一種低周疲勞損傷演化模型及裂紋成核缺口敏感性分析

黃小光，王志強，張典豪，程斌亮，葉貴根

（中國石油大學(xué)（華東）儲運與建筑工程學(xué)院，山東 青島 266580）

0 引 言

疲勞是工程結(jié)構(gòu)和材料在交變載荷作用下的低應(yīng)力破壞行為[1]。隨著金屬材料在機械、電子、航空航天等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，疲勞逐漸成為此類部件的主要失效模式之一[2-5]。疲勞失效一般可分為裂紋萌生、裂紋擴展和斷裂三個階段。對于沒有初始損傷的材料，裂紋萌生壽命通常占總壽命的80%以上[6]。因此，研究金屬材料的裂紋萌生壽命具有重要意義。

根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變與疲勞壽命的關(guān)系，疲勞通常可以分成應(yīng)力疲勞與應(yīng)變疲勞問題。人們根據(jù)對疲勞問題的理解，逐步建立了疲勞的材料力學(xué)、斷裂力學(xué)和損傷力學(xué)研究方法，以及相應(yīng)的疲勞壽命預(yù)測模型。S-N和ε-N曲線是最常用的高周或低周疲勞壽命預(yù)測材料力學(xué)方法[7-9]。斷裂力學(xué)方法最著名的當(dāng)屬Paris 公式，用于預(yù)測疲勞裂紋擴展速率[10-11]。近幾十年來，隨著連續(xù)損傷力學(xué)的發(fā)展，基于損傷演化的疲勞壽命預(yù)測受到了廣泛的關(guān)注[12-14]。Memon 等[15]利用損傷力學(xué)有限元方法研究了加載順序?qū)ζ趬勖挠绊?，驗證了基于損傷力學(xué)有限元法的疲勞壽命與實驗結(jié)果相一致；Tommy等[16]提出了一種針對關(guān)鍵部位進(jìn)行詳細(xì)的疲勞損傷分析的方法，可以大大簡化工程實際問題的計算過程；基于損傷步長的概念，張彥軍等[17]推導(dǎo)了疲勞裂紋萌生和擴展的預(yù)測公式，并對不同幾何參數(shù)的2024和7075鋁合金缺口板試件的全壽命進(jìn)行了預(yù)測；關(guān)迪等[18]根據(jù)連續(xù)損傷力學(xué)和能量原理，提出了一種新的低周疲勞損傷演化模型，有效預(yù)測了金屬材料的低周疲勞壽命。為滿足工程設(shè)計的要求，疲勞構(gòu)件不可避免地存在不同的缺口形狀。在循環(huán)荷載作用下，由于局部的應(yīng)力集中裂紋通常在結(jié)構(gòu)缺口處萌生。因此，設(shè)計合理的缺口形狀對提高缺口構(gòu)件的疲勞壽命至關(guān)重要。謝季佳[19]使用改進(jìn)的Tanaka-Mura模型揭示了梯度硬化厚度對疲勞裂紋萌生位置和壽命的影響；幸杰等[20]預(yù)測了缺口板試樣在高、低周疲勞載荷下的裂紋萌生壽命；李聰成等[21]結(jié)合初始應(yīng)力應(yīng)變場、連續(xù)損傷力學(xué)理論、單元失效與裂紋萌生準(zhǔn)則，構(gòu)建了蠕變-疲勞交互作用下P92鋼裂紋萌生的預(yù)測模型。

通過上述研究不難得知，對于必須加工缺口的疲勞試樣，缺口形貌設(shè)計及優(yōu)化對于提高疲勞壽命具有非常重要的意義，但即便如此，疲勞裂紋萌生對于缺口形貌的敏感性卻很少受到關(guān)注。因此，本文從損傷力學(xué)理論出發(fā)，建立低周疲勞損傷演化模型，并將其編寫為UMAT 用戶材料子程序耦合到ABAQUS 中，模擬APL X65 鋼缺口試樣疲勞損傷演化規(guī)律，統(tǒng)計裂紋萌生壽命與最大應(yīng)力的關(guān)系，分析缺口形貌對X65鋼裂紋萌生壽命的影響。分析結(jié)果對含缺口疲勞構(gòu)件的疲勞耐久性設(shè)計具有一定的參考價值。

1 損傷演化模型

對于受單軸交變載荷試樣，材料性能劣化的主要機制是微裂紋以及微孔洞導(dǎo)致的有效承載面積的減少。如圖1 所示，AD為材料受損時微裂紋及微孔洞的面積，A為材料無損狀態(tài)下的橫截面積。因此材料的損傷D可以表示為

圖1 單軸拉壓試樣損傷示意圖Fig.1 Schematic diagram of uniaxial sample damage

由連續(xù)損傷力學(xué)理論可知，低周疲勞損傷通常由能量耗散勢來表示，即

式中，Δεp表示單次循環(huán)的累積塑性應(yīng)變，Δσeq表示應(yīng)力幅，K和n分別為循環(huán)強度系數(shù)和循環(huán)應(yīng)變硬化指數(shù)。

由于單次循環(huán)累積的損傷很小，可將式（7）中的損傷變量D看成定值，將式（7）兩邊微分，則可以得到塑性應(yīng)變率的表達(dá)式為

假設(shè)材料初始損傷為0，裂紋萌生時，材料損傷D=1。即：N=0，D=0；N=Ni，D=1。對式（10）積分，材料低周疲勞裂紋萌生壽命可表示為

2 模型參數(shù)與損傷演化模擬

2.1 參數(shù)驗證

本文以X65管道鋼為研究對象，由文獻(xiàn)[22～23]給出的低周疲勞實驗數(shù)據(jù)，擬合得到上述低周疲勞損傷演化方程參數(shù)，如表1所示。

表1 X65管道鋼材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of X65 pipeline steel

利用擬合所得的損傷參數(shù)，借助FORTRAN語言將損傷演化方程編寫為UMAT 子程序，并耦合到ABAQUS 有限元軟件中。如圖2 所示，UMAT 子程序的實現(xiàn)主要分為以下幾個部分：參數(shù)輸入、失效判定、應(yīng)力應(yīng)變場計算以及損傷計算。模擬過程中，ABAQUS 調(diào)用UMAT 用戶子程序，首先將用戶預(yù)設(shè)相關(guān)材料參數(shù)傳遞給子程序；計算開始之前，判定單元是否達(dá)到失效條件（本文認(rèn)為D=1時為裂紋萌生的臨界條件），若達(dá)到則直接結(jié)束，若未達(dá)到則繼續(xù)計算相關(guān)應(yīng)力應(yīng)變；再根據(jù)計算所得應(yīng)力應(yīng)變結(jié)果得到單次循環(huán)的損傷增量?D；當(dāng)循環(huán)次數(shù)較多，為減小計算量，可將每N次循環(huán)內(nèi)的損傷增量視為相等，這樣程序每循環(huán)一次代表實際N次載荷循環(huán)；最后，將所得計算結(jié)果存儲于狀態(tài)變量，并在每次循環(huán)結(jié)束時返回ABAQUS 主程序，直至達(dá)到失效條件。這里設(shè)定裂紋萌生尺寸為0.1～0.2 mm，當(dāng)失效單元的尺寸達(dá)到裂紋萌生尺寸時，裂紋萌生[20]。

圖2 UMAT計算流程示意圖Fig.2 Flow diagram of UMAT implementation

利用以上原理，模擬文獻(xiàn)[23]中各加載條件下的低周疲勞損傷演化，裂紋萌生壽命模擬值與試驗值誤差對比如圖3所示。由此可以看出，模擬所得X65 管道鋼裂紋萌生壽命與試驗數(shù)據(jù)吻合較好，驗證了擬合參數(shù)的合理性以及UMAT實現(xiàn)過程的正確性。

圖3 X65鋼裂紋萌生壽命模擬值與試驗值對比Fig.3 Comparison in simulation and experimental data of crack initiation life of X65 pipeline steel

2.2 模型建立

為研究缺口參數(shù)對X65管道鋼低周疲勞損傷演化以及裂紋萌生壽命的影響，本文采用與文獻(xiàn)[24]相同的試樣尺寸，在試樣兩側(cè)分別預(yù)設(shè)相同缺口，如圖4所示，其中H、R與θ為描述缺口類型的三個參數(shù)，分別表示缺口深度、缺口根部半徑以及張開角度。本文設(shè)計不同形態(tài)的缺口組合，以研究缺口形貌變化對疲勞損傷演化及裂紋萌生壽命的影響，如表2所示。

圖4 缺口試樣示意圖（單位：mm）Fig.4 Sketch of the notched sample(unit:mm)

表2 缺口參數(shù)取值Tab.2 Shape parameters of notch

在ABAQUS有限元軟件中，根據(jù)對稱性建立缺口疲勞試樣1/4有限元模型，如圖5所示。在X方向和Y方向?qū)ΨQ面上添加對稱約束，并在試樣端部施加沿X方向的交變載荷，載荷波形為三角波，周期T=4 s，應(yīng)力比R=-1，最大應(yīng)力為100 MPa。此外，為提高計算的精度，對試樣缺口處的網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化，單元類型為8節(jié)點六面體線性減縮積分單元。圖6為有限元收斂性分析結(jié)果，當(dāng)缺口根部局部網(wǎng)格尺寸小于0.02 mm 時，試樣最大應(yīng)力不再變化。因此在以下的有限元分析中，缺口處網(wǎng)格尺寸設(shè)為0.02 mm。

圖5 缺口試樣1/4有限元模型Fig.5 FE model of notched sample

圖6 收斂性分析結(jié)果Fig.6 Results of the convergence analysis

3 有限元結(jié)果與分析

3.1 參數(shù)敏感性分析

圖7（a）-（c）分別顯示了缺口深度、根部半徑以及張開角度對裂紋萌生壽命的影響。不難看出：當(dāng)缺口深度以及張開角度保持不變，缺口根部半徑增大時，裂紋萌生所需的載荷循環(huán)次數(shù)也將隨之增加；然而，隨著缺口深度不斷增加，低周疲勞損傷累積速率逐漸增大，裂紋萌生所需的循環(huán)周次也相應(yīng)減少；此外，低周疲勞損傷累積也受缺口張開角度的影響，張開角度越大，疲勞裂紋萌生壽命也越長；當(dāng)張開角度小于90°時，張開角度的改變對裂紋萌生壽命的影響較小，當(dāng)張開角度由90°增大到150°時，裂紋萌生壽命顯著增加。

圖7 裂紋萌生壽命對缺口參數(shù)的敏感性Fig.7 Sensitivity of crack initiation life to notch parameters

從缺口根部中心點出發(fā)，規(guī)定沿缺口方向、厚度方向以及寬度方向分別為N、Z和Y方向。以R=H=1 mm，θ=0°缺口試樣為例，研究了試樣缺口處的損傷、應(yīng)力及塑性應(yīng)變分布，如圖8所示。

圖8 缺口根部損傷、應(yīng)力及塑性應(yīng)變分布圖Fig.8 Damage,stress and plastic strain distribution near the notch root

疲勞損傷沿N方向和Y方向逐漸減小，而在Z方向上，疲勞損傷呈先增大后減小的趨勢。裂紋萌生最先并不出現(xiàn)在缺口中心點，而是距中心位置約1 mm處。從圖8還可以看出，疲勞載荷下的缺口試樣損傷分布規(guī)律與應(yīng)力、塑性應(yīng)變分布相似，N方向和Y方向的應(yīng)力、塑性應(yīng)變值隨著與缺口根部中心點的距離的增加而逐漸減少，而在Z方向上，缺口處應(yīng)力變化不大，但總體分布趨勢與損傷分布相同，呈先增大后減小的趨勢。

3.2 裂紋萌生位置分析

考慮到板材厚度可能對試樣裂紋萌生位置產(chǎn)生的影響，本文分析了雙側(cè)缺口為R=H=1 mm，θ=0°，厚度W分別為1 mm、2 mm、3 mm、5 mm、6 mm 和10 mm 的缺口試樣。對比分析了不同板材厚度下，試樣缺口處的應(yīng)力、損傷分布規(guī)律，并考察了裂紋萌生位置與板材厚度的關(guān)系。圖9顯示的是不同厚度下試樣缺口根部應(yīng)力沿厚度方向的分布情況，圖中d表示缺口部位沿厚度的距離。不難看出：隨著板材厚度的增加，試樣最大應(yīng)力將會減??；當(dāng)板材厚度小于或等于3 mm時，試樣最大應(yīng)力出現(xiàn)在缺口根部中心位置；而當(dāng)厚度大于3 mm 時，其應(yīng)力均將呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢；并且隨著厚度增加，最大應(yīng)力位置與缺口中心點的距離也將逐漸增大。

圖9 板材厚度對應(yīng)力分布的影響Fig.9 Influence of plate thickness on stress distribution

圖10為不同厚度下試樣缺口根部損傷沿厚度方向的分布情況，板材厚度對疲勞裂紋萌生位置也有一定的影響。與應(yīng)力分布類似，當(dāng)板材厚度小于或等于3 mm時，裂紋將在缺口中位置萌生；而當(dāng)厚度大于3 mm時，裂紋萌生位置則將隨著厚度的增加逐漸遠(yuǎn)離缺口中心點；并且隨著板材厚度的增加，缺口中心點在裂紋萌生時刻的損傷值將越來越小。圖11 所示的不同厚度下缺口根部損傷云圖可以清晰地顯示以上規(guī)律。當(dāng)厚度W=1 mm 時，缺口中心位置損傷最先達(dá)到臨界值，裂紋開始萌生，而當(dāng)厚度W=10 mm時，最大損傷位置出現(xiàn)在靠近板的邊緣處。

圖10 板材厚度對損傷分布的影響Fig.10 Influence of plate thickness on damage distribution

圖11 不同厚度下缺口根部損傷分布Fig.11 Damage distribution at the notch root with different thicknesses

3.3 最大應(yīng)力與裂紋萌生壽命

圖12所示為缺口試樣的疲勞最大應(yīng)力與裂紋成核壽命關(guān)系曲線，對比各個不同缺口試樣的疲勞裂紋萌生壽命模擬結(jié)果與其對應(yīng)的最大應(yīng)力可知，二者可近似為線性關(guān)系，其線性關(guān)系擬合如下：

圖12 最大應(yīng)力/壽命關(guān)系曲線Fig.12 Maximum stress versus fatigue life

為驗證上述擬合公式的正確性，本文對比了厚度分別為1 mm、2 mm、3 mm、6 mm以及10 mm時缺口試樣的疲勞裂紋萌生壽命模擬結(jié)果與公式（12）的預(yù)測值，結(jié)果如圖13 所示。從圖中可以看出，預(yù)測值與模擬值之間的最大誤差為3.7%，在工程可以接受的誤差范圍內(nèi)，表明公式（12）能較好地預(yù)測缺口試樣疲勞裂紋萌生壽命。

圖13 疲勞壽命預(yù)測值與模擬值對比Fig.13 Comparison of predicted and simulated fatigue lives

4 結(jié) 論

本文建立了金屬材料的低周疲勞損傷演化模型，通過ABAQUS軟件編寫損傷演化UMAT子程序，模擬了APL X65 鋼缺口試樣的疲勞損傷演化過程，探討了缺口形貌對X65 鋼低周疲勞裂紋萌生壽命的影響。得到的主要結(jié)論如下：

（1）缺口深度H的增大將縮短疲勞裂紋萌生壽命，而當(dāng)缺口根部半徑R或張開角度θ增大時，疲勞損傷累積速率將相應(yīng)變慢，裂紋萌生壽命也隨之延長。且當(dāng)θ<90°時，疲勞裂紋萌生壽命對參數(shù)θ并不敏感，當(dāng)θ≥90°時，θ的改變將導(dǎo)致疲勞裂紋萌生壽命發(fā)生較為顯著的變化。

（2）對于同樣缺口尺寸的板狀試樣，板材厚度對試樣缺口處應(yīng)力分布及裂紋萌生位置有一定的影響。當(dāng)厚度W≤3 mm時，最大應(yīng)力點及疲勞裂紋萌生位置均出現(xiàn)在缺口中心處；當(dāng)W>3 mm時，缺口沿厚度方向的應(yīng)力分布呈先增大后減小的趨勢，疲勞裂紋也將在靠近板的邊緣處萌生。

（3）擬合最大應(yīng)力與缺口試樣疲勞裂紋萌生壽命之間關(guān)系，得到的關(guān)系為Smax=758.65-97.95 lgN。