構(gòu)建轉(zhuǎn)化關(guān)系 巧解多個(gè)三角形

倪軍

摘 要：解三角形問題是高考試題中較為常見的一類命題，它涉及到邊、角、面積和周長的計(jì)算等.對于平面幾何問題，有時(shí)可將其分解成多個(gè)三角形進(jìn)行求解，這時(shí)則需要通過某種關(guān)系構(gòu)建等量關(guān)系進(jìn)行求解.

關(guān)鍵詞：多個(gè)三角形;正弦定理;余弦定理

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0027-03

利用正、余弦定理求解多個(gè)三角形問題，一般會(huì)以平面幾何為背景進(jìn)行命題，對于此類問題一般需要通過邊、角或向量知識(shí)為紐帶進(jìn)行求解.

1 以邊為紐帶，巧解多個(gè)三角形在四邊形中，通過連接對角線，則可以構(gòu)造成兩個(gè)三角形，在三角形中，取其中一邊上一點(diǎn)與其該邊的頂點(diǎn)相互連接，則會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)小三角形和一個(gè)大三角形，解決此類問題，一般可以通過求解其公共邊進(jìn)行解決.

例1 如圖1，在平面四邊形ABCD中，∠ABC=π3，∠ADC=π2，BC=2.

（1）若△ABC的面積為332，求AC;

（2）若AD=23，∠ACB=∠ACD+π3，求tan∠ACD.

解析 （1）在△ABC中，因?yàn)锽C=2，

∠ABC=π3，

S△ABC=12AB·BC·sin∠ABC=332，

所以32AB=332，

解得AB=3.在△ABC中，由余弦定理，得

AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=7.

所以AC=7.

（2）設(shè)∠ACD=α，

則∠ACB=∠ACD+π3=α+π3.

如圖1，在Rt△ACD中，因?yàn)锳D=23，

圖1

所以AC=ADsinα=23sinα.

在△ABC中，∠BAC=π-∠ACB-∠ABC=π3-α.

由正弦定理，得BCsin∠BAC=ACsin∠ABC.

即2sinπ3-α=2332sinα.

所以2sinπ3-α=sinα.

所以232cosα-12sinα=sinα.

即3cosα=2sinα.

所以tanα=32.

即tan∠ACD=32.

點(diǎn)評 化邊為角與和角或差角公式的正向或反向多次聯(lián)用是常用的技巧，對于多個(gè)三角形的求解問題，通常可以先在一個(gè)三角形中進(jìn)行解三角形，求出公共邊的長或表達(dá)式，然后再根據(jù)另外一個(gè)三角形建立等式關(guān)系去求解題目所設(shè)置的問題.

2 以角為紐帶，巧解多個(gè)三角形在三角形中，取其中一條邊上的一點(diǎn)，與該對邊的頂點(diǎn)相互連接，則可構(gòu)成兩個(gè)三角形，其中這條邊的兩側(cè)所對應(yīng)的兩個(gè)互為補(bǔ)角的角所對應(yīng)的余弦值互為相反數(shù)，因此可利用余弦定理分別在兩個(gè)三角形中去求解這兩個(gè)角的余弦值，再根據(jù)兩角間的關(guān)系建立等式.

例2 （2021年山東滕州一中月考）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a（sinA+sinB）=2bsinB.

（1）證明：A=B;

（2）記線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)為D，若CD=17，b=5，求c.

解析 （1）因?yàn)閍（sinA+sinB）=2bsinB，

所以由正弦定理，得a（a+b）=2b2.

整理，得（a+2b）（a-b）=0.

因?yàn)閍+2b>0，所以a=b，即A=B.

（2）設(shè)BD=x，則AD=2x.

由余弦定理，得

cos∠CDA=4x2+17-252×2x×17，

cos∠CDB=x2+17-252×x×17.

因?yàn)椤螩DA=π-∠CDB，

所以4x2+17-252×2x×17=-x2+17-252×x×17.

解得x=2.

所以c=AB=3BD=6.

點(diǎn)評 根據(jù)∠CDA=π-∠CDB和余弦定理將邊化角是迅速解答本題的關(guān)鍵，對于此類問題，在熟練運(yùn)用余弦定理及其推論的基礎(chǔ)上，還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用.

3 以向量為紐帶，巧解多個(gè)三角形

平面向量的三種線性運(yùn)算的結(jié)果仍為向量，在三種線性運(yùn)算中，加法是最基本、最重要的運(yùn)算，減法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算都以加法運(yùn)算為基礎(chǔ)，都可以歸結(jié)為加法運(yùn)算.在多個(gè)三角形中就可以通過線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積構(gòu)建等式關(guān)系，其中，余弦定理就可以通過向量方法進(jìn)行推導(dǎo).

例3 （2021年安徽安慶模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsinC+

sinA+sinBa-b=csinC，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，且AD=7.

（1）求A;

（2）若b=2c，求△ABC的面積.

解析 （1）因?yàn)閟inA+sinBa-b+bsinC=csinC，由正弦定理，得

a2-b2+bc=c2.

由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=12.

所以A=π3.

（2）因?yàn)锳D為△ABC的中線，

所以2AD=AB+AC.

兩邊同時(shí)平方，得

4AD2=AB2+AC2+2AB·ACcosA.

故28=c2+b2+bc.

因?yàn)閎=2c，所以c=2，b=4.

所以S△ABC=12bcsinA=23.

點(diǎn)評 進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來解決.解決兩個(gè)三角形的解三角形問題，一般要用公共邊的向量表示其它邊，再進(jìn)行平方，進(jìn)而結(jié)合向量知識(shí)與余弦定理的關(guān)系進(jìn)行求解.

跟蹤訓(xùn)練 △ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.

（1）求sin∠Bsin∠C;

（2）若AD=1，DC=22，求BD和AC的長.

解析 （1）S△ABD=12AB·ADsin∠BAD，

S△ADC=12AC·ADsin∠CAD，

因?yàn)镾△ABD=2S△ADC，∠BAD=∠CAD，

所以AB=2AC.

由正弦定理，得

sin∠Bsin∠C=ACAB=12.

（2）因?yàn)镾△ABD∶S△ADC=BD∶DC，

所以BD=2.

在△ABD和△ADC中，由余弦定理，得

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB，

AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC，

故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

由（1）知AB=2AC，故AC=1.

參考文獻(xiàn)：

[1] 蔣敏，陳國林.數(shù)學(xué)思想在解三角形中的精彩綻放[J].數(shù)理化解題研究，2018（22）：14-15.

[2] 陳國林.三角問題靈活多變，多維探究發(fā)散思維[J].廣東教育，2020（11）：22-24.

[責(zé)任編輯：李 璟]