吳丹陽，繆 清

(云南民族大學 數(shù)學與計算機科學學院，云南 昆明 650500)

弱解的存在性，得到了問題至少存在3個弱解的充分條件.

主要研究了帶有Navier邊值條件(p1,…,pn)的雙調(diào)和系統(tǒng)

(1)

(F2)對任意的x∈Ω,F(x,0,…,0)=0.

非線性四階橢圓型邊值問題近年來得到了很多研究.文獻[1]中指出,此類型的非線性方程來源于懸索橋行波的模型研究，同樣梁的靜態(tài)形式變化或剛體的運動也可以用非線性四階方程來描述[2-5,7-10].在文獻[11]中,作者考慮了下述帶有Navier邊值條件的p-雙調(diào)和方程

(2)

f:Ω×R→R是連續(xù)函數(shù),g:Ω×R→R是Caratheodor函數(shù), 利用Ricceri[6]的臨界點理論得到：存在一個開區(qū)間Λ?[0,+∞)和一個正實數(shù)ρ,使得對任意的λ∈Λ,方程(2)至少存在3個弱解.文獻[12]中，作者討論了含有Navier邊值條件的(p,q)雙調(diào)和問題的多解性.在文獻[13]中,由Ricceri三臨界點理論,作者證明了對于下述帶有Navier邊值條件的(p1,…,pn)雙調(diào)和問題至少存在3個弱解：

(3)

1 預備知識

定義1.2[14]設Ω?Rn是一個開集,k是非負整數(shù),1≤p≤∞,稱集合Wk,p(Ω)={u∈Lp(Ω)|?αu∈Lp(Ω),|α|≤k}.按照范數(shù)

(4)

記

(5)

其中1≤i≤n,這里Γ表示Gamma函數(shù).對任意的γ>0,令集合

2 主要結論

定理2.1[15]X是可分的自反的實Banach空間,φ:X→R是一個連續(xù)Gateaux可微且序列弱下半連續(xù)的函數(shù),它的Gateaux導數(shù)在X*上連續(xù),ψ:X→R是連續(xù)Gateaux可微函數(shù),它的導數(shù)是緊算子.假設

(2)φ(u0)

則存在一個非空開集Λ?[0,+∞)和一個正實數(shù)σ有以下性質(zhì)：對每一個λ∈Λ和每個連續(xù)函數(shù)J:X→R,它的Gateaux導數(shù)是緊算子,存在δ>0使得對每個μ∈[0,δ].方程φ′(u)+λψ′(u)+μJ′(u)=0在X中至少有3個解,并且它們的范數(shù)小于σ.

定義2.1如果u=(u1,…,un)∈X是方程組(1)的弱解,那么對任意(v1,…,vn)∈X滿足

那么對一切x∈Ω和ui∈Rn,存在一個開區(qū)間Λ?[0,+∞)和一個正實數(shù)q,使得對每個λ∈Λ,問題(1)在X中至少存在3個弱解且它們的范數(shù)小于q.

證明：對任意的u=(u1,…,un)∈X,定義函數(shù)φ,ψ,J:X→R,

由于φ,ψ,J在X的每個有界子集上是有界的連續(xù)Gateaux可微的函數(shù),且在點u=(u1,…,un)∈X處對一切(v1,…,vn)∈X滿足：

因為φ′:X→X*是X中一致單調(diào)的算子[16,推論2.2],所以φ是序列弱下半連續(xù)函數(shù).下面證明ψ′:X→X*是緊算子：根據(jù)文獻[17],對任意u=(u1,…,un)∈X,當m→∞時,(u1,m,…,un,m)在X中弱收斂于(u1,…,un),即當m→∞時,(u1,m,…,un,m)在Ω上一致收斂于(u1,…,un).對每個x∈Ω,F(x,…)在Rn中是連續(xù)的,F的導數(shù)在Rn中也是連續(xù)的,所以當1≤i≤n時,Fui(x,u1,m,…,un,m)強收斂于Fui(x,u1,…,un),因此ψ′在X上是強連續(xù)的.由于X是自反空間,存在有界序列(u1,m,…,un,m)使得,當m→∞時,(u1,m,…,un,m)在X中弱收斂于(u1,…,un),所以當m→∞時ψ′(u1,m,…,un,m)強收斂于ψ′(u1,…,un),即證ψ′是緊算子.

因此，φ(u0)=ψ(u0)=0,

所以對一切x∈Ω和u=(u1,…,un)∈X,使得φ(u)≤r.又由于

至此,定理2.1的所有條件都滿足,所以雙調(diào)和方程組(1)至少存在3個弱解.