基于范希爾理論的2021年浙江省中考數學幾何試題分析*

李柏翰 唐恒鈞

(浙江師范大學教師教育學院 321004)

中考是義務教育階段的終結性考試，是全面衡量初中學生在學科學習方面是否達到初中學業(yè)水平的考試[1].幾何學是研究空間結構及其關系的一門學科，在認識現實世界、培養(yǎng)邏輯推理能力、空間想象力等方面發(fā)揮著不可忽視的作用[2]，同時有研究表明[3]：中國的初中階段教材比較重視“圖形與幾何”，圖形與幾何是中學數學知識體系中的重要內容；而國內對于幾何試題的研究主要聚焦在幾何試題的解題研究以及高中階段的解析幾何與立體幾何，對于義務教育階段幾何試題的研究卻相對較少.另外，對于試題的研究比較多集中在難度、知識維度、知識廣度等一系列客觀層面，很少涉及學生的思維發(fā)展層面.教育部在《教育部關于加強初中學業(yè)水平考試命題工作的意見》中指出試題命制要注重考查思維過程，因此有必要對中考數學中的幾何試題進行思維水平的分析，明確中考幾何試題要求的幾何思維水平，為中學數學教學提供良好的導向.

中考數學幾何試題的考查反映了教育行政部門和課程標準對于初中學生幾何思維水平的要求.本文基于范希爾幾何思維水平理論，研究2021年浙江中考數學幾何試題，探討幾何試題背后的思維水平處于哪一層次、每一思維水平的試題是如何考的、有什么樣的特點.

1 范希爾幾何思維水平理論與相關研究

范希爾幾何思維水平理論是范希爾夫婦通過長期教學實踐總結的理論成果，該理論最早發(fā)表在他們共同完成的博士論文之中.而后，范希爾理論得到蘇聯、美國等國的廣泛關注，成為刻畫幾何思維的重要理論基礎.本文引用文[4]中關于范希爾理論的描述，幾何思維分為5個水平：視覺、分析、非形式化的演繹、形式化的演繹和嚴密性.這些不同的水平之間具有順序性，即學生思維水平的發(fā)展是從低到高的，學生必須到達前一個水平才能通過教育跨越進入后一個水平.

國外對于范希爾理論的研究起步比較早，如Whitman基于范希爾理論對日美兩國幾何教材進行比較分析[5]，Fuys對美國三套數學教材進行比較研究，Usiskin編制了測量中學生幾何思維水平的測試題.而國內對范希爾理論的研究相對較少，且比較集中在課程教材比較分析和評價學生思維水平，如文[6]對137位在職教師的幾何思維水平進行了測試，文[7]對中美幾何教材中的“相似”內容進行比較研究.

中考幾何試題的編制是以義務教育課程標準為依據，反映了義務教育課程標準對于學生幾何思維發(fā)展的要求.有研究表明：范希爾理論雖然產生于西方，但是在東方文化下范希爾理論仍然有效[5].因此，可以將范希爾理論作為本文研究的理論依據.

2 研究方法

本研究對浙江省2021年11個地級市的10份中考數學試題(其中嘉興舟山同卷)中的幾何內容進行分析與討論，涉及內容包括《義務教育數學課程標準(2011年版)》[8]中第三學段“圖形與幾何”的圖形的性質、圖形的變化以及圖形與坐標.這里，我們將范希爾幾何思維的5個水平(視覺、分析、非形式化的演繹、形式化的演繹和嚴密性)分別記為水平1～5.本文將范希爾理論具體化，給出中考幾何試題的范希爾幾何思維水平量化表.具體如表1所示.

表1 范希爾幾何思維水平量化表

本文對浙江省10套中考數學試卷中的幾何試題進行統(tǒng)計分析，統(tǒng)計幾何知識考查的比重，(試卷中幾何試題的分值占試卷總分的比值)、各個思維水平所占的分值以及各個思維水平分值占幾何試題分值的比重.值得說明的是，如果某些試題(如解答題)的設置是一題多問的，則該試題按照小題進行統(tǒng)計，相應的分值參考教育部門發(fā)布的中考數學參考答案中分配的分值.

在上述統(tǒng)計結果的基礎上，本文依據義務教育數學課程標準將幾何試題的知識領域分為點線面角、相交線與平行線、三角形、四邊形、圓、尺規(guī)作圖、定義命題定理、圖形的軸對稱、圖形的旋轉、圖形的平移、圖形的相似、圖形的投影、坐標與圖形位置、坐標與圖形運動這14個知識領域.對每一層思維水平的幾何試題所涉及的知識領域進行統(tǒng)計，并統(tǒng)計每一層思維水平下每一知識領域在全省10份試卷中的覆蓋率.

3 研究結果與分析

3.1 試題的幾何思維水平

表2給出了浙江省2021年各地區(qū)中考數學幾何試題5個思維水平的比重.統(tǒng)計各地區(qū)幾何思維比重的平均值可以發(fā)現，浙江省2021年中考數學幾何試題的思維水平考查最多的是水平3(54.9%)，其次是水平4(23.6%).水平2的試題分值比重達到21.5%，沒有考查水平1和水平5的試題.這說明浙江省各地區(qū)的中考數學幾何試題更多是考查水平3和水平4的試題，尤其是水平3，這可能是因為義務教育課程標準指出：在數學課程中，應當注重發(fā)展學生的幾何直觀和推理能力[9].

表2 浙江省各地區(qū)幾何試題5個思維水平比重

3.2 幾何試題的知識領域

基于上述分析，筆者將從水平2、水平3、水平4分別對幾何試題的知識領域進行分析，具體分析結果如下.

(1)思維水平2

從表3可以看出思維水平2的試題所考查的知識領域包括相交線與平行線、三角形、矩形、圓、尺規(guī)作圖、圖形的旋轉、圖形的相似以及圖形的投影.其中“圖形的投影”覆蓋率最高(70%)，考查的具體內容主要為“判斷簡單物體的視圖”，并以選擇題的形式出現.“圖形的相似”覆蓋率達到30%，考查的具體內容主要是“認識銳角三角函數”，考查學生是否掌握“銳角三角函數的定義”.“尺規(guī)作圖”“圖形的旋轉”覆蓋率均為20%，考查的具體內容主要是“了解中心對稱圖形的概念”，并以選擇題和作圖題的形式出現.另外，剩余的主要通過選擇題的形式考查相關的定義.總體來看，思維水平2的試題考查形式最多的是選擇題，考查內容最多的是物體的三視圖，試題的設置主要考查學生對相關定義的掌握程度.

表3 思維水平2試題各知識領域覆蓋率

(2)思維水平3

表4給出了思維水平3的試題所考查知識領域的情況，考查最多的為相交線與平行線、三角形、四邊形和圓，覆蓋率分別為90%,100%,90%和80%，在選擇題、填空題、解答題中均有涉及.相交線與平行線知識領域主要考查平行線的判定與性質；三角形知識領域考查的具體內容主要包括全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、直角三角形的性質與勾股定理以及三角形三線的性質；四邊形知識領域考查的具體內容主要包括平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定與性質以及三角形中位線定理；圓知識領域考查的具體內容主要包括圓周角定理及其推論以及垂徑定理.圖形的相似覆蓋率為60%，考查的內容主要為相似三角形的判定與性質.另外，圖形的軸對稱、圖形的旋轉、圖形的平移經常作為題目的載體，例如某某圖形沿著某條邊翻折.從以上分析可以看出，思維水平3的試題更側重考查一些特殊圖形(平行線、特殊三角形、特殊四邊形、圓)的判定與性質.

表4 思維水平3試題各知識領域覆蓋率

(3)思維水平4

表5給出了思維水平4及以上試題所考查知識領域的情況.思維水平4及以上的試題通常出現在選擇題、填空題和解答題的壓軸題，考查最多的為三角形、四邊形和圖形的相似，覆蓋率均為100%.三角形知識領域考查的具體內容主要包括全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、直角三角形的性質與勾股定理以及三角形三線的性質；四邊形知識領域考查的具體內容主要包括平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定與性質以及三角形中位線定理；圖形的相似知識領域考查的具體內容主要包括相似三角形的判定與性質.圖形的軸對稱、圖形的旋轉、圖形的平移也同樣作為題目的載體.思維水平4及以上的試題更側重考查一些特殊的圖形(特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形)的判定與性質，這些題目的解決有些需要作輔助線，有些需要多次使用特殊圖形的判定與性質，具有一定的難度.

表5 思維水平4及以上試題思維水平各知識領域覆蓋率

4 啟示

分析了2021年浙江地區(qū)中考數學幾何試題發(fā)現，浙江各地區(qū)都比較重視對幾何知識的考查，并且考查的幾何試題的思維水平主要在水平3，其次是水平4.水平2的試題主要考查學生對相關定義的掌握程度，水平3的試題更側重考查一些特殊圖形(平行線、特殊三角形、特殊四邊形、圓)的判定與性質，水平4的試題更側重考查一些特殊圖形(特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形)的判定與性質.基于上述研究分析，教師在教學中應該特別關注以下兩個方面.

一方面需要注重學生思維過程的經歷.浙江2021年中考數學幾何試題水平3及以上的分值比重接近80%，這需要教師在教學過程中關注學生的思維過程，而不是停留在“知其然而不知其所以然”“填鴨式教育”的階段.教師需要正確認識學生的學習狀態(tài)，對缺乏思考的環(huán)節(jié)進行追問，對思考不正確的環(huán)節(jié)進行詰問，幫助學生形成完善、清晰的思維圖式[9].

舉例而言，在“探索勾股定理”這一節(jié)教學中，學生在方格紙上驗證直角三角形三邊的平方有什么關系.直角三角形的兩條直角邊記為a和b，斜邊為c，大部分學生都能想到以直角三角形的三邊向外作三個正方形，分別記為A,B,C.對于正方形A和B的面積，學生是比較容易求的，但是正方形C的面積是需要學生思考的.部分學生可能已經預習過這一節(jié)的內容，很快用割補法或填充法計算出正方形C的面積，其實這里學生的思維過程是不夠完整的.教師需要對學生進行追問：“為什么你能想到這個方法？”或者“這個方法可行嗎？理由是什么?”經過教師的提問，學生會對自己的思維過程進行反思，會意識到通過割補或者填充可以把正方形C的面積轉化成求1個正方形和4個直角三角形的面積，而求1個正方形和4個直角三角形的面積是在學生的知識容量之內.同時也會意識到割補法或填充法可行的理由是4個直角三角形是全等的.經過以上教學過程，學生對勾股定理的認識自然就更加深刻了.

另一方面，設計有效題組練習加以支撐.學生學習的過程是學科知識的建構以及思維水平的提高，在這個過程中不僅僅需要教師精心準備新課的教學，還需要有效的題組練習.教師在例題和習題的選擇上要精心地設計題組練習，為學生的思維發(fā)展創(chuàng)造條件.題組練習的設置可以考慮多題一用、多題一解、一題多解、一題多變等形式.多題一用可以讓學生理解題目的本質，培養(yǎng)思維的準確性；多題一解可以讓學生揭開看似不同試題的“外表”，培養(yǎng)思維的深刻性；一題多解可以讓學生從不同的思維角度去思考問題，有效地避免題海戰(zhàn)術，培養(yǎng)思維的發(fā)散性；一題多變可以針對一個核心問題變換題目的條件、結論和表達形式以得到一系列題目，學生可以在一題多變的練習中培養(yǎng)思維的廣闊性.

總之，分析2021年浙江省中考數學幾何試題，可以發(fā)現浙江省比較重視幾何試題的考查，考查的思維水平更偏向較高的思維水平.同時水平3及以上思維水平的試題更側重考查學生對一些特殊圖形的判定與性質的掌握情況.教師需要在教學實踐中關注學生的思維過程，通過合理的方式促進學生幾何思維水平的發(fā)展.