數(shù)學(xué)思維教學(xué)的“兩階段理論”

鄭毓信

數(shù)學(xué)思維教學(xué)的“兩階段理論”

鄭毓信

（南京大學(xué) 哲學(xué)系，江蘇 南京 210093）

數(shù)學(xué)思維教學(xué)應(yīng)當(dāng)區(qū)分為兩個(gè)不同的階段：（1）幫助學(xué)生了解、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維從而改進(jìn)思維；（2）“由數(shù)學(xué)地思維”轉(zhuǎn)向“學(xué)會(huì)思維”，努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)．這可視為一種“螺旋式的上升”，與此為對(duì)照也可清楚地看出這樣兩種觀點(diǎn)的片面性，即是“基礎(chǔ)教育去學(xué)科化”，以及單純從學(xué)科的視角對(duì)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)做出狹義解讀．

數(shù)學(xué)思維教學(xué)的兩個(gè)階段；數(shù)學(xué)地思維；通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維；螺旋式上升

除去數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)教育最主要的功能應(yīng)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，這就是強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)思維教學(xué)”的主要原因．就中國(guó)在后一方面的具體工作而言，則可追溯到20世紀(jì)80年代興起的“數(shù)學(xué)方法論”研究與相關(guān)的教學(xué)實(shí)踐：這既有過(guò)發(fā)展的高潮，包括對(duì)于國(guó)外相關(guān)研究的追蹤，也有過(guò)相對(duì)低落的時(shí)期．進(jìn)而，新一輪數(shù)學(xué)課程改革，特別是對(duì)于“核心素養(yǎng)”的積極提倡也可被看成為數(shù)學(xué)思維教學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展提供了重要背景，特別是，應(yīng)如何更好地理解數(shù)學(xué)思維教學(xué)的意義，什么是這方面工作的主要方向？這也正是文章討論的主要論題．

1 回顧與展望

20世紀(jì)的80、90年代可以被看成中國(guó)數(shù)學(xué)思維研究的黃金時(shí)代：由于著名數(shù)學(xué)家徐利治先生的倡導(dǎo)，不僅取得了若干重要的研究成果，也逐步形成了密切聯(lián)系實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)的重要特點(diǎn)，包括這樣一個(gè)明確的指導(dǎo)思想：應(yīng)當(dāng)用思維的分析帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，從而把數(shù)學(xué)課真正“教活”“教懂”“教深”：所謂“教活”，是指教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)自己的教學(xué)向?qū)W生展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學(xué)研究工作，而不是死的數(shù)學(xué)知識(shí)；所謂“教懂”，是指教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生真正理解相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗、死記硬背；所謂“教深”，則是指教師不僅應(yīng)當(dāng)通過(guò)自己的教學(xué)使學(xué)生很好地掌握相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，也應(yīng)幫助他們領(lǐng)會(huì)內(nèi)在的思維方法，即是使得相應(yīng)的思維活動(dòng)對(duì)其而言真正成為“可以理解的，可以學(xué)到手的和加以推廣應(yīng)用的”[1]．

就這方面的具體工作而言，人們還形成了這樣的共識(shí)：相關(guān)研究不應(yīng)停留于“一般性思維理論+數(shù)學(xué)實(shí)例”這樣一個(gè)模式，而應(yīng)從專業(yè)角度做出更深入的分析研究．

就國(guó)際上的相關(guān)研究而言，則應(yīng)特別提及著名數(shù)學(xué)家波利亞的“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”研究：盡管這在當(dāng)時(shí)并未對(duì)實(shí)際教學(xué)工作產(chǎn)生很大的影響；但是，隨著“問(wèn)題解決”成為了數(shù)學(xué)教育在20世紀(jì)80年代的主要口號(hào)，相關(guān)工作又重新成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)．因?yàn)?，這正是這一改革運(yùn)動(dòng)的主要指導(dǎo)思想，即是認(rèn)為應(yīng)以努力提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力作為數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)，并應(yīng)圍繞“問(wèn)題解決”組織全部的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)．還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，盡管相關(guān)的教學(xué)實(shí)踐并未取得預(yù)期的效果，但卻極大促進(jìn)了這方面的理論研究，更直接導(dǎo)致了“對(duì)于波利亞的超越”，后者即是指，“啟發(fā)法”不應(yīng)被看成影響人們解決問(wèn)題能力的唯一要素，或者說(shuō)，為了提高人們解決問(wèn)題的能力，應(yīng)當(dāng)關(guān)注更多的方面或環(huán)節(jié)，特別是“元認(rèn)知”和“觀念”這樣兩個(gè)要素．另外，這也是人們通過(guò)總結(jié)反思形成的又一共識(shí)：與“問(wèn)題解決”相比，“數(shù)學(xué)思維”是更合適的一個(gè)口號(hào)，應(yīng)將“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”看成數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)[2–3]．

從20世紀(jì)90年代開始，隨著新一輪數(shù)學(xué)課程改革（“課標(biāo)運(yùn)動(dòng)”）在世界范圍內(nèi)的展開，人們的關(guān)注點(diǎn)應(yīng)當(dāng)說(shuō)也有所轉(zhuǎn)移：盡管“問(wèn)題解決”與“數(shù)學(xué)思維”作為改革的有機(jī)組成部分仍然得到了明確肯定，但就總體而言人們已將目光轉(zhuǎn)向了另外一些更加宏觀的問(wèn)題，特別是，數(shù)學(xué)教育如何能夠很好地適應(yīng)“時(shí)代的挑戰(zhàn)”[4]？

再回到中國(guó)的數(shù)學(xué)教育，盡管有一定的時(shí)間差，但總體上也與國(guó)際上的情況基本一致：無(wú)論是所謂的“數(shù)學(xué)教育的三維目標(biāo)”或“數(shù)學(xué)課程總體目標(biāo)”都對(duì)“數(shù)學(xué)思維（思考）”和“問(wèn)題解決（解決問(wèn)題）”做了明確的肯定，但對(duì)此的關(guān)注程度也可以說(shuō)大大地降低了，取而代之的是“數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改革”與所謂的“四基”，特別是“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”等這樣一些“新”論題，這也就是指，除去簡(jiǎn)單的“口號(hào)式”提倡，或是由“解決問(wèn)題”轉(zhuǎn)向“問(wèn)題解決”這樣的詞語(yǔ)轉(zhuǎn)換，數(shù)學(xué)思維教學(xué)的研究就總體而言可以說(shuō)陷入了發(fā)展的停滯．

除去數(shù)學(xué)教育整體形勢(shì)的變化以外，這也是造成“發(fā)展停滯”的又一重要原因，即是缺乏對(duì)于已有工作的認(rèn)真總結(jié)與反思，從而也就未能很好地弄清什么是數(shù)學(xué)思維教學(xué)進(jìn)一步發(fā)展的主要方向．

還應(yīng)指明的是，盡管“大形勢(shì)”的變化對(duì)這方面工作的深入開展有較大影響，但課程改革仍為數(shù)學(xué)思維教學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展提供了重要契機(jī)．只有圍繞數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)去進(jìn)行分析思考，才能很好地把握數(shù)學(xué)思維教學(xué)的主要目標(biāo)，包括什么又可被看成這方面工作的主要方向．具體地說(shuō)，應(yīng)堅(jiān)持這樣一個(gè)立場(chǎng)，即是基礎(chǔ)教育的基本任務(wù)應(yīng)是努力提升學(xué)生的“核心素養(yǎng)”，也即“適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”．

具體地說(shuō)，對(duì)于數(shù)學(xué)思維教學(xué)應(yīng)當(dāng)區(qū)分出兩個(gè)不同的階段：（1）幫助學(xué)生了解、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維，從而改進(jìn)他們的思維，特別是由日常生活逐步形成的各種思維習(xí)慣和思維方式；（2）“由數(shù)學(xué)地思維”轉(zhuǎn)向“學(xué)會(huì)思維”，特別是努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)，并能由理性思維逐步走向理性精神．

以下就對(duì)為什么要做出這樣兩個(gè)階段的區(qū)分，以及什么又是它們各自的特征與基本性質(zhì)做出具體說(shuō)明．

2 數(shù)學(xué)思維教學(xué)的第一階段

這是數(shù)學(xué)思維教學(xué)第一階段的主要特征：幫助學(xué)生了解、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維，并應(yīng)通過(guò)數(shù)學(xué)思維教學(xué)幫助學(xué)生改進(jìn)他們習(xí)慣的日常思維．

以下就是“通過(guò)數(shù)學(xué)思維教學(xué)改進(jìn)學(xué)生思維”的一些具體涵義．（1）由局限于“正向思維”轉(zhuǎn)而學(xué)會(huì)“逆向思維”．這也是相關(guān)研究的一個(gè)明確結(jié)論：如果僅僅依靠“自發(fā)的數(shù)學(xué)能力”，人們往往不善于從反面去思考問(wèn)題；與此相對(duì)照，通過(guò)學(xué)校學(xué)習(xí)所說(shuō)的情況就有了很大改進(jìn)[5]．（2）由模糊的“定性描述”轉(zhuǎn)向精確的“定量分析”．如由“何者大、何者小”轉(zhuǎn)向“到底有多大”“大多少”，等等．（3）由“直觀感知”上升到理性分析，即如對(duì)于各種平面圖形主要特征的深入研究．這也是馮·希爾夫婦區(qū)分學(xué)生幾何思維不同發(fā)展水平的一個(gè)主要依據(jù)[6]．（4）由“零碎的認(rèn)識(shí)”過(guò)渡到“整體性把握”．就如蘇聯(lián)著名心理學(xué)家維果斯基所指出的：“系統(tǒng)化的萌芽首先是通過(guò)兒童與科學(xué)概念的接觸而進(jìn)入他的心靈，然后再被遷移到日常概念，從而完全改變了他們的心理結(jié)構(gòu)．”[7]

再者，這也可被看成以下一些論述的主要涵義．（1）“我們必須通過(guò)數(shù)學(xué)化來(lái)教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)．”[8]（2）（中學(xué)）數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一就是“培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力”[9]．另外，從同一角度可以更好地理解人們經(jīng)常提到的關(guān)于“初等數(shù)學(xué)思維”與“高層次數(shù)學(xué)思維”的如下區(qū)分：與前者不同，后者已包括了由“描述”向“定義”、由“確信”向“證明”的重要轉(zhuǎn)變[10]．

最后，正如相關(guān)研究所表明的，這也是日常思維的一個(gè)重要特征，即是“快思”占據(jù)了主導(dǎo)地位；但是，盡管后者對(duì)于人們的日常生活和工作有很大的重要性，但又常常會(huì)導(dǎo)致一些系統(tǒng)性的錯(cuò)誤，從而就應(yīng)通過(guò)提倡“長(zhǎng)時(shí)間思考（慢想）”幫助人們糾正日常思維的這一局限性，這也正是數(shù)學(xué)思維教學(xué)所應(yīng)發(fā)揮的又一重要作用[11–12]．

那么，究竟又應(yīng)如何幫助學(xué)生了解、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維呢？正如前面所提及的，中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的相關(guān)實(shí)踐即可被看成在這方面提供了很好的經(jīng)驗(yàn)，后者即是指，相對(duì)于專門的思維教學(xué)而言，應(yīng)當(dāng)更加重視通過(guò)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)幫助學(xué)生很好地了解、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維，也即應(yīng)當(dāng)努力做好用數(shù)學(xué)思維的分析帶動(dòng)具體知識(shí)的教學(xué)，從而將數(shù)學(xué)課真正“講活”“講懂”“講深”，特別是，即能讓學(xué)生深切地感受到數(shù)學(xué)思維的力量，從而就能在這一方面產(chǎn)生潛移默化，但又十分重要的影響．

顯然，依據(jù)上述分析可以很好地理解這一階段數(shù)學(xué)思維教學(xué)的基本性質(zhì)：這主要是一種規(guī)范性的工作．當(dāng)然，后者又不應(yīng)被理解成某種單純依靠外部力量得以實(shí)現(xiàn)的硬性規(guī)定，恰恰相反，這正是為什么應(yīng)當(dāng)特別重視數(shù)學(xué)思維向具體知識(shí)內(nèi)容教學(xué)滲透的主要原因，也即應(yīng)當(dāng)通過(guò)“教學(xué)內(nèi)容的方法論重建”使得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)對(duì)學(xué)生而言真正成為“可以理解的，可以學(xué)到手的和加以推廣應(yīng)用的”．

再者，這也可被看成這一階段數(shù)學(xué)思維教學(xué)的又一重要特征，即是對(duì)于數(shù)學(xué)思維，特別是數(shù)學(xué)解題策略的突出強(qiáng)調(diào)．當(dāng)然，這方面工作也有一個(gè)逐步推進(jìn)的過(guò)程，即是應(yīng)當(dāng)依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平很好地掌握相應(yīng)的“度”，也即應(yīng)當(dāng)由“深藏不露”逐步過(guò)渡到“畫龍點(diǎn)睛”，由“點(diǎn)到為止”逐步過(guò)渡到“清楚地表述”．

以下就是針對(duì)不同學(xué)段做出的大致劃分．

低年級(jí)的小學(xué)生剛剛開始正規(guī)的學(xué)校學(xué)習(xí)，這時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)就是幫助學(xué)生較好地掌握最基本的一些數(shù)學(xué)知識(shí)和基本技能，特別是數(shù)的認(rèn)識(shí)與加減乘除．除此以外，這也是這一階段數(shù)學(xué)教學(xué)的又一重要任務(wù)，就是幫助學(xué)生初步了解和適應(yīng)數(shù)學(xué)的思維方式與工作方式，也即數(shù)學(xué)家是如何看待世界與處理問(wèn)題的？這與學(xué)生習(xí)慣的日常思維又有什么不同？

具體地說(shuō)，對(duì)于低年級(jí)小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就像進(jìn)入了一個(gè)新的國(guó)家、一個(gè)新的文化環(huán)境：“數(shù)學(xué)王國(guó)”．顯然，在此情況下，新進(jìn)入者的首要任務(wù)就是很好了解并努力適應(yīng)當(dāng)?shù)氐娘L(fēng)俗習(xí)慣，包括不同的語(yǔ)言文字、行為方式與道德規(guī)范等，而這事實(shí)上也正是小學(xué)低年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)實(shí)現(xiàn)的一項(xiàng)任務(wù)，即是幫助學(xué)生很好了解并努力適應(yīng)（習(xí)慣）這樣一種新的思維方式和工作方式：數(shù)學(xué)的思維方式與工作方式，這主要是一個(gè)規(guī)范化的過(guò)程．（這方面的一些實(shí)例可見文[13]第二、三章）

其次，小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)主要任務(wù)，則是應(yīng)使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、喜歡思維，這也就是指，教學(xué)中應(yīng)特別重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)思維方式與行為方式的欣賞與理解，從而就與先前所說(shuō)的“了解與適應(yīng)”有很大的不同．

在此仍可借助“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就像進(jìn)入了一個(gè)新的國(guó)家、一個(gè)新的文化環(huán)境”這一比喻來(lái)進(jìn)行說(shuō)明：這里所說(shuō)的“欣賞與理解”就是指高年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)滿足于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的思維方式與工作方式有泛泛的了解，以及這一方面的簡(jiǎn)單規(guī)范，乃至使學(xué)生始終處于“無(wú)可奈何的適應(yīng)”這樣一種狀態(tài)，而應(yīng)幫助他們很好地理解相關(guān)做法與思維方法的合理性和必要性，從而就能發(fā)自內(nèi)心地欣賞，并能很好地融入其中．例如，應(yīng)用題教學(xué)就是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的一個(gè)重要途徑．

第三，初中的數(shù)學(xué)教學(xué)可以被看成由第一階段向第二階段的過(guò)渡階段．首先，初中正是實(shí)現(xiàn)上面所提到的由“初等數(shù)學(xué)思維”上升到“高層次數(shù)學(xué)思維”的關(guān)鍵階段，這就意味著對(duì)于數(shù)學(xué)思維的進(jìn)一步了解和學(xué)習(xí)，包括如何能通過(guò)“解題教學(xué)”幫助學(xué)生較好掌握各種具體的解題策略．但在做出上述努力的同時(shí)，這一階段的教學(xué)也應(yīng)十分重視向更高層次的過(guò)渡，應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地由唯一強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維，特別是數(shù)學(xué)解題策略的學(xué)習(xí)逐步轉(zhuǎn)向努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)．當(dāng)然，為了更好地實(shí)現(xiàn)后一目標(biāo)，應(yīng)首先弄清所說(shuō)的轉(zhuǎn)變的合理性和必要性．這也正是下一節(jié)的具體論題．

3 數(shù)學(xué)思維教學(xué)的第二階段

數(shù)學(xué)思維教學(xué)第二階段的主要目標(biāo)已不是幫助學(xué)生了解、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維，而是“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”，并努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)．

為什么要提出這樣一個(gè)新的主張或目標(biāo)，或者說(shuō)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維教學(xué)的“兩階段理論”究竟有怎樣的合理性和必要性？

首先，這可被看成基于學(xué)生與社會(huì)發(fā)展的需要進(jìn)行分析的一個(gè)直接結(jié)論：由于大多數(shù)學(xué)生將來(lái)都未必會(huì)從事與數(shù)學(xué)直接相關(guān)的各種工作，數(shù)學(xué)思維顯然也不是唯一合理的思維形式，或者說(shuō)，并非適用于所有的工作和場(chǎng)合．因此，與單純強(qiáng)調(diào)“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”相比，就應(yīng)更加重視“幫助學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”，特別是努力提高他們的思維品質(zhì)．

例如，這顯然也可被看成波利亞以下論述的核心所在：“一個(gè)教師，他若要同樣地去教他所有的學(xué)生——未來(lái)用數(shù)學(xué)和不用數(shù)學(xué)的人，那么他在教解題時(shí)應(yīng)當(dāng)教三分之一的數(shù)學(xué)和三分之二的常識(shí)．對(duì)學(xué)生灌注有益的思維習(xí)慣和常識(shí)也許不是一件太容易的事，一個(gè)數(shù)學(xué)教師假如他在這方面取得了成績(jī)，那么他就真正為他的學(xué)生們（無(wú)論他們以后是做什么工作的）做了好事．能為那些70%的在以后生活中不用科技數(shù)學(xué)的學(xué)生做好事當(dāng)然是一件最有意義的事情．”[14]

其次，如果缺乏自覺(jué)性的話，數(shù)學(xué)思維也有一些嚴(yán)重的弊?。?，如果教學(xué)中只是強(qiáng)調(diào)了思維的邏輯性，也即局限于“按部就班、言之有理”，但卻忽視了整體分析與直覺(jué)的把握，包括如何能“分清主次、突出重點(diǎn)”，并很好掌握相關(guān)證明或概念的本質(zhì)，顯然就容易出現(xiàn)“只見樹木不見森林”“撿了芝麻丟了西瓜”這樣的現(xiàn)象，而這事實(shí)上也正是現(xiàn)實(shí)中人們往往同時(shí)強(qiáng)調(diào)“邏輯與直覺(jué)”“分析與綜合”的主要原因，包括中國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳重穆先生的這樣一個(gè)主張：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”[15]．

一些學(xué)者從更一般的角度指明了數(shù)學(xué)思維的局限性．例如，按照著名數(shù)學(xué)家西瓦爾茨的分析，簡(jiǎn)單性（simpleness）、單一性（singleness）和文本性（literal）可以被看成數(shù)學(xué)思維固有的局限性[16]．又由于“封閉性”容易導(dǎo)致自高自大，抽象性（拘于文本）則容易脫離實(shí)際，因此，從這一角度進(jìn)行分析，可以更好地理解著名哲學(xué)家懷特海所提到的這樣兩種“數(shù)學(xué)的惡”：所謂“微不足道的惡”，是指不應(yīng)將抽象的模式與真實(shí)簡(jiǎn)單地等同起來(lái)：“討論善與惡可能要求對(duì)經(jīng)驗(yàn)的理解具有一定的深度，而一個(gè)單薄的模式可能阻撓預(yù)想的實(shí)現(xiàn)．于是，有一種微不足道的惡——一幅寫生畫竟能取代一幅完全的圖畫．”另外，所謂“強(qiáng)烈的惡”，則是指：“引起強(qiáng)烈經(jīng)驗(yàn)的兩個(gè)模式可以彼此沖突．于是，就有一種由主動(dòng)的對(duì)抗所產(chǎn)生的、強(qiáng)烈的惡．”[17]

當(dāng)然，從中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的角度看，上面所提到的數(shù)學(xué)思維的局限性還只是一種潛在的危險(xiǎn)；相比而言，以下則是一種真正的威脅：由于數(shù)學(xué)思維，特別是解題策略的學(xué)習(xí)與“應(yīng)試教育”有較大的兼容性，因此，現(xiàn)實(shí)中也就容易出現(xiàn)以下現(xiàn)象，即是“數(shù)學(xué)思維教學(xué)”完全集中于“解題方法”的研究，乃至最終蛻變成“題海戰(zhàn)術(shù)”，也即學(xué)生主要依靠記憶與模仿進(jìn)行學(xué)習(xí)，而唯一的目標(biāo)就是在各種考試中取得較好的成績(jī)；但是，即使在最好的情況下，按照這一模式培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生也只會(huì)考試，不會(huì)思維，更缺乏創(chuàng)新能力．更一般地說(shuō)，這事實(shí)上也可被看成過(guò)強(qiáng)的規(guī)范性所必然導(dǎo)致的一個(gè)后果．

由以下論述可以看出，上述分析并非杞人憂天，而是有很大的現(xiàn)實(shí)意義：“人到16歲開始成人，知道自己要有人生目標(biāo)，優(yōu)秀生開始思考未來(lái)，這是一個(gè)人成長(zhǎng)、成型的關(guān)鍵時(shí)期．中國(guó)學(xué)生卻在這兩年天天復(fù)習(xí)高考”；“美國(guó)的優(yōu)秀學(xué)生不斷向上攀升，中國(guó)學(xué)生天天做高考題．中國(guó)高中的‘空轉(zhuǎn)’，在最容易吸收知識(shí)，開始思考人生的年齡段，束縛于考試．更令人心焦的是，許多頂尖的中學(xué)，對(duì)‘空轉(zhuǎn)’現(xiàn)象不覺(jué)得是問(wèn)題．自我感覺(jué)良好．”[18]

還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，盡管所說(shuō)的現(xiàn)象主要反映了“應(yīng)試教育”的弊端，但由以下事實(shí)可以看出，這與數(shù)學(xué)教育圈內(nèi)的以下傾向也有密切的關(guān)系，即是“解題策略”與“數(shù)學(xué)思維”的過(guò)度“細(xì)化”和“程序化”．例如，由于認(rèn)為波利亞所給出的解題策略過(guò)于一般，從而不便于人們應(yīng)用，“問(wèn)題解決”現(xiàn)代研究的主要代表人物舍費(fèi)爾德教授就曾試圖對(duì)此做出更加細(xì)致的說(shuō)明，也即認(rèn)為相關(guān)教學(xué)應(yīng)當(dāng)很好地實(shí)現(xiàn)以下目標(biāo)：（1）使隱含的過(guò)程明朗化；（2）讓學(xué)生就這些過(guò)程進(jìn)行討論；（3）提供有指導(dǎo)的實(shí)踐；（4）確保學(xué)生牢固地掌握相關(guān)的程序；（5）既注意定性的理解，也注重具體的程序[19]．但是，盡管他曾投入很大力量從事相關(guān)的教學(xué)實(shí)踐，但最終卻未取得真正的成功．由此也就可以引出這樣一個(gè)結(jié)論，應(yīng)跳出專業(yè)的“圈子”并從更廣泛的視角認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思維教學(xué)的意義．

當(dāng)然，后者事實(shí)上也可被看成“核心素養(yǎng)說(shuō)”這一整體性教育思想給予的主要啟示，特別是，作為數(shù)學(xué)教育工作者，顯然不應(yīng)停留于“核心素養(yǎng)”的一般性論述，而應(yīng)更深入地去思考數(shù)學(xué)對(duì)于提升個(gè)人與社會(huì)整體素養(yǎng)究竟有哪些特別重要、甚至是不可取代的作用，也即應(yīng)當(dāng)對(duì)“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的具體涵義做出更清楚地界定．

綜上可見，應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)思維教學(xué)提出更高的要求，也即應(yīng)當(dāng)由唯一強(qiáng)調(diào)“幫助學(xué)生（初步地）學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”上升到“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”，特別是，應(yīng)將努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)．這也就是“數(shù)學(xué)思維教學(xué)”的第二階段．

作為這一階段的具體目標(biāo)，還應(yīng)十分重視學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，特別是“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”的習(xí)慣與能力，從而就能真正成為學(xué)習(xí)的主人，包括由理性思維逐步走向理性精神．

也正是在這樣的意義上，關(guān)于“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的以下論述就可被看成為做好這一方面工作指明了努力的方向：數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識(shí)和技能深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過(guò)渡到一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提升，并應(yīng)幫助學(xué)生由在教師（或書本）指導(dǎo)下進(jìn)行學(xué)習(xí)逐步轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，包括善于通過(guò)同學(xué)間的合作與互動(dòng)進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而真正成為學(xué)習(xí)的主人[20]．

顯然，相對(duì)于第一階段的數(shù)學(xué)思維教學(xué)而言，這體現(xiàn)了更高的要求，特別是，與簡(jiǎn)單的規(guī)范性不同，第二階段的數(shù)學(xué)思維教學(xué)應(yīng)當(dāng)更加重視學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的自覺(jué)性．具體地說(shuō)，這應(yīng)被看成高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)；當(dāng)然，正如前面所指出的，在初中階段也應(yīng)十分重視相關(guān)思想的滲透，特別是應(yīng)超出單純的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)向努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)．

最后，正如先前關(guān)于波利亞的引言所表明的，數(shù)學(xué)思維教學(xué)由第一階段向第二階段的過(guò)渡在很大程度上可被看成“常識(shí)”的回歸，或者更恰當(dāng)?shù)卣f(shuō)，是常識(shí)在更高層次的“重構(gòu)”，也代表了一種螺旋式的上升．

4 兩種片面的認(rèn)識(shí)

依據(jù)所說(shuō)的“螺旋式上升”，可更好地理解對(duì)于數(shù)學(xué)思維教學(xué)做出兩個(gè)階段區(qū)分的必要性，包括不同階段應(yīng)有不同的重點(diǎn)：第一階段應(yīng)當(dāng)主要強(qiáng)調(diào)“入”這樣一個(gè)關(guān)鍵詞，也即如何能夠幫助學(xué)生很好地了解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維以改進(jìn)他們已習(xí)慣的日常思維；第二階段則應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)“出”這樣一個(gè)關(guān)鍵詞，也即應(yīng)當(dāng)跳出專業(yè)的圈子從更大范圍發(fā)揮數(shù)學(xué)教育的作用，包括很好地落實(shí)“努力提升學(xué)生的核心素養(yǎng)”這一整體性的教育目標(biāo)．

還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，依據(jù)上述分析也可很好地認(rèn)識(shí)以下兩種主張的片面性，盡管它們?cè)诂F(xiàn)實(shí)中都有轉(zhuǎn)大的影響．

其一，以“三會(huì)”作為數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)：“現(xiàn)在，我們強(qiáng)調(diào)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科在人的素養(yǎng)發(fā)展中起到的作用，也就是說(shuō)，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)成長(zhǎng)為什么樣的人，這就是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界．”[21]

除去前面已提供的分析，由以下實(shí)例即可更清楚地認(rèn)識(shí)這一主張的片面性，即“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”究竟有什么優(yōu)點(diǎn)，還是可能把一個(gè)本來(lái)不很復(fù)雜的事情搞復(fù)雜了？

【例】 從《紅樓夢(mèng)》看教育（《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》，2019年第2期）．

這一文章的主要觀點(diǎn)是：“《紅樓夢(mèng)》中有兩個(gè)重要的主角，林黛玉和薛寶釵，她們的性格分別代表著數(shù)學(xué)中兩種不同的問(wèn)題解決策略——‘從條件想起’和‘從問(wèn)題想起’．”

具體地說(shuō)：“林妹妹也許并不懂得數(shù)學(xué)中那些解決問(wèn)題的策略，但其實(shí)她的性格特征傾向就是習(xí)慣‘從條件想起’……寶姐姐或許也不懂得數(shù)學(xué)中那些解決問(wèn)題的策略，但其實(shí)她的性格特征傾向就是善于‘從問(wèn)題想起’．”“‘從條件想起’的人行為動(dòng)機(jī)是出于內(nèi)心真實(shí)的感受，而‘從問(wèn)題想起’的人的行為動(dòng)機(jī)是出于某種想要達(dá)到的目的……‘從條件想起’和‘從問(wèn)題想起’出發(fā)點(diǎn)不一樣，它們所經(jīng)歷的過(guò)程以及對(duì)新問(wèn)題的生成影響也都是不一樣的．‘從條件想起’就像林黛玉堆起的落花冢，無(wú)用，但能觸及更多人的心靈；‘從問(wèn)題想起’就像薛寶釵服用的冷香丸，實(shí)用，但只為解決她一個(gè)人的病癥．”

顯然，上述做法實(shí)在有點(diǎn)“數(shù)學(xué)霸凌”的味道，即是將一個(gè)豐富多彩的真實(shí)世界硬行塞入到了冰冷的數(shù)學(xué)樊籠之中，也即用一個(gè)缺少人味的量的世界代替了“我們的質(zhì)和感知的世界，我們?cè)诶锩嫔钪?、?ài)著、死著的世界”（柯伊萊語(yǔ)）．

總之，僅從單一學(xué)科的視角進(jìn)行分析和思考問(wèn)題就很容易導(dǎo)致片面性的認(rèn)識(shí)，后者既包括唯一強(qiáng)調(diào)“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”，也包括“人人都應(yīng)做到‘三會(huì)’”的主張．

其二，應(yīng)當(dāng)積極提倡“基礎(chǔ)學(xué)科的去學(xué)科化”，不同學(xué)科的整合：“基礎(chǔ)教育要去學(xué)科化，強(qiáng)調(diào)綜合……只從學(xué)科的角度出發(fā)，不利于學(xué)生素養(yǎng)的發(fā)展．”相關(guān)人士還以清華附小的“1+X課程”為例，強(qiáng)調(diào)了相關(guān)工作的普遍意義：“基于學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的‘1+X課程’改革對(duì)于當(dāng)下的基礎(chǔ)教育課程改革具有價(jià)值引領(lǐng)的意義．”[22]

盡管應(yīng)當(dāng)充分肯定各種“整合性研究”的意義，但這顯然又可被看成先前分析所給予的又一重要啟示：為了促進(jìn)學(xué)生的成長(zhǎng)，必須由籠統(tǒng)地提倡“核心素養(yǎng)”或“整體發(fā)展”，逐步過(guò)渡到各個(gè)學(xué)科的專業(yè)學(xué)習(xí)，只有在這樣的基礎(chǔ)上，才能進(jìn)一步去談及“對(duì)于專業(yè)化的必要超越”，包括如何才能實(shí)現(xiàn)“不同學(xué)科的必要整合”這樣一個(gè)更高層次的目標(biāo)．

這可被看成歷史給予的一個(gè)重要教訓(xùn)：如果完全脫離專業(yè)的學(xué)習(xí)去談?wù)摗皞€(gè)人品質(zhì)與氣質(zhì)”等一般性素養(yǎng)的養(yǎng)成，這在很大程度上就是回到了孔子的教育思想，并將導(dǎo)致教育事業(yè)的嚴(yán)重倒退，也即不僅未能很好實(shí)現(xiàn)“對(duì)于專業(yè)化的必要超越”，而且，如果缺乏自覺(jué)性的話，反而會(huì)由初步的“專業(yè)化”重新回到“無(wú)專業(yè)”這樣一個(gè)原始的狀態(tài)，也即只能被看成所說(shuō)的“高級(jí)狀態(tài)”的一種庸俗化．

顯然，依據(jù)上述分析也可更清楚地看出：在此所追求的并非常識(shí)的簡(jiǎn)單回歸，而是其在更高層次的“重構(gòu)”，而又正是專業(yè)的學(xué)習(xí)為所說(shuō)的“重構(gòu)”提供了必要基礎(chǔ)．

當(dāng)然，就努力提升學(xué)生的“核心素養(yǎng)”，包括他們的思維品質(zhì)而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)又非唯一可能的途徑，在此即可清楚地看到“大道歸一”的現(xiàn)象．但是，作為問(wèn)題的另一方面，這顯然也應(yīng)被看成這方面的又一基本事實(shí)，即不同的成長(zhǎng)途徑必然會(huì)對(duì)主體產(chǎn)生實(shí)質(zhì)的影響，從而，作為數(shù)學(xué)教育工作者，應(yīng)當(dāng)從更高層面認(rèn)真地去思考數(shù)學(xué)教學(xué)在這方面究竟有哪些特別重要的作用，包括其可能的局限性？

從上述角度也可更好地理解以下主張，即第二階段的數(shù)學(xué)思維教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視這樣一些方面：“序”的思想與思維的清晰性，聯(lián)系的觀點(diǎn)與思維的深刻性，變化的思想與思維的靈活性，總結(jié)、反思和再認(rèn)識(shí)與思維的自覺(jué)性．當(dāng)然，也應(yīng)十分重視這些思想在第一階段的滲透．

5 關(guān)于第二階段數(shù)學(xué)思維教學(xué)的若干建議

對(duì)于第一階段的數(shù)學(xué)思維教學(xué)人們可以說(shuō)已經(jīng)積累起一定經(jīng)驗(yàn)；與此相對(duì)照，第二階段的數(shù)學(xué)思維教學(xué)則在很大程度上仍可說(shuō)是空白，從而就需要密切聯(lián)系教學(xué)實(shí)踐積極地開展研究，特別是，應(yīng)將此與努力改變“應(yīng)試教育”，包括一般意義上的“減負(fù)增效”很好地聯(lián)系起來(lái)．當(dāng)然，后者不只是指如何能夠幫助學(xué)生從“題海戰(zhàn)術(shù)”中解放出來(lái)，包括在各類考試中取得較好的成績(jī)，也是指使大多數(shù)學(xué)生在離開中學(xué)以后還能留下一些真正有價(jià)值的東西．

以下就是這方面的一些具體建議．

第一，明確目標(biāo)，特別是，相對(duì)于各個(gè)具體的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)解題策略，應(yīng)當(dāng)更加注重提升學(xué)生的思維品質(zhì)．

應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，盡管相關(guān)主張從形式上看似乎已與具體解題活動(dòng)有一定距離，但這恰恰應(yīng)被看成提升學(xué)生解題能力的“正道”．具體地說(shuō)，由于數(shù)學(xué)問(wèn)題的多樣性和復(fù)雜性，更由于解題活動(dòng)具有非邏輯性的特征，必然表現(xiàn)出一定的或然性和個(gè)體性．因此，盡管應(yīng)當(dāng)充分肯定“題型分析”的重要性，包括幫助學(xué)生很好地掌握相應(yīng)的“解法”，也應(yīng)高度重視解題策略（“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”）與數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，從而在遇到困難時(shí)就可獲得一定啟示．但是，單靠這些顯然還不足以保證解題活動(dòng)的成功，包括很好地實(shí)現(xiàn)解題活動(dòng)的“程序化、算法化”，如果因此將主要精力放在題型與解題策略的“細(xì)化”與“程序化”之上，則是選錯(cuò)了方向，并很可能因此更深地陷入到“題海”“術(shù)林”之中．與此相對(duì)照，應(yīng)更加重視如何能夠通過(guò)解題教學(xué)努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)與對(duì)一般性思維策略的很好掌握，特別是，如何通過(guò)類比聯(lián)想發(fā)現(xiàn)可能的解題途徑，包括通過(guò)將事物聯(lián)系起來(lái)考察從而獲得更深入的認(rèn)識(shí)，又如何能夠通過(guò)適當(dāng)變化實(shí)現(xiàn)“化未知為已知，化繁為簡(jiǎn)，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”，并能逐步學(xué)會(huì)從不同角度分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，包括不同方面的必要互補(bǔ)與適當(dāng)整合，還應(yīng)通過(guò)總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)實(shí)現(xiàn)更大的自覺(jué)性，也即使得相應(yīng)的思維過(guò)程真正成為“可以理解的，可以學(xué)到手和可以推廣應(yīng)用的”，包括如何又能通過(guò)“題后反思”實(shí)現(xiàn)必要的優(yōu)化[23–24]．

特殊地，從上述角度也可更好地理解這樣一個(gè)主張：解題教學(xué)必須從“就題論題”上升到“就題論法”和“就題論道”，包括應(yīng)如何理解后者的具體涵義．（后一方面的若干實(shí)例可見文[25]）

第二，堅(jiān)持教學(xué)的開放性，切實(shí)發(fā)揮學(xué)生的主體作用．

具體地說(shuō)，教學(xué)中不僅應(yīng)當(dāng)積極鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)自身的努力去解決問(wèn)題，也應(yīng)大力提倡解題方法的多元化，而不只是按照某一現(xiàn)成的模式去從事解題活動(dòng)．當(dāng)然，后者不應(yīng)被理解成簡(jiǎn)單的標(biāo)新立異，或是教師完全放棄了應(yīng)有的引領(lǐng)作用；恰恰相反，在教學(xué)中應(yīng)高度重視比較和優(yōu)化的工作，從而幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)必要的優(yōu)化，包括能針對(duì)自身的特性從中做出適當(dāng)?shù)倪x擇．

進(jìn)而，就總體而言，應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)這樣一個(gè)思想：“以正合，以奇勝”，這也就是指，既應(yīng)善于通過(guò)學(xué)習(xí)不斷實(shí)現(xiàn)必要的優(yōu)化，又應(yīng)努力跳出已有的框架從不同角度進(jìn)行分析思考，包括發(fā)現(xiàn)與建立新的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)更高層次的抽象，等等．

再則，從上述角度可以更好地理解“適當(dāng)放慢節(jié)奏”的重要性，也即教學(xué)中應(yīng)給學(xué)生的積極思考提供足夠的時(shí)間和空間，特別是，應(yīng)幫助他們逐步養(yǎng)成“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”的習(xí)慣與能力，也即能夠通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的思考很好實(shí)現(xiàn)“化多為少，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”．

相信讀者依據(jù)上述分析也可對(duì)以下問(wèn)題做出自己的判斷，即在以下兩種“教學(xué)生態(tài)”中何者更有利于學(xué)生的成長(zhǎng)？

其一：“學(xué)生排除買飯時(shí)都在看書，走路時(shí)都是一種小跑，為的就是爭(zhēng)分奪秒地學(xué)習(xí)……”

其二：“在我的心里，一直有個(gè)固執(zhí)的想法．總覺(jué)得，最好的校園是應(yīng)該可以令人發(fā)呆的．”[26]

以下是更加詳盡的對(duì)照，盡管文中直接論及只是校園：

“師生步履匆匆，除了食堂、寢室和教室、辦公室，其它許許多多的角落和空間，對(duì)他們而言仿佛形同虛設(shè)，他們只是這里的匆匆過(guò)客……這樣的校園沒(méi)有情趣，沒(méi)有內(nèi)涵；緊張有余，從容不足；‘現(xiàn)代’有余，底蘊(yùn)不足．”

“校園環(huán)境有你發(fā)呆的空間和機(jī)會(huì)……可以讓人自由地對(duì)著一叢花或者一片葉子深入思考，可以在根底下捧起一本書忘我閱讀，也可以什么都不想，什么都不做，就坐在那里或者站在那里靜靜地發(fā)呆，不必在乎別人怎么看你，也不用擔(dān)心有人打擾你．總之，最好的校園一定可以讓師生特別是孩子自覺(jué)地放慢腳步，從容思想，自由‘發(fā)呆’．”

但是，“我們的責(zé)任不就是將學(xué)生送進(jìn)好學(xué)校嗎？能使80%的畢業(yè)生考取211或985重點(diǎn)大學(xué)不正是我們苦苦追求的理想辦學(xué)境界嗎！”

以下則是完全相反的認(rèn)識(shí)：“剛畢業(yè)那會(huì)兒，哪里懂教育，只知道‘考考考，老師的法寶；分分分，學(xué)生的命根’，并將此視為教育教學(xué)的準(zhǔn)則和方向，起早貪黑地陪讀，口若懸河地灌輸，苦口婆心地勸誡，整天把學(xué)生逼進(jìn)題海，只為學(xué)生考個(gè)好分?jǐn)?shù)……可當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)、同事的鮮花掌聲涌來(lái)，卻沒(méi)有幾個(gè)學(xué)生感恩我的付出．學(xué)生的‘冷血’讓我深刻反?。何揖蜑榱粟A得這一‘佳績(jī)’嗎？如果給學(xué)生的只是分?jǐn)?shù)，那叫教育嗎？”

“因此，在教育的‘速成’與‘養(yǎng)成’之間我選擇‘養(yǎng)成’，與其大量刷題，不如陪學(xué)生讀一本書；在教學(xué)的‘外鑠’與‘內(nèi)化’之間我追求‘內(nèi)化’，少?gòu)?qiáng)迫，多引導(dǎo)，讓學(xué)生在自我教育中成長(zhǎng)；在教育的‘有用’與‘無(wú)用’之間我更鐘情于‘無(wú)用’，班級(jí)的審美教育、底線教育、陽(yáng)光教育等活動(dòng)開展貫穿每學(xué)期．我知道，教孩子三年，就要考慮孩子30年的成長(zhǎng)與發(fā)展．”[27]

第三，辯證思維的自覺(jué)指導(dǎo)．

上面所提及的“教與學(xué)”“規(guī)范（優(yōu)化）與開放”之間的關(guān)系顯然即可被看成這一方面的典型例子．

以下再針對(duì)“快與慢”之間的關(guān)系做出進(jìn)一步分析：對(duì)此顯然不應(yīng)僅從時(shí)間的維度進(jìn)行理解，而應(yīng)更加注重相應(yīng)的實(shí)質(zhì)性問(wèn)題，也即應(yīng)當(dāng)努力做到“當(dāng)快則快，當(dāng)慢則慢”．例如，既不應(yīng)在形式等方面花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間，又應(yīng)積極鼓勵(lì)學(xué)生舍得花時(shí)間去從事思考，特別是更高層面的思考，從而就能“居高臨下”地去解決問(wèn)題．

例如，如果學(xué)生在解題過(guò)程中遇到了較大困難，這時(shí)就應(yīng)引導(dǎo)他們跳出面對(duì)的問(wèn)題并從更大范圍去進(jìn)行分析思考，即如什么是這方面的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容？什么又是要解決的主要問(wèn)題？主要的難點(diǎn)是什么？什么又可被看成突破難點(diǎn)的主要手段或方法？等等——盡管這些思考似乎已在一定程度上偏離了當(dāng)前的任務(wù)，但又往往會(huì)對(duì)順利解決問(wèn)題有很大的幫助．

還應(yīng)指出的是，辯證思維的應(yīng)用事實(shí)上也可被看成“中國(guó)解題研究”最重要的一個(gè)特征．對(duì)此例如由羅增儒和任樟輝教授所總結(jié)的“解題策略”或“思維原則”就可清楚地看出：“模式識(shí)別、映射化歸、差異分析、分合并用、進(jìn)退互化、正反相輔、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、有效增設(shè)、以美啟真”[28]；“以簡(jiǎn)馭繁、進(jìn)退互用、數(shù)形遷移、化生為熟、正難則反、倒順相通、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換、分合相輔、引參求變、以美啟真”[29]．

再則，從上述角度可以更好地理解正確處理邏輯與直覺(jué)之間關(guān)系的重要性，特別是，不僅應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生很好地學(xué)會(huì)邏輯思維，也應(yīng)努力促進(jìn)他們直覺(jué)能力的發(fā)展，而不應(yīng)片面地強(qiáng)調(diào)其中的任何一個(gè)．例如，依據(jù)直覺(jué)思維的“跳躍性、形象性和整體性”就可總結(jié)出這樣一些具體的教學(xué)措施：相對(duì)于“按部就班”而言，應(yīng)當(dāng)積極鼓勵(lì)必要的“壓縮”（凝聚）和跳躍，教學(xué)中還應(yīng)十分重視“畫圖”這一策略的應(yīng)用，因?yàn)?，后者即可被看成?nèi)在思維活動(dòng)的顯化，從而就十分有益于跳出細(xì)節(jié)從整體上去把握對(duì)象，包括形象思維與直覺(jué)能力的培養(yǎng)．

第四，幫助學(xué)生由“理性思維”逐步走向“理性精神”應(yīng)當(dāng)成為這方面教學(xué)工作的一個(gè)更高追求．

顯然，上述工作不僅具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，也是中國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者所應(yīng)自覺(jué)承擔(dān)的一項(xiàng)社會(huì)責(zé)任，因?yàn)?，這正是中國(guó)傳統(tǒng)文化的一個(gè)明顯不足，即理性精神的缺失，而數(shù)學(xué)教育確又可以、而且應(yīng)當(dāng)在這一方面發(fā)揮重要的作用[30]．

當(dāng)然，“理性精神”的養(yǎng)成主要又應(yīng)被看成一個(gè)潛移默化的過(guò)程，因此，就應(yīng)特別重視教師的以身作則．因?yàn)椋瑹o(wú)法想象一個(gè)既不喜歡思考，平時(shí)處事又十分任性的數(shù)學(xué)教師能夠通過(guò)自己的教學(xué)幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)思維并能真正成為一個(gè)高度自覺(jué)的理性人．

最后，再次強(qiáng)調(diào)的是，這方面工作確有很多問(wèn)題需要深入地進(jìn)行研究，十分希望能有更多同行，特別是廣大一線教師積極投身這一工作．

[1] 鄭毓信．?dāng)?shù)學(xué)方法論[M]．南寧：廣西教育出版社，2008：整體引用．

[2] 鄭毓信．“問(wèn)題解決”與數(shù)學(xué)教育[J]．?dāng)?shù)學(xué)傳播，1993（4）：74–83．

[3] 鄭毓信．對(duì)于波利亞的超越[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，1994（7）：不詳．

[4] 鄭毓信．時(shí)代的挑戰(zhàn)——美國(guó)數(shù)學(xué)教育研究之一[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1992，1（1）：40–46．

[5] CARRAHER T. Adult mathematical skills, the effect of schooling [Z]. Paper presented at the annual meeting of the American Educational Research Association, 1988.

[6] FUYS D, GEDDES D, TISCHLER R. English translation of selected writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele [Z]. Brooklyn College, 1959.

[7] 維果斯基．思維與語(yǔ)言[M]．杭州：浙江教育出版社，1997：104．

[8] 弗賴登塔爾．作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]．上海：上海教育出版社，1995：124．

[9] 中華人民共和國(guó)教育部．全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（草案）[M]．北京：人民教育出版社，1963：整體引用．

[10] TALL D. Cognitive growth in elementary and advanced mathematical thinking [Z]. Plenary Lecture Conference of PME, Recife, Brazil, 1995.

[11] KAHNEMAN D. Thinking, fast and slow [Z]. Penguin Books, 2011.

[12] 鄭毓信．“數(shù)學(xué)與思維”之深思[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（1）：1–5．

[13] 鄭毓信．小學(xué)數(shù)學(xué)教育的理論與實(shí)踐[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2017：整體引用．

[14] 波利亞．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M]．呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社，1981：182．

[15] 陳重穆，宋乃慶．淡化形式，注重實(shí)質(zhì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1993，2（2）：6–11．

[16] SCHWARTZ J. The pernicious influence of mathematics on science [M] // KAC M, ROTA G-C, SCHWARTZ J. Discrete thoughts. New York: Birkh?user, 1986: 19–26.

[17] 懷特海．?dāng)?shù)學(xué)與善[M]．北京：知識(shí)出版社，1986：337–360．

[18] 張奠宙．中國(guó)數(shù)學(xué)教育的軟肋：高中空轉(zhuǎn)——美國(guó)奧賽教練馮祖嗚等訪談錄[M] // 張奠宙．張奠宙數(shù)學(xué)教育隨想錄．上海：華東師范大學(xué)出版社，2013：88–91．

[19] SCHOENFELD A. Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sense making in mathematics [M] // GROUWS D. Handbook of research on mathematics teaching and learning. London: Macmillan, 1992: 334–370.

[20] 鄭毓信．?dāng)?shù)學(xué)深度教學(xué)的理論與實(shí)踐[M]．南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020：整體引用．

[21] 史寧中．人是如何認(rèn)識(shí)和表達(dá)空間的[J]．小學(xué)教學(xué)，2019（3）：14．

[22] 顧明遠(yuǎn)．核心素養(yǎng)：課程改革的原動(dòng)力[J]．人民教育，2015（13）：17–18．

[23] 鄭毓信．中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)之我見[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（10）：1–3；2020（11）：1–4．

[24] 鄭毓信．聚焦“習(xí)題教學(xué)”——“復(fù)歸”后的感受與思考[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（4）：2–5；2021（5）：2–3．

[25] 鄭毓信．“就題論道”的三個(gè)實(shí)例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2021（11）：1–4．

[26] 厲佳旭．最好的校園令人發(fā)呆[J]．人民教育，2020（1）：49–52．

[27] 陳立軍．陪學(xué)生遇見美好的自己[J]．人民教育，2020（5）：78–80．

[28] 羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論[M]．西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997：整體引用．

[29] 任樟輝．?dāng)?shù)學(xué)思維論[M]．南寧：廣西教育出版社，1990：281．

[30] 鄭毓信．?dāng)?shù)學(xué)教師應(yīng)有的“文化擔(dān)當(dāng)”[J]．湖南教育，2019（1–3）：22–24．

Two Stages of Mathematics Teaching for Thinking

ZHENG Yu-xin

(Department of Philosophy, Nanjing University, Jiangsu Nanjing 210093, China)

Teaching mathematical thinking should be divided into two stages: (1) helping students learn to think mathematically and in this way to improve their thinking; (2) going from “think mathematically” to “l(fā)earn to think through mathematics”, and thus improve students’ thinking quality. By comparing with this “spiral development”, it can be clearly seen the one-sidedness of the following two views: the de-disciplinarization of basic education, and the narrow interpretation of the objectives of mathematics education from the disciplinary perspective.

two stages of teaching mathematical thinking; think mathematically; learn to think through mathematics; spiral development

G40–03

A

1004–9894（2022）01–0001–06

鄭毓信．?dāng)?shù)學(xué)思維教學(xué)的“兩階段理論”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（1）：1-6．

2021–10–03

鄭毓信（1944—），男，浙江鎮(zhèn)海人，教授，博士生導(dǎo)師，國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-10）國(guó)際程序委員會(huì)委員，主要從事數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]