高中數(shù)學(xué)思想方法的結(jié)構(gòu)化教學(xué)研究*

衛(wèi)福山

(上海市松江二中 201600)

1 基本概念

(1)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，就是從數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)設(shè)計(jì)和組織教學(xué)，以完善和發(fā)展學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu).”這里數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)包括了數(shù)學(xué)的基本觀念(數(shù)學(xué)概念、命題、思想方法)以及這些數(shù)學(xué)觀念的內(nèi)在聯(lián)系、學(xué)習(xí)態(tài)度和方法等.

(2)數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果.數(shù)學(xué)方法是人們從事數(shù)學(xué)活動時所使用的方法.數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法既有聯(lián)系又有區(qū)別，思想是對事物和客觀規(guī)律的本質(zhì)的概括認(rèn)識，而方法是達(dá)成這種認(rèn)識的手段和步驟.張奠宙教授指出：“同一個數(shù)學(xué)成就，當(dāng)用它去解決別的問題時，稱之為方法，當(dāng)評價(jià)它在數(shù)學(xué)體系中的自身價(jià)值和意義時，稱之為思想.”因此，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法有時不加區(qū)別，常?；煊没蚝嫌茫y(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法.

2 高中數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)——以上海2020年高中數(shù)學(xué)新教材為例

北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授、人民教育出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書主編劉紹學(xué)先生在《中學(xué)數(shù)學(xué)概觀》中指出：“在進(jìn)行具體內(nèi)容的教學(xué)時，對它在中學(xué)數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)中的位置有一清晰的了解是重要的，為此需要對中學(xué)數(shù)學(xué)有一個概括性的描述.這里我把中學(xué)數(shù)學(xué)概括為一些知識點(diǎn)，并選擇‘?dāng)?shù)量關(guān)系’‘空間形式’‘?dāng)?shù)形結(jié)合’等三條粗線條把它們編織起來，以便大家對它有一條粗線條但略有秩序的理解.”按照劉紹學(xué)教授的觀點(diǎn)，中學(xué)數(shù)學(xué)的主要知識即三條主線：數(shù)量關(guān)系(代數(shù))、空間形式(幾何)、數(shù)形結(jié)合(思想方法)，涵蓋了內(nèi)容與方法，也說明我們在關(guān)注數(shù)學(xué)知識的同時，也要重視數(shù)學(xué)思想方法.

上海高中數(shù)學(xué)新教材課程的結(jié)構(gòu)及內(nèi)容如圖1所示.結(jié)合劉紹學(xué)教授的觀點(diǎn)，我們可以把上海高中數(shù)學(xué)新教材主要內(nèi)容的結(jié)構(gòu)圖展示如圖2所示.

圖1

圖2

結(jié)合數(shù)學(xué)本質(zhì)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系、空間形式、數(shù)形結(jié)合等三條粗線分別進(jìn)行結(jié)構(gòu)化分析，如圖3所示.

圖3 數(shù)形結(jié)合的知識結(jié)構(gòu)

從以上三種分類所形成的結(jié)構(gòu)分析可以發(fā)現(xiàn)，由“數(shù)量關(guān)系”形成的結(jié)構(gòu)以及由“空間形式”形成的結(jié)構(gòu)反映出的知識是靜態(tài)的，是由單純的知識按照各自關(guān)系形成；而由“數(shù)形結(jié)合”所形成的結(jié)構(gòu)則有方法技能的體現(xiàn)，反映知識動態(tài)的一面.通過“數(shù)”與“形”及“數(shù)形結(jié)合”歸納的高中數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)，有以下優(yōu)點(diǎn)：①按照數(shù)學(xué)的本質(zhì)對高中數(shù)學(xué)知識進(jìn)行結(jié)構(gòu)分類，便于知識的整合與重組；②對空間形式所形成的結(jié)構(gòu)通過數(shù)形結(jié)合的方式實(shí)現(xiàn)圖形從定性分析向定量分析轉(zhuǎn)化，同時對“數(shù)量關(guān)系”中的結(jié)構(gòu)可以利用幾何直觀使問題簡化；③靜態(tài)知識結(jié)構(gòu)與動態(tài)結(jié)構(gòu)的結(jié)合，是結(jié)構(gòu)的不同表征，有利于探究知識的發(fā)生過程及學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的形成.

3 基于結(jié)構(gòu)化觀點(diǎn)的高中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

3.1 為什么要進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

(1)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)本身就包括數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的大致構(gòu)成如圖4所示.

圖4

數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)既指數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的編排結(jié)構(gòu)即數(shù)學(xué)內(nèi)容及其排列、組合方式，也指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身所固有的內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)內(nèi)容本身的邏輯結(jié)構(gòu)，如立體幾何中空間的角與距離都是通過轉(zhuǎn)化為平面的角與距離來加以定義的.數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)既指數(shù)學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的思想方法及其排列與組合的方式，也指解決某一數(shù)學(xué)問題所用的具體方法或步驟.如冪、指、對數(shù)函數(shù)教材內(nèi)容所蘊(yùn)含的思想方法是：從實(shí)例抽象概括出一般數(shù)學(xué)模型，再用特殊到一般、具體到抽象、分類討論、數(shù)形結(jié)合等方法研究函數(shù)的性質(zhì)，最后應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解決問題.

(2)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出：“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)(簡稱‘四基’)；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱‘四能’).”“四基”與“四能”蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)思想方法.

(3)數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)，即思維的要求

數(shù)學(xué)知識本身很重要，但數(shù)學(xué)知識所承載的思維方法更重要.而理解問題是思維活動最有效的形式，理解問題的過程就是在運(yùn)用理性的思維去試圖解釋問題、探尋解決問題的方法.學(xué)生思維能力培養(yǎng)要達(dá)到的目標(biāo)就是學(xué)生會用數(shù)學(xué)的方法思考問題、提出問題、解決問題.而思維能力的培養(yǎng)，依據(jù)數(shù)學(xué)中的概念等基本知識，主線是學(xué)科思想，最終目標(biāo)即學(xué)科核心素養(yǎng).比如在《數(shù)列》的學(xué)習(xí)中，教師除了要教授學(xué)生掌握等差、等比數(shù)列基本概念與性質(zhì)、數(shù)列其他性質(zhì)外，還應(yīng)該從知識背后的思想方法的角度引發(fā)學(xué)生思考，即函數(shù)的思想、類比的思想等，這樣學(xué)生就能自己學(xué)習(xí)與思考了.

(4)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的根本途徑

大量實(shí)踐表明，試圖通過讓學(xué)生做大量習(xí)題，進(jìn)行解題訓(xùn)練來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的教學(xué)并不成功或者事倍功半，主要原因是忽視了數(shù)學(xué)思想方法的作用.事實(shí)上，在學(xué)生具備了一定的知識之后，數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法在數(shù)學(xué)活動中積累感性認(rèn)識，隨著感性認(rèn)識的積累達(dá)到一定的程度，學(xué)生的認(rèn)識便會發(fā)生飛躍(類似于哲學(xué)中的從量變到質(zhì)變)，形成對一類數(shù)學(xué)活動的理性認(rèn)識，即有關(guān)的數(shù)學(xué)思想，與之相伴隨，學(xué)生的數(shù)學(xué)與能力便逐漸形成.因此，數(shù)學(xué)思想方法是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的根本途徑，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高具有統(tǒng)攝作用.如“運(yùn)算能力”是指會根據(jù)有關(guān)法則、公式正確處理數(shù)據(jù)，能夠根據(jù)問題條件尋找并設(shè)計(jì)合理而簡捷的運(yùn)算途徑.運(yùn)算能力的高低取決于運(yùn)算技能、思維水平以及對算理的理解等，其核心則是在正確理解概念的基礎(chǔ)上掌握轉(zhuǎn)化的思想方法，提高學(xué)生對數(shù)或式的變形能力.學(xué)生在高中學(xué)習(xí)解析幾何有關(guān)內(nèi)容時，運(yùn)算能力很薄弱，經(jīng)常算錯或算不下去，凸顯運(yùn)算能力的欠缺，而究其原因，可能是概念理解、轉(zhuǎn)化、變形等方面出現(xiàn)了問題，教學(xué)中便可以對癥下藥.

(5)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的關(guān)鍵

進(jìn)入新世紀(jì)以來，創(chuàng)新能力作為適應(yīng)社會發(fā)展需要所必備的能力，已被確立為基礎(chǔ)教育中必須著重培養(yǎng)的能力.數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，在創(chuàng)新能力的培養(yǎng)中發(fā)揮獨(dú)特的作用，而數(shù)學(xué)思想方法在其中發(fā)揮著極其重要的作用，主要體現(xiàn)在它為學(xué)生提供了有關(guān)如何學(xué)習(xí)、如何思考的策略性知識.這種策略性知識與事實(shí)性知識的結(jié)合非常緊密，相互滲透，相互融合，這就要求在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要把這些策略性知識與數(shù)學(xué)具體知識結(jié)合起來，從而使學(xué)生在獲得知識的同時，體會到知識發(fā)生發(fā)展過程中的思想和方法.

3.2 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的原則

由于數(shù)學(xué)思想方法是隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的暗線，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)一般采用滲透的形式進(jìn)行.如何滲透、怎么滲透，是值得我們在教學(xué)前思考的問題.在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，一般應(yīng)遵循以下原則：

(1)反復(fù)滲透

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)本來就是一個螺旋上升、連續(xù)反復(fù)的過程，數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)更加抽象、困難，因此數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)不可能一蹴而就，而需要一個連續(xù)反復(fù)的過程，可以在教學(xué)的各個階段進(jìn)行滲透.比如三角比，初中學(xué)了簡單的銳角三角比，到了高中，將角的概念推廣到任意角，繼續(xù)三角比的學(xué)習(xí)，并學(xué)習(xí)了三角比的誘導(dǎo)公式，最后又把任意角的三角比化成銳角三角比.為什么推廣了角的概念及三角比的定義，又要回到銳角三角比呢？這其中肯定有它的道理，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，需要教學(xué)中多次反復(fù)，幫助學(xué)生加深理解.

(2)循序漸進(jìn)

數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)過程是一個抽象的認(rèn)知的過程，需要經(jīng)歷從領(lǐng)悟到形成、從鞏固到應(yīng)用的發(fā)展過程，要遵循“教師引導(dǎo)、逐步滲透、適時總結(jié)”的程序.在教學(xué)時滲透必須遵循教學(xué)規(guī)律，由淺及深、由表及里逐步滲透，并根據(jù)具體知識與方法的不同采用不同教學(xué)手段循序漸進(jìn)地進(jìn)行.比如函數(shù)思想，初中按依賴關(guān)系定義了函數(shù)，并學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)，到了高中階段逐步深化，從集合的角度重新定義了函數(shù)，并學(xué)習(xí)了冪、指、對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)，研究了這些初等函數(shù)的圖象與性質(zhì).學(xué)生開始不明白也不了解為什么函數(shù)要重新定義，經(jīng)過一段時間的反復(fù)、循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)后，學(xué)生對函數(shù)的思想才逐步明確.

(3)主體參與

數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)教師主導(dǎo)、學(xué)生主體的原則，就是要通過各種數(shù)學(xué)活動讓學(xué)生成為主體.數(shù)學(xué)思想方法也是數(shù)學(xué)活動的內(nèi)容之一，需要學(xué)生親自去感受與體驗(yàn)，教師通過學(xué)生的理解再去引導(dǎo)與講解，才有助于學(xué)生真正領(lǐng)悟和掌握數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵.比如橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，這是一個繁瑣的計(jì)算過程，完全可以讓學(xué)生參與進(jìn)來，鍛煉思維能力和計(jì)算能力.試想一下，如果教師直接快速按教材推導(dǎo)出來或者干脆不推導(dǎo)，直接告訴學(xué)生最后的結(jié)果，學(xué)生就沒有體會到其中的運(yùn)算技巧與運(yùn)算策略，甚至公式背后的故事(如圓錐曲線的第二定義).相反，學(xué)生主動參與后，印象會很深刻，既提升了運(yùn)算能力，也對后續(xù)雙曲線、拋物線的學(xué)習(xí)有很好的參考作用.

(4)系統(tǒng)歸納

數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)是形成并完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這需要對知識定期地做系統(tǒng)的梳理(復(fù)習(xí))，也就是說，教師要引導(dǎo)學(xué)生把分散的知識點(diǎn)和某種思想系統(tǒng)起來，并加以儲存、提取和應(yīng)用，以便形成一個較為完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法以數(shù)學(xué)知識為載體，通過教學(xué)過程逐步滲透，但考慮到內(nèi)容、進(jìn)度等因素，數(shù)學(xué)思想方法的滲透是間斷的，這就需要教師適時地把體現(xiàn)某一數(shù)學(xué)思想方法的分散的問題重新搜集起來，并加以歸納和系統(tǒng)化.比如數(shù)形結(jié)合思想，表現(xiàn)的具體方法有圖解法、解析法、復(fù)數(shù)法、向量法等，與之有關(guān)的知識系統(tǒng)有集合中的數(shù)軸、函數(shù)中的圖象、解析幾何中的直角坐標(biāo)系、復(fù)數(shù)中的復(fù)平面、向量中的平行四邊形(三角形)法則等.教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，分階段、分內(nèi)容地對蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想加以歸納，這將有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)性的認(rèn)識.

3.3 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的途徑

(1)新知識的形成過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)新知識的發(fā)生過程需要教師引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的方法，使其逐步領(lǐng)悟并應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題.教師可以設(shè)計(jì)合適的情境、一定的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考、概括問題的本質(zhì)，并提升到數(shù)學(xué)思想方法的高度，幫助學(xué)生領(lǐng)悟新知識中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

案例1

三角比的定義教學(xué)片斷

·復(fù)習(xí)引入

回顧：在初中我們學(xué)習(xí)了銳角的三角比，它是在直角三角形的條件下，通過角

α

的對邊、鄰邊與斜邊之間兩兩的比值來定義的.你能在直角三角形中正確表示銳角的各個三角比嗎？

·引申鋪墊

問題1

前面我們學(xué)習(xí)了象限角，即把角放在平面直角坐標(biāo)系中研究.把上面的角

α

放在平面直角坐標(biāo)系中，如何表示角

α

的正弦、余弦、正切呢？

問題2

上面問題1中的角

α

是Rt△

OPM

的一個內(nèi)角(銳角)，結(jié)合象限角的概念，點(diǎn)

P

是角

α

終邊上的一個點(diǎn)，換一個點(diǎn)(如

Q

，圖5)來表示角

α

的正弦、余弦、正切，你會有什么發(fā)現(xiàn)？

圖5

問題3

以上研究的是銳角

α

的正弦、余弦、正切，如果角

α

是鈍角呢？

·分析歸納

通過以上的分析，給出平面直角坐標(biāo)系下任意角

α

的正弦、余弦、正切的定義，拓展給出任意角

α

的正割、余割、余切的定義.并歸納定義的關(guān)鍵與本質(zhì)，即用角終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角比.

以上教學(xué)片斷通過設(shè)置若干循序漸進(jìn)的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考.教師可以在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考本質(zhì)，挖掘出知識背后的思想方法，這樣學(xué)生對三角比定義的理解才比較深刻.

(2)新知識的鞏固過程中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)新知識需要及時鞏固才能形成技能培養(yǎng)能力.鞏固新知識的過程就是大量練習(xí)的過程，通過系統(tǒng)的歸納總結(jié)揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，這為數(shù)學(xué)思想方法的形成和滲透提供了很好的機(jī)會，在鞏固學(xué)生解題能力的同時也發(fā)展了學(xué)生的思維能力.

案例2

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的教學(xué)片斷

例1

比較大小：

1)1.2與1.2；2)0.2與0.2；

與與0.3；

5)1.4與0.9.

例2

若

a

<

a

(

a

>0,

a

≠1)，比較

m

,

n

的大小.

設(shè)計(jì)說明

例1的5個小題分別代表不同類型，以此讓學(xué)生深化對基本知識的理解與運(yùn)用，體會轉(zhuǎn)化與化歸思想方法.從例1的特殊到例2的一般化，對參數(shù)(字母)的不確定性需要討論(基于例1的特殊情況的歸納總結(jié))，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想.

(3)新知識的總結(jié)歸納中概括數(shù)學(xué)思想方法

每節(jié)新授課一般都會有課堂小結(jié)，歸納知識點(diǎn)的同時應(yīng)注意對思想方法的概括.同一個知識點(diǎn)可能會包含多種數(shù)學(xué)思想方法，反過來，一種數(shù)學(xué)思想方法又可能出現(xiàn)在多個知識點(diǎn)中，所以教師要正確引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會概括思想方法.

案例3

“函數(shù)的奇偶性”課堂小結(jié)片斷通過框圖(圖6)比較清晰地展現(xiàn)了本節(jié)課的主要內(nèi)容，教師在引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容的同時，要同時系統(tǒng)歸納其中的數(shù)學(xué)思想方法.如研究函數(shù)的奇偶性要先看定義域是否對稱，再看解析式是否滿足定義，這蘊(yùn)含化歸的思想方法；“

f

(-

x

)=

f

(

x

)”與“

f

(-

x

)=-

f

(

x

)”有幾種等價(jià)變形，蘊(yùn)含了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法；函數(shù)奇偶性的判斷結(jié)果有且只有四種，即奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)，這是分類討論思想方法的應(yīng)用.

圖6

(4)反思中引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法要被學(xué)生接受和應(yīng)用，除了教師的滲透和訓(xùn)練，還需要學(xué)生自己在解題后的反思中去領(lǐng)悟.著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾說過：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力.”教師如果能經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生反思解題的過程及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，總結(jié)常見的錯誤及原因，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上升到數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的高度，對提升學(xué)生的思維能力和水平必將有幫助.比如在推導(dǎo)完等比數(shù)列求和公式后，教師帶領(lǐng)學(xué)生反思推導(dǎo)過程中運(yùn)用的分類討論思想，反思：為什么要分類？分類的標(biāo)準(zhǔn)如何確定？如果不分類，結(jié)果如何？這樣的反思有助于學(xué)生加深對分類討論思想方法的深刻理解.

(5)解題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題，但這不等同于“題海戰(zhàn)術(shù)”.解題教學(xué)是在教師指導(dǎo)下，學(xué)生將所學(xué)知識應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)問題的一種實(shí)踐性活動.弗賴登塔爾認(rèn)為：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是實(shí)行‘再創(chuàng)造’”，這就要求學(xué)生把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造出來，教師進(jìn)行引導(dǎo)與輔助，而不是滿堂灌.因此，在解題教學(xué)中，教師應(yīng)組織學(xué)生分析已知、未知和所求，然后學(xué)生自己嘗試尋求解決問題的辦法，通過觀察、歸納、類比、聯(lián)想和論證提出各種解題策略，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法確定問題的最終解法.著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中提出解題過程分為四大步驟：弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧反思，其中“擬定計(jì)劃”這一過程展現(xiàn)了思維過程，教師可以滲透數(shù)學(xué)思想方法.

案例4

一道期末考試題解答的教學(xué)片斷題目：已知

a

,

b

,

c

分別為△

ABC

三個內(nèi)角

A

,

B

,

C

的對邊，

S

為△

ABC

的面積，sin(

B

+

C

)證明：

A

=2

C

.第一步：弄清問題，明確題目的已知與所求，即即有關(guān)三角形邊、角、面積關(guān)系的推理問題，需要不斷應(yīng)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.怎么轉(zhuǎn)化？我們可以將題目的條件與結(jié)論化整為零.比如在三角形中，學(xué)生熟知的基本知識有：sin(

B

+

C

)=sin

A

，

S

=

A

=2

C

?sin

A

=sin 2

C

?sin(

A

-

C

)=sin

C

?

C

.

第二步：擬定計(jì)劃，對題目的條件與結(jié)論變形分析后綜合聯(lián)想，注意到理解三角形問題的一般策略是“化邊”或“化角”，擬定如下的解題思路：

思路1 (條件化角)由于于是條件化為即sin于是sin

A

-sin

C

=sin

B

sin

C

，利用和差化積公式有sin(

A

-

C

)=sin

C

.思路2 (條件化邊)由條件得sin于是有

a

-

c

=

bc

.欲證

A

=2

C

，即證sin

A

=sin 2

C

，也即證sin

A

=2sin

C

cos

C

，化成邊，即證將條件代入即可.

第三步：實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，按照擬定計(jì)劃的思路，可以完成本題的解答，這里省略.

從以上解題過程來看，數(shù)學(xué)思想方法對正確解題起到了一定的指導(dǎo)與引領(lǐng)作用，特別是進(jìn)行一題多解、多題一解、一題多變教學(xué)時，一定要從引導(dǎo)數(shù)學(xué)思想方法的高度對解題進(jìn)行反思與提煉，這樣才能有助于學(xué)生更好地掌握解題策略與解題方法.

3.4 高中數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)思想方法

高中數(shù)學(xué)中重要而基本的數(shù)學(xué)思想方法主要有：數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程，如表1所示.

表1 高中數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法基本涵義關(guān)系圖數(shù)形結(jié)合利用數(shù)與形的優(yōu)勢互補(bǔ)來解決問題分類討論將一個大問題(范圍較廣)劃分為若干小問題(范圍較小)并逐一解決轉(zhuǎn)化與化歸把有待解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題函數(shù)與方程用函數(shù)與方程的觀點(diǎn)去處理變量、未知數(shù)之間的關(guān)系,然后使問題得到解決