楊憲偉
摘 要:含參函數(shù)壓軸問(wèn)題是高考的重點(diǎn),也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).本文以一道試題的多解和多變?yōu)槔?,淺析高考試題中含參函數(shù)壓軸問(wèn)題的處理策略.
關(guān)鍵詞:含參函數(shù);一題多解;一題多變;深度學(xué)習(xí)
中圖分類(lèi)號(hào):G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A?? 文章編號(hào):1008-0333(2022)04-0037-03
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版2020年修訂)提出,高中數(shù)學(xué)課程要以學(xué)生發(fā)展為本,落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù),培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí),提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(簡(jiǎn)稱(chēng)“四基”);提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力(簡(jiǎn)稱(chēng)“四能”).數(shù)學(xué)解題教學(xué)就是落實(shí)“四基”“四能”的重要過(guò)程,教師要積極開(kāi)展一題多解和一題多變活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生自主探究、克服弱點(diǎn)、攻破難點(diǎn)、解決疑點(diǎn),總結(jié)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的策略.
1典例分析
例1 已知直線(xiàn)y=x+1與曲線(xiàn)y=ln(x+a)相切,求a的值.
策略1 設(shè)切點(diǎn),方程思想.
設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,則
m+1=ln(m+a).①
又因?yàn)閥′=1x+a,所以k=1m+a=1.
即m+a=1.代入①式,得m+1=0.
所以m=-1,a=2.
點(diǎn)評(píng) 本法涉及的知識(shí)是必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí),蘊(yùn)含的是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法和基本思想,是變式引申的基礎(chǔ)和鋪墊.
策略2 借圖象,幾何直觀.
曲線(xiàn)y=lnx在(1,0)處的切線(xiàn)為y=x-1,所以直線(xiàn)y=x+1與曲線(xiàn)y=ln(x+2)相切.故a=2.
點(diǎn)評(píng) 本法從熟悉的一個(gè)知識(shí)結(jié)合函數(shù)圖象平移快速解決問(wèn)題,是必需積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).
2變式引申
變式1 已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?? ).
A.(-∞,0)?? B.(0,12)
C.(0,1)D.(0,+∞)
策略3 半分離,數(shù)形結(jié)合.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn),
所以f ′(x)=lnx-2ax+1=0至少有兩個(gè)解.
即方程lnx=2ax-1至少有兩個(gè)解.
故函數(shù)y=lnx和y=2ax-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
圖1
直線(xiàn)y=x-1與曲線(xiàn)y=lnx相切,結(jié)合圖1可知:0<2a<1.
即0點(diǎn)評(píng) 本法的主要策略就是分而治之,數(shù)形結(jié)合,這也是常見(jiàn)的處理含參問(wèn)題的一種方法,我們稱(chēng)之為“半分離,數(shù)形結(jié)合”.
策略4 不分離,分類(lèi)討論.
令g(x)=lnx-2ax+1,則g′(x)=-2ax+1x.
①當(dāng)a≤0時(shí),g′(x)>0在(0,+∞)恒成立,f ′(x)=lnx-2ax+1在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不可能有兩個(gè)零點(diǎn),故不滿(mǎn)足條件;
②當(dāng)a>0,0
當(dāng)x>12a時(shí),g′(x)<0.
所以g(x)在(0,12a)上單調(diào)遞增,在(12a,+∞)上單調(diào)遞減.
所以g(12a)=ln12a>0.
即12a>1.
所以0策略5 求值域,極限說(shuō)明.
作為選擇題,可以確定選B,但如果是解答題,必須保證圖象是圖2這樣才可以,即函數(shù)兩側(cè)的圖象必須在x軸的下方
.事實(shí)上,當(dāng)x→0時(shí),g(x)→-∞;當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→-∞,故0圖2
策略6 要證明,嚴(yán)謹(jǐn)找點(diǎn).
如果作為解答題,要避開(kāi)極限,可以找點(diǎn)用零點(diǎn)的存在性定理嚴(yán)謹(jǐn)證明.
1e∈(0,12a),g(1e)=-12a<0,1a2∈(12a,+∞),g(1a2)=2ln1a-2a+1≤2(1a-1)-2a+1=-1<0(用到了常見(jiàn)的對(duì)數(shù)放縮lnx≤x-1,書(shū)寫(xiě)步驟時(shí)需要證明),故0點(diǎn)評(píng) 本法也是常見(jiàn)的處理含參問(wèn)題的一種方法,我們稱(chēng)之為“不分離,分類(lèi)討論”.若作為解答題,可以用極限思想解決問(wèn)題,也可以通過(guò)找點(diǎn)用零點(diǎn)的存在性定理嚴(yán)格證明,但找點(diǎn)難度比較大,選取的時(shí)候要兼顧函數(shù)值計(jì)算簡(jiǎn)單和滿(mǎn)足要求這兩條,有時(shí)甚至需要借助指對(duì)放縮加以說(shuō)明.
策略7 全分離,研究函數(shù).
lnx-2ax+1=0,即a=lnx+12x.
令h(x)=lnx+12x,則h′(x)=-lnx2x2.
當(dāng)0
圖3
策略8 遇困難,適當(dāng)放縮.
和剛剛面臨的情況一樣,0易證lnx≤x-1,所以lnx≤x-1.
即lnx≤2x-2.
故當(dāng)x>1時(shí),h(x)=lnx+12x≤2x-12x<12x.
故對(duì)于任意的0點(diǎn)評(píng) 這種方法主體是“全分離,研究函數(shù)”,若作為解答題,必須要繼續(xù)嚴(yán)謹(jǐn)證明.但是端點(diǎn)的函數(shù)值不確定時(shí)可以用極限或洛必達(dá)法則說(shuō)明.事實(shí)上,函數(shù)y=lnx+1的增長(zhǎng)速度比函數(shù)y=2x的增長(zhǎng)速度慢,所以x→+∞時(shí),h(x)→0.若要避開(kāi)極限和洛必達(dá)法則,可以通過(guò)放縮,轉(zhuǎn)化為熟悉函數(shù).
變式2 已知a為常數(shù),函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1A.f(x1)>0,f(x2)>-12
B.f(x1)<0,f(x2)<-12
C.f(x1)>0,f(x2)<-12
D.f(x1)<0,f(x2)>-12
策略9 隱零點(diǎn),整體代換.
易知:01.
所以f(x1)=x1(lnx1-ax1)<0.
而x2是方程lnx-2ax+1=0的解,
所以lnx2-2ax2+1=0.
即ax2=lnx2+12.
所以f(x2)=x2(lnx2-ax2)=
x2(lnx2-1)2.
令φ(x)=x(lnx-1)2(x>1),則
φ′(x)=lnx2>0.
所以φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
而x2>1,故f(x2)=φ(x2)>φ(1)=-12,故選D.
點(diǎn)評(píng) 本題中不能準(zhǔn)確求出x2,但卻滿(mǎn)足恒等式,也就是說(shuō)x2從理論上講是確定的,我們稱(chēng)之為“隱零點(diǎn)”,處理這種問(wèn)題的主要手段就是整體代入消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求解,我們把這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為“隱零點(diǎn)代換”.
策略10 用導(dǎo)數(shù),整體代換.
由變式1可得:當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f ′(x)>0,所以f(x)在(x1,x2)上單調(diào)遞增.
而x1<1又因?yàn)?故f(x1)<0,f(x2)>-12.
以上十種含參函數(shù)問(wèn)題的解題策略中蘊(yùn)含著的正是解決該類(lèi)問(wèn)題的基本方法和基本思想.在解題教學(xué)中,我們不僅要關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,更要關(guān)注基本思想的滲透和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累,要注重培養(yǎng)學(xué)生高階思維,提升學(xué)生綜合能力,幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì),發(fā)展核心素養(yǎng).
參考文獻(xiàn):
[1]
中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[M].北京:人民教育出版社,2018.
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