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      2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一道解三角形試題的多解及推廣

      2023-01-09 08:49:02葉誠理
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年3期
      關(guān)鍵詞:福清關(guān)系式本題

      葉誠理

      (福建省福清第一中學(xué) 350300)

      何 燈

      (福建省福清第三中學(xué) 350315)

      1 試題分析

      2 試題解析

      評注本解法通過正弦定理把邊b,c的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角度B,C的關(guān)系,結(jié)合三角形內(nèi)角和關(guān)系,運用三角恒等變換公式,轉(zhuǎn)化成與角C相關(guān)的三角函數(shù)計算問題.

      評注本解法仍然是通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系,與解法1不同之處在于通過聯(lián)立角A,B,C的關(guān)系,把角B,C統(tǒng)一用角A表示,從而得到關(guān)于角A的三角關(guān)系式,體現(xiàn)了方程思想在解三角形中的應(yīng)用.

      圖1

      評注本解法通過添加輔助線將角B分解為兩個角,從而構(gòu)造兩個相似三角形,再利用余弦定理構(gòu)建邊a的方程,實現(xiàn)了面積的轉(zhuǎn)化計算.

      圖2

      評注本解法通過建立坐標(biāo)系實現(xiàn)把解三角形問題運用解析幾何知識來求解.關(guān)鍵是幾何條件代數(shù)化,其中,以B為原點的好處是可以根據(jù)AB=1把點A看成是單位圓上的點,用角B巧設(shè)點A坐標(biāo).利用直線AC的斜率表達(dá)式,把含邊長a的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成角B的三角函數(shù),進(jìn)而通過AC距離公式計算sinB,最終轉(zhuǎn)化成面積.

      3 試題推廣

      借鑒解法2,我們可以得到本題在一般情況下的結(jié)論.

      4 解題心得

      條條大道通羅馬,本題解法的多樣性讓我們感受到數(shù)學(xué)思維的無限魅力.解題中用到的知識涉及函數(shù)、方程、三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等;對一般性結(jié)論的推廣開闊了我們的視野,揭示了問題的本質(zhì).本題集中考查了解三角形問題中考生的抽象概括能力、運算求解能力和創(chuàng)新應(yīng)用意識;用到的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程思想(特別是消元思想)、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等[1].本題的一題多解彰顯出靈活合理地運用所學(xué)知識解決實際問題的能力的重要性,不僅對競賽生,也對廣大高考生具有一定啟發(fā)意義,即對數(shù)學(xué)知識的融會貫通、對數(shù)學(xué)方法的嫻熟運用和對數(shù)學(xué)思想的深刻領(lǐng)會是考場上制勝的關(guān)鍵[2].

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