相飛華，王杰貴

(國防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

無源定位系統(tǒng)因具有隱蔽性強(qiáng)、探測(cè)距離遠(yuǎn)、適用范圍廣等特點(diǎn)在電子對(duì)抗領(lǐng)域備受關(guān)注，而單站無源定位更是以其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)引人注目[1-2]。長期以來，如何提高定位系統(tǒng)的精確性和實(shí)時(shí)性一直是研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。單站無源定位系統(tǒng)是典型的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，因此非線性濾波問題成為單站無源定位技術(shù)研究的焦點(diǎn)之一。

常見的非線性估計(jì)算法有擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)[3]及其衍生算法、無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter, UKF)[4]等，但這些算法精度有限且都存在一定缺陷，對(duì)強(qiáng)非線性系統(tǒng)的濾波表現(xiàn)出明顯的不適應(yīng)性。近年來，容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter, CKF)[5-6]得到廣泛應(yīng)用，其采用球面徑向容積規(guī)則，估計(jì)精度可達(dá)3階，但濾波過程中存在矩陣求逆和分解運(yùn)算，穩(wěn)定性不易保證。平方根容積卡爾曼濾波(square-root cubature Kalman filter, SRCKF)通過正交三角分解(QR分解)引入?yún)f(xié)方差矩陣的平方根進(jìn)行遞推運(yùn)算，保持了更新過程協(xié)方差矩陣的對(duì)稱性和非負(fù)定性，濾波精度和穩(wěn)定性更高。針對(duì)固定單站無源定位模型狀態(tài)方程線性和觀測(cè)方程非線性的特點(diǎn)，利用容積點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)近似會(huì)帶來狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差；在時(shí)間更新環(huán)節(jié)對(duì)SRCKF算法進(jìn)行線性簡化[7-8]，避免了加權(quán)近似誤差，數(shù)值精度和運(yùn)算效率得到提高。

現(xiàn)有技術(shù)條件下，單站無源定位系統(tǒng)的參數(shù)測(cè)量精度有限[9]，導(dǎo)致濾波跟蹤效果不夠理想。有研究分別將迭代思想運(yùn)用到EKF、UKF和CKF算法中[10-12]，充分利用量測(cè)信息，結(jié)果表明對(duì)于不同的濾波器，迭代運(yùn)算都在一定程度上改善了濾波跟蹤的效果。因此，本文在線性簡化SRCKF算法基礎(chǔ)上，引入迭代思想，進(jìn)一步優(yōu)化，形成了迭代簡化改進(jìn)的SRCKF算法。

1 改進(jìn)的SRCKF算法

1.1 SRCKF算法

在CKF算法中，利用Cholesky分解代替QR分解，在遞推濾波運(yùn)算中引入?yún)f(xié)方差矩陣的平方根，就形成了SRCKF算法。SRCKF算法流程如下。由狀態(tài)維數(shù)計(jì)算容積點(diǎn)和權(quán)值：

(1)

式(1)中，[1]=[I,-I]，m=2n。

1)時(shí)間更新

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式(6)中，Tria(·)表示矩陣QR分解。

(7)

(8)

2) 量測(cè)更新

(9)

Zi,k+1|k=hk+1(Xi,k+1|k)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

1.2 線性簡化

考慮狀態(tài)方程為線性時(shí)，對(duì)時(shí)間更新環(huán)節(jié)簡化，通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣直接求取狀態(tài)變量和協(xié)方差矩陣一步預(yù)測(cè)值，避免求容積點(diǎn)誤差，同時(shí)減少計(jì)算。

1) 狀態(tài)向量的一步預(yù)測(cè)簡化

(20)

2)協(xié)方差矩陣的一步預(yù)測(cè)簡化

根據(jù)QR分解的定義可將式(6)寫為：

(21)

(22)

(23)

將式(7)、式(8)代入式(23)，有：

(24)

根據(jù)式(3)、式(4)和式(21)，將式(24)寫為：

(25)

根據(jù)式(1)可知：

(26)

再結(jié)合式(22)，式(25)可表示為：

(27)

觀察式(20)、式(27)可以發(fā)現(xiàn)，這兩步與卡爾曼濾波算法的一步預(yù)測(cè)狀態(tài)相同。

1.3 迭代算法

在卡爾曼濾波算法中，前一時(shí)刻狀態(tài)和當(dāng)前量測(cè)被用來修正當(dāng)前狀態(tài)的預(yù)測(cè)值，因此前一時(shí)刻狀態(tài)的估計(jì)精度對(duì)以后時(shí)刻狀態(tài)的精確性和穩(wěn)定性有很大影響。在上節(jié)基礎(chǔ)上引入迭代理論，形成迭代簡化改進(jìn)的SRCKF算法，核心思想是在前向?yàn)V波消除大量噪聲的前提下，對(duì)量測(cè)更新過程進(jìn)行迭代運(yùn)算，充分利用最新量測(cè)信息，提高濾波估計(jì)精確度和穩(wěn)定度。

2 基于改進(jìn)SRCKF的固定單站無源定位算法

2.1 固定單站無源定位

目標(biāo)輻射源做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，固定單站無源定位二維平面幾何關(guān)系圖如圖1。設(shè)固定單觀測(cè)站在原點(diǎn)位置，目標(biāo)輻射源的位置記為T(x,y)，在k時(shí)刻，其相對(duì)于觀測(cè)站O的徑向距離為rk，方位角為βk。

圖1 固定單站無源定位幾何關(guān)系圖Fig.1 Geometric relationship of fixed single station passive location system

Xk+1=FXk+GWk

(28)

觀測(cè)方程可表示為：

Zk=h(Xk)+Vk

(29)

式(29)中，h(·)是狀態(tài)向量到觀測(cè)量的非線性變換函數(shù)，Vk表示量測(cè)噪聲，是均值為零的高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為Rk。

(30)

2.2 算法流程

基于改進(jìn)SRCKF的固定單站無源定位算法流程如下所示。

1)時(shí)間更新

(31)

2)量測(cè)更新

①計(jì)算量測(cè)一步預(yù)測(cè)

(32)

②計(jì)算新息協(xié)方差陣的平方根

(33)

(34)

③計(jì)算互協(xié)方差陣

(35)

(36)

④計(jì)算增益矩陣

(37)

⑤計(jì)算狀態(tài)向量更新

(38)

⑥計(jì)算誤差協(xié)方差陣平方根更新

(39)

3 仿真與分析

為檢驗(yàn)改進(jìn)算法的性能，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并與文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[12]算法進(jìn)行比較。采用相對(duì)距離誤差(relative range error, RRE)描述算法性能，定義式為：

(40)

仿真條件設(shè)置：固定單觀測(cè)站位于原點(diǎn)O處，目標(biāo)輻射源做勻速直線運(yùn)動(dòng)，初始位置為(120,90) km，飛行速度為(-300,100) m/s，加速度擾動(dòng)噪聲為0.1 m/s2。輻射源信號(hào)載頻為10 GHz，觀測(cè)周期T=1 s，觀測(cè)時(shí)長為200 s。設(shè)初始狀態(tài)估計(jì)相對(duì)誤差為20%，對(duì)觀測(cè)量方位角、角速度和多普勒頻率變化率，分別給定兩組高低不同的測(cè)量精度：

進(jìn)行100次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)，定位跟蹤結(jié)束時(shí)刻RRE<5%，視本次實(shí)驗(yàn)收斂，否則發(fā)散。定位精度為濾波結(jié)束時(shí)RRE的統(tǒng)計(jì)平均值，且已剔除濾波發(fā)散次數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2、圖3和表1所示。

圖2 高觀測(cè)精度條件下各算法性能比較Fig.2 Performance comparison of algorithms under high observation accuracy

圖3 低觀測(cè)精度條件下各算法性能比較Fig.3 Performance comparison of algorithms under low observation accuracy

表1 不同測(cè)量精度穩(wěn)定性與計(jì)算效率比較Tab.1 Comparison of stability and calculation efficiency under different measurement accuracy

圖2和圖3顯示了高低兩種測(cè)量精度下三種算法的RRE曲線。測(cè)量精度較高時(shí)，三種算法收斂曲線都較為理想；測(cè)量精度較低時(shí)，各算法濾波精度也隨之降低，收斂速度變慢。綜合來看本文算法的定位精度最高，收斂速度最快。應(yīng)注意，圖中曲線是已剔除濾波發(fā)散實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。由表1知，在低測(cè)量精度條件下，文獻(xiàn)[7]算法和文獻(xiàn)[12]算法收斂次數(shù)明顯低于本文算法。

在測(cè)量精度較高時(shí)，三種算法均表現(xiàn)良好，收斂次數(shù)保持在較高水平；觀測(cè)精度降低時(shí)，各算法的收斂次數(shù)都有所減少。容易看出，在不同測(cè)量精度條件下，本文法穩(wěn)定性要優(yōu)于文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[12]算法。計(jì)算效率方面，文獻(xiàn)[7]算法單次遞推時(shí)間最短，效率最高，本文算法次之，而文獻(xiàn)[12]算法效率最低。究其原因，文獻(xiàn)[7]算法對(duì)SRCKF進(jìn)行時(shí)間更新的簡化降低了運(yùn)算開銷；本文算法與文獻(xiàn)[12]算法均引入了迭代算法，使得計(jì)算量增加，遞推時(shí)間變長；與文獻(xiàn)[12]算法相比，本文算法采取了與文獻(xiàn)[7]算法相同的簡化策略，在一定程度上建簡化了計(jì)算，運(yùn)算效率有所提升。

綜上，本文算法在不同觀測(cè)精度條件下的計(jì)算穩(wěn)定度、定位精度表現(xiàn)優(yōu)秀，收斂速度優(yōu)于文獻(xiàn)[12]算法，接近文獻(xiàn)[7]算法。在實(shí)際定位中，參數(shù)測(cè)量精度較差而對(duì)定位精度的要求又較高，在滿足實(shí)時(shí)性的條件下，增加計(jì)算量以提升濾波性能值得考慮。

此外，為了考察本文算法對(duì)初始狀態(tài)估計(jì)誤差的魯棒性，將其與CKF算法、SRCKF算法進(jìn)行比較。在觀測(cè)精度2)條件下，初始狀態(tài)估計(jì)相對(duì)誤差從0到100%等間隔取11組值，分別做100次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)，濾波結(jié)束時(shí)RRE的統(tǒng)計(jì)平均值如圖4所示。

圖4 各算法魯棒性比較Fig.4 Comparison of Rbustness of algorithms

可以看出，隨著初始狀態(tài)相對(duì)估計(jì)誤差逐漸增大，三種算法定位精度均逐漸降低。CKF算法對(duì)初始值相對(duì)誤差最為敏感，定位誤差上升最快；SRCKF算法次之；而本文算法定位誤差上升最慢，對(duì)初始值估計(jì)相對(duì)誤差變化最不敏感，表明了其良好的魯棒性。在實(shí)際跟蹤定位中，更注重單次濾波的穩(wěn)定性，因此本文算法表現(xiàn)更好。

4 結(jié)論

本文提出基于改進(jìn)SRCKF的固定單站無源定位算法，該算法在時(shí)間更新環(huán)節(jié)進(jìn)行線性簡化，避免求解容積點(diǎn)，改善了實(shí)時(shí)性和穩(wěn)定性；同時(shí)引入迭代理論，充分利用最新測(cè)量信息，保證濾波數(shù)值穩(wěn)定性，提高了定位跟蹤的精度。本文算法在固定單站無源定位系統(tǒng)的工程化方面具有實(shí)踐意義，同時(shí)也可應(yīng)用到其他非線性濾波領(lǐng)域。