，采用事件觸發(fā)控制策略公式(30)、(31),命令濾波器公式(11)以及虛擬控制器公式(17)和(28)，并選取合適的設(shè)計(jì)參數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)模型(1)在固定時(shí)間內(nèi)能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)中所有信號(hào)都是有界的，并且其跟蹤誤差收斂于平衡點(diǎn)鄰近的一個(gè)任意小的區(qū)域內(nèi)。

3 仿真與驗(yàn)證

本節(jié)使用MATLAB進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證本文中提出的控制策略的可行性和有效性。

機(jī)械臂系統(tǒng)中的控制參數(shù)選取為M=1，m=1，g=9.8 m/s2，l=1。系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x1(0)=0.02，x2(0)=0.1。系統(tǒng)參考信號(hào)為yg=0.4×sin(3t)。事件觸發(fā)控制策略里的參數(shù)設(shè)置為β0=0.8，β1=0.5。命令濾波器中的參數(shù)設(shè)計(jì)為μ1.1=10，μ1.2=50，μ1.3=10，μ1.4=8，v1.1=1，v1.2=5，v1.3=8，v1.4=1。

虛擬控制器α1、α2中的參數(shù)設(shè)計(jì)為σ1=1，σ2=1，S11=60，S12=60，S21=10，S22=10。

仿真結(jié)果如圖1～圖6所示。圖1展示了系統(tǒng)輸出信號(hào)y和預(yù)期跟蹤信號(hào)yg的軌跡，可以看出，本文設(shè)計(jì)的固定時(shí)間事件觸發(fā)控制策略可確保系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能。圖2和圖3分別展示了系統(tǒng)跟蹤誤差z1和命令濾波輸出信號(hào)γ的軌跡。圖4展示了控制器α2經(jīng)過(guò)事件觸發(fā)機(jī)制后產(chǎn)生的系統(tǒng)實(shí)際控制輸入信號(hào)u。且由圖2～圖4不難看出，系統(tǒng)的跟蹤誤差z1、控制器控制信號(hào)u以及命令濾波器γ的輸出都是有界的。圖5～圖6分別給出了文獻(xiàn)[16]中使用時(shí)間觸發(fā)機(jī)制和本文采用事件觸發(fā)機(jī)制的系統(tǒng)事件觸發(fā)時(shí)刻和觸發(fā)時(shí)間間隔結(jié)果。從圖5、圖6中可以看出，文獻(xiàn)[16]中采用的時(shí)間觸發(fā)機(jī)制嚴(yán)格遵循固定時(shí)間間隔觸發(fā)，而本文使用的事件觸發(fā)機(jī)制使得觸發(fā)間隔時(shí)間更長(zhǎng)，減輕了系統(tǒng)的通信負(fù)擔(dān)。

表1 文獻(xiàn)[16]方法與本文方法性能對(duì)比

4 結(jié)論

本文針對(duì)單鏈路機(jī)械臂系統(tǒng)，提出了一種基于事件觸發(fā)機(jī)制的新型固定時(shí)間控制策略，確保系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)能夠跟蹤上預(yù)期參考信號(hào)，并且收斂時(shí)間與機(jī)械臂初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，跟蹤誤差能夠收斂到平衡點(diǎn)鄰近的任意小的區(qū)域內(nèi)。通過(guò)引入事件觸發(fā)機(jī)制，降低了系統(tǒng)中傳輸控制信號(hào)的頻率，很大程度上節(jié)約了系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)和通信資源。同時(shí)，利用命令濾波器解決了傳統(tǒng)反推設(shè)計(jì)方法中存在的“計(jì)算爆炸”問(wèn)題，大大降低了計(jì)算量。