正弦洋流感應電場數(shù)值模擬及分析?

吉芙蓉，李予國,2??，段雙敏

(1.中國海洋大學海洋地球科學學院, 山東 青島 266100；2.青島海洋科學與技術試點國家實驗室 海洋礦產資源評價與探測技術功能實驗室，山東 青島 266237)

海水是一種良導體，且處于不停的運動中。海水運動因切割地磁場會生成微弱的電流，進而在海水及其周圍空間中激發(fā)感生電磁場。洋流又稱海流，是指海水大規(guī)模、相對穩(wěn)定的非周期性流動現(xiàn)象。它主要是受風力、壓強梯度力、地球偏轉力和湍流摩擦力的共同作用形成的，同時受海底地形、海岸線和島嶼等因素的影響[1]。海流根據驅動力主要可以分為風生海流和熱鹽環(huán)流兩大類。在深水大洋中，前者只會影響到大洋的上層和中層，而熱鹽環(huán)流可以發(fā)生在大洋的整個區(qū)域[2]。

在探測海底地質結構的海洋電磁法研究中，海水運動電磁感應噪聲是影響實測電磁數(shù)據質量的主要噪聲和干擾。對這類電磁噪聲進行壓制或分離是海洋電磁(Marine electromagnetic,MT)數(shù)據處理解釋中的一項重要工作[3-5]。

海流感應電磁場研究始于20世紀50年代。Longuet-Higgins等[6]較全面地闡述了海水運動感應電場理論，并分析了海流感應電場的特征。Sanford等[7]推導了海水深度變化和橫向無界海洋中隨時間變化的海流感應電場表達式。Larsen[8]提出了以電離層和海水為場源的海水運動感應電磁場控制方程，并討論了均勻分層模型和非均勻導電薄層模型的海水運動感應電磁場特征。陳蕓等[9]對國外關于海水運動感應電磁場研究的文獻進行了綜述及討論。陳標等[10]結合畢奧薩法爾定律計算了地磁場垂直分量作用下的典型海流感應磁場。張自力[11]計算了海流感應電磁場。Bhatt[12]采用格林函數(shù)法計算了地磁場垂直分量作用下一維和二維勻速海水運動感應電磁場。

1 洋流感應電場表達式

在海洋中，磁場B由穩(wěn)定的地磁場F和海流感應磁場b兩部分組成，即B=F+b。考慮到短時間內有限小范圍區(qū)域內地磁場F基本不變，且地磁場的幅值遠大于海流感應磁場b的幅值，即|B|?|b|，則麥克斯韋方程組可以寫成為：

(1)

▽×b=μ0J。

(2)

式中感應電流密度J?σ(E+V×F)。引入磁矢量勢a，使得感應磁場b=▽×a，且磁矢量勢a滿足庫侖規(guī)范，即Δ·a=0。則由式(1)可得

(3)

式中φ為電磁場的標量勢。

▽φ=V×F-J/σ,

(4)

對上述方程等式左右兩邊同時取散度，可得

▽2φ=F·▽×V。

(5)

在導出上式的過程中，本文利用了如下幾個基本假設和定律：(1)地磁場是無旋的，即▽×F=0；(2)電導率是均勻的，即▽σ=0；(3)歐姆定律▽·J=0。

建立笛卡爾直角坐標系，假定坐標原點位于海表面，z軸正向垂直向下，x軸指向正北，y軸指向正東(見圖1)。海水和海底介質的電導率分別為σ1和σ2，海水厚度為H，并假定海流流動方向與y軸平行，且海流僅限于海洋表層，其厚度和流速分別為H′和Vy=v0cos(αx)，這里α=2π/L是海流速度變化的周期，L表示海流的半寬度。海洋的其余部分保持靜止不動，海底沉積層的底部界面深度為Hs，其厚度為ΔHs=Hs-H。在通常情況下，海底沉積層的電導率為0.2～1 S/m左右，而海底沉積層下覆地殼的電導率一般為0.000 1～0.03 S/m[15]。為了簡化起見，本文將海底沉積層下覆地層近似看作為高阻絕緣地殼，其電導率為零。

圖1 海流-地電模型

地磁場F為矢量場，可以分解成為垂直地磁場Fz和水平地磁場FH。應用疊加原理，海水及其周圍空間中的感應電場可以看作為分別由垂直地磁場和水平地磁場而產生的感應電場之和。同理，感應電場的標量勢也是由兩部分組成的，即

φ=φ′+φ″。

(6)

式中φ'和φ''分別為與垂直地磁場和水平地磁場有關的標量勢。由式(6)可知，在海流層中，φ1′滿足泊松方程：

▽2φ1′=-αv0Fzsinαx。

(7)

在靜止海水層和海底沉積層中，標量勢φ′滿足拉普拉斯方程：

▽2φ2′=0，▽2φ3′=0。

(8)

而在海流層、靜止海水層和海底沉積層中，φ″均滿足拉普拉斯方程：

▽2φ1″=0，▽2φ2″=0，▽2φ3″=0。

(9)

偏微分方程(7)和(8)的通解具有如下形式：

φ1′=a1e-αzsinαx+b1eαzsinαx+v0Fzsinαx/α，

φ2′=a2e-αzsinαx+b2eαzsinαx，

φ3′=a3e-αzsinαx+b3eαzsinαx。

(10)

式中：ai和bi(i=1,2,3)為待定系數(shù)，它們由標量勢φ′所滿足的邊界條件而確定：在海表面上(z=0)，電流密度的法向分量為零；在海流層和靜止海水層分界面處(z=H′)以及海底界面上(z=H)，標量勢和電流密度的法向分量均連續(xù)；在沉積層底界面上(z=Hs)，電流密度的法向分量為零。利用這些邊界條件，可以求得所有6個待定系數(shù)的表達式：

(11)

式中：

p1=cosh(αΔHs)+σrsinh(αΔHs)，

p2=cosh(αΔHs)-σrsinh(αΔHs)，

p3=cosh(αΔHs)sinh(αH)+

σrsinh(αΔHs)cosh(αH)，

p4=cosh(αΔHs)sinh(α(H-H′))+

σrsinh(αΔHs)cosh(α(H-H′)。

這里σr=σ2/σ1為海底沉積層電導率與海水電導率之比，即海底沉積層的相對電導率，它是一個無量綱參數(shù)。

在求得各層中的φ′和φ″后，由式(6)可得到海流層、靜止海水層和海底沉積層中總標量勢φ的表達式：

(12)

式中：

scrcs(C)≡sinh(C)cosh(αΔHs)+

σrcosh(C)sinh(αΔHs),

ccrss(C)≡cosh(C)cosh(αΔHs)+

σrsinh(C)sinh(αΔHs)。

在求得總標量勢后，對其求梯度(E=-▽φ)，即可以得到海流層、靜止海水層和海底沉積層中洋流感應電場表達式。

2 洋流感應電場特征及其影響因素

本文編寫了模擬洋流感應電場的計算程序，用該程序可以計算正弦洋流感應電場以及電流密度。考慮由海水層、海底沉積層以及地殼絕緣層構成的地電模型，假設海水層和海底沉積層的電導率分別為σ1=3.4 S/m和σ2=0.34 S/m，海水深度為H=1 000 m，其中海流層深度為H′=500 m。假設海流流動方向與y軸平行，海流的半寬度為L=20 km，其流速為Vy=v0cos(αx)，取海底沉積層底界面埋深為Hs=2 000 m，我們用本文方法和程序計算上述海流-地電模型洋流感應電場及電流，并分析其空間分布特征和影響因素。

2.1 洋流感應電流分布特征

地磁場大小和方向可以用磁場矢量F來表示，單位nT。假設圖1中洋流-地電模型所在處的地理坐標為(50°N，110°E)，利用國際地磁場模型WMM2019計算得到該處的地磁場，其垂直分量Fz和水平分量FH分別為56 164.4和20 193.2 nT(https://www.ngdc.noaa.gov/geomag/calculators/)。在下面討論中，我們假定地磁場保持不變，為一常值，利用前面所述方法和程序可以計算得到洋流感應電場及電流密度。

模擬計算出基于垂直地磁場的洋流感應電流，分析其在垂直剖面XOZ內的分布特征(見圖2)。與y軸平行的洋流因切割地磁場而產生環(huán)形模式的感應電流，該電流在垂直剖面XOZ內流動，表層海流激發(fā)的電流在海流層內流動，但部分電流會流到靜止海水層中，形成一個閉合回路(見圖2(a))。在通常情況下，海底沉積層的電導率為0.2～1 S/m左右，具有較好的導電性，因而會發(fā)生電流“泄漏”，小部分電流會穿過海底界面進入海底沉積層中，然后再返回海水中，形成閉合電流回路(見圖2(b))。為了說明電流“泄漏”現(xiàn)象，圖2(a)中海底沉積層假設為理想絕緣層，泄露到海底介質中的電流大小與海底沉積層的電導率和厚度有關。更確切地說，它與海底介質的縱向電導即海底沉積層電導率和厚度的乘積有關。對此，我們將在后面做詳細討論。

((a)海底介質為絕緣層，(b)海底介質為導電沉積層。箭頭表示洋流感應電流密度的方向，色標表示感應電流密度的大小。(a)Insulating seafloor；(b)Conductive seafloor sediments.Arrow and color code indicate the direction and magnitude of the current density respectively.)

由圖2可見，基于垂直地磁場的洋流感應電流在垂直剖面(XOZ)上是關于x=0對稱的，洋流感應電流密度的絕對值在x=0處最大，向兩側逐漸減小，這是由于正弦洋流速度Vy=v0cos(αx)為軸對稱函數(shù)的緣故。洋流感應電流密度的方向和海流速度方向相關，當海流沿著y軸正向流動時，則大部分感應電流平行x軸流動。當海底介質為導電沉積層時，大部分電流集中在海流層和靜止海水層中，但小部分電流流入海底沉積層中，即發(fā)生電流“泄露”。這部分電流的強度約為海流層感應電流的10%左右(見圖2(b))。泄露電流最終將穿過海底界面返回海水中，并與海水層中的電流匯合形成閉合回路。

考慮到有部分洋流感應電流與水平地磁場有關，模擬計算出基于水平地磁場的洋流感應電流。圖3為基于水平地磁場的洋流感應電流在垂直剖面XOZ內的分布?；谒降卮艌龅难罅鞲袘娏髟诖怪逼拭?XOZ)內也是關于x=0對稱的，但洋流感應電流密度的絕對值在x=0處最小，向兩側逐漸增大。絕大部分感應電流集中在海流層中，只有極少部分感應電流會流入靜止海水層和導電沉積層中(見圖3(b)。當海底介質為絕緣地殼時，基于水平地磁場的洋流感應電流不會穿過海底界面，即不會發(fā)生電流“泄露”現(xiàn)象(見圖3(a))。根據式(6)，模擬基于地磁總場的洋流感應電流在垂直剖面上的分布(見圖4)，感應電流密度在XOZ上仍然是形成閉合回路，但是不再是關于x=0對稱，尤其是在海流層區(qū)域。

((a)海底介質為絕緣層，(b)海底介質為導電沉積層。箭頭表示洋流感應電流密度的方向，色標表示感應電流密度的大小。(a)Insulating seafloor；(b)Conductive seafloor sediments.Arrow and color code indicate the direction and magnitude of the current density respectively.)

((a)海底介質為絕緣層，(b)海底介質為導電沉積層。箭頭表示洋流感應電流密度的方向，色標表示感應電流密度的大小。(a)Insulating seafloor；(b)Conductive seafloor sediments.Arrow and color code indicate the direction and magnitude of the current density respectively.)

2.2 洋流感應電場的影響因素

由洋流感應標量勢表達式(12)可知，影響洋流感應標量勢以及由其導出的感應電場的主要參數(shù)為海流層厚度(H′)、海水厚度(H)、海底沉積層埋深(Hs)、海流水平尺度(L)和海水及海底介質的電導率(σ1和σ2)。將以上6個參數(shù)無量綱化，可以得到4個無量綱參數(shù)：縱橫比H/L，海流層相對厚度H′/H，海底沉積層相對厚度(Hs-H)/H=ΔHs/H和海底介質相對電導率σr=σ2/σ1。下面我們分析以上4個無量綱參數(shù)對洋流感應電場的影響。

在本文前面推導寬海流感應電場表達式時，我們假定海水厚度遠遠小于海流水平尺度(即H≤L)，且海流流動緩慢(假定海流流速不大于10 m/s)，只有在這些條件下，洋流感應電場可以近似為標量勢的負梯度，即E=-▽φ。前人研究表明[16]，當H≤L時，在海水和沉積層中洋流感應電場幾乎是垂直均勻分布的，洋流感應電場可以近似看作為一個常值。

為了確定合適的縱橫比，使得H/L滿足E=-▽φ的近似條件，又不會出現(xiàn)L過大，計算效率降低的情況，我們計算了不同縱橫比時的洋流感應電場。圖5為5個不同縱橫比情形下洋流感應電場垂直剖面。由圖5可見，當縱橫比較大時，洋流感應電場隨著深度增加而逐漸衰減，但洋流感應電場的衰減程度隨著H/L的減小而變弱。當縱橫比進一步減小時，垂直剖面上的感應電場趨于均勻分布。在本文算例中，當縱橫比為H/L=0.05時，海底界面處感應電場大約為海面感應電場的96.9%，海底沉積層底部界面處感應電場大約為海表面感應電場的92.3%。當縱橫比為H/L=0.01時，從海表面到海底沉積層底部整個垂直剖面上，洋流感應電場的變化小于0.5%。

圖5 不同縱橫比時洋流感應電場隨深度的變化曲線

海流層相對厚度H′/H反映流動海水在整個海水中所占的比例，可以理解為激發(fā)場源的相對范圍。在厚度為1 000 m的海水中，假定海流層的厚度分別為0、250、500、750和1 000 m，采用本文所述方法和程序計算海底面處平行x軸剖面上洋流感應電場(見圖6)。圖6繪出了海流速度曲線，當海流層厚度為零時，不會產生感應電場，其值為零；海底界面處洋流感應電場的絕對值隨著海流層厚度的增大而增大，當整個海水都成為海流層時，洋流感應電場最強；在海底面處平行x軸剖面上，洋流感應電場曲線呈余弦變化特征，即與海流速度變化形態(tài)一致。

(實線為海底界面處感應電場變化曲線，黑色虛線為海流速度變化曲線。Solid lines indicates the induced electric field.Black dashed indicates ocean current velocity.)

為了分析海底沉積層對洋流感應電流導通能力的影響，引入沉積層電導系數(shù)λ，定義其為海底沉積層縱向電導與海水層縱向電導的比值，即λ=σ2ΔHs/σ1H?？v向電導為電導率和層厚的乘積，它表示電流沿層面方向流過某一電性層時，該層電流流通能力的大小。λ代表著海底沉積層中電流的相對流通能力。理想情況下，λ的值越大，說明海底沉積層中洋流感應電流的流通能力越強，這意味著洋流感生電場的分布區(qū)域更闊廣，這將導致海底界面處感應電場的幅值減小。我們模擬計算了各種ΔHs/H和σr情形下海底界面處洋流感應電場(其中海水深度H=1 000 m，海水電導率σ1= 3.4 S/m)(見圖7)。圖7中橫坐標表示海底介質相對電導率，縱坐標表示海底沉積層相對厚度。當海底沉積層相對厚度固定時，海底界面處洋流感應電場隨著沉積層相對電導率的增加而減?。划敽５壮练e層相對電導率固定時，海底界面處洋流感應電場隨著沉積層相對厚度的增大而減小。隨著海底沉積層縱向電導的不斷增大(或電導系數(shù)的增大)，海底界面處洋流感應電場幅值逐漸減小。

(黑色曲線為沉積層電導系數(shù)λ的等值線。Black lines are contours of sediment conductance factor λ.)

3 結語

本文推導了水平地層正弦洋流激發(fā)的感應電場表達式，編寫了計算程序，計算了一維地電模型正弦洋流感應電場，并分析了縱橫比、海流層相對厚度、海底沉積層相對厚度和海底沉積層相對電導率等4個無量綱參數(shù)對洋流感應電場的影響。模擬結果表明，對于寬海流，基于垂直地磁場的洋流感應水平電場在垂直剖面上是均勻分布的；洋流感應電流為環(huán)形模式，僅在垂直剖面內流動，在海水和沉積層中形成閉合回路；洋流感應電流在沉積層中的流通能力取決于沉積層的縱向電導，隨著沉積層縱向電導的不斷增大，海底界面處感應電場幅值逐漸減?。缓５捉缑嫣幯罅鞲袘妶龅姆惦S著海流層厚度的增大而增大。該結果對了解海流感應電磁場產生機理、分布規(guī)律、幅值大小以及其特性具有重要意義，并可以為海洋電磁探測中壓制洋流感應電磁噪聲方法研究奠定基礎。