阻力和升力加速度指令快速解析與跟蹤制導(dǎo)

劉剛

（中國運載火箭技術(shù)研究院，北京 100076）

升力式飛行器在大氣層內(nèi)的滑翔段一般有初始能量過剩、準平衡滑翔、傾側(cè)轉(zhuǎn)彎和無動力等特點，其制導(dǎo)任務(wù)通常是使飛行器在到達給定的待飛縱程時將其高度、速度、航跡方向角、彈道傾角等多個參數(shù)控制到期望的值，以實現(xiàn)和下一個飛行段的順利銜接。解決滑翔段制導(dǎo)問題應(yīng)用較多的制導(dǎo)方法有預(yù)測校正制導(dǎo)［1-9］、阻力加速度跟蹤制 導(dǎo)［10-14］、三 維 制 導(dǎo)［15-16］、解 析 制 導(dǎo)［17-21］等。在預(yù)測校正制導(dǎo)中，攻角剖面一般事先給定為一個隨速度或馬赫數(shù)變化的固定剖面，在制導(dǎo)中攻角僅在給定剖面基礎(chǔ)上做小幅調(diào)整。攻角是一個重要的控制量，預(yù)測校正制導(dǎo)中給定攻角剖面的做法在一定程度上制約了攻角在制導(dǎo)中的作用。阻力加速度跟蹤制導(dǎo)是一種成功獲得航天飛機的工程應(yīng)用的制導(dǎo)方法，但是該方法依賴于參考軌跡，靈活性不強。相比于其他方法，解析制導(dǎo)的研究相對較少。文獻［17］把準平衡滑翔條件與解析預(yù)測制導(dǎo)相結(jié)合，形成一種不依賴參考軌跡和攻角剖面的滑翔段解析制導(dǎo)方法，該方法用傾側(cè)角進行航向和終端速度控制，用攻角進行終端高度和縱程控制，取得了較好的效果，說明解析法用于滑翔段制導(dǎo)具有可行性。文獻［19］以譜分析法尋求運動方程的解析解，并形成再入解析制導(dǎo)方法，但是其數(shù)學(xué)工具比較復(fù)雜，應(yīng)用難度較大。

本文嘗試探索一種基于直接解析的滑翔段制導(dǎo)方法。思路如下：首先，利用阻力加速度和攻角的單調(diào)性關(guān)系，在每個制導(dǎo)周期實時設(shè)計出滿足終端速度約束的阻力加速度指令，靠改變攻角進行跟蹤，實現(xiàn)對終端速度的控制；其次，通過引入虛擬目標和偽視線角的概念，將比例導(dǎo)引應(yīng)用于滑翔段，通過縱向比例導(dǎo)引生成航跡坐標系的升力加速度指令，靠改變傾側(cè)角進行跟蹤，實現(xiàn)對終端高度和終端彈道傾角的控制。對于航跡方向角（或待飛橫程）的控制，通過傾側(cè)角按反轉(zhuǎn)走廊邊界改變正負號實現(xiàn)。本文提供的方法可擺脫對參考軌跡和攻角剖面的依賴，計算量很小，可快速生成制導(dǎo)指令，實現(xiàn)對終端高度和終端速度的較高精度控制。

1 滑翔段制導(dǎo)問題

滑翔段制導(dǎo)問題可表述如下：假設(shè)飛行器已經(jīng)處于準平衡滑翔飛行狀態(tài)，當前待飛縱程為L0、高度為h0、速度為v0。制導(dǎo)終端約束為：使飛行器在待飛縱程為Lf時，高度為hf、速度為vf、彈道傾角為θf，航跡方向角偏差Δχf（或待飛橫程）小于給定值。

2 終端速度的控制方法

注意到，在升力式飛行器滑翔段飛行的任一時刻，若其他參數(shù)都不變，只改變攻角大小，根據(jù)空氣動力學(xué)原理，在約0°～90°的攻角范圍內(nèi)，飛行器阻力加速度的絕對值和攻角具有單調(diào)遞增關(guān)系，攻角越大，阻力加速度的絕對值越大。利用這一特點，可以通過改變攻角獲得期望的阻力加速度。只要設(shè)計出滿足終端速度約束的阻力加速度指令，再通過改變攻角對其進行跟蹤，就能實現(xiàn)對終端速度的控制。

2.1 阻力加速度指令在線快速解析

首先，需要設(shè)計滿足終端速度約束的阻力加速度指令。假設(shè)飛行器自當前狀態(tài)到終端狀態(tài)的飛行時間為t，期間假設(shè)可以通過制導(dǎo)跟蹤策略使得飛行器以固定的阻力加速度ˉax飛行，到達終端縱程時的速度為vf。忽略航跡方位角的影響，僅考察飛行器在縱向平面的運動，飛行路程s為

由牛頓一維質(zhì)點運動學(xué)，有

由式（2）得

將式（4）代入式（3）可得

由式（5）和式（6）可得

為了適應(yīng)不同飛行任務(wù)的要求，可再引入一個加權(quán)系數(shù)kax：

由式（1）、式（7）和式（8）有

阻力加速度指令加權(quán)系數(shù)kax可根據(jù)飛行任務(wù)的特點進行設(shè)計，加權(quán)系數(shù)剖面可以采用待飛縱程為橫坐標進行設(shè)計，如圖1所示。

圖1 典型的阻力加速度加權(quán)系數(shù)剖面Fig.1 Typical drag acceleration weighting coefficient profile

2.2 用攻角跟蹤阻力加速度指令

式中：fx、fy為飛行器本體坐標系視加速度，對于無動力升力式飛行器僅由氣動力產(chǎn)生，可由加速度計直接測量；αgx為慣性攻角，是在忽略風(fēng)速的情況下由飛行器的地速和姿態(tài)角的導(dǎo)航值計算出的攻角估計值。

對于升力式飛行器，在一定攻角范圍內(nèi)，飛行器的阻力加速度和攻角具有單調(diào)性，攻角越大，阻力加速度的絕對值越大。因此，可以通過改變攻角對阻力加速度指令進行跟蹤。

指令攻角α*（慣性值）以增量形式按下式計算：

式中：αgx為當前慣性攻角；kα為增益系數(shù)（正值）。

另外，需要根據(jù)飛行器姿態(tài)控制能力對指令攻角進行限幅和限速。由于本文方法中的攻角指令是增量形式的，kα取值與制導(dǎo)周期有關(guān)。若kα取值過大，將觸發(fā)指令攻角限速，此時一般不會對制導(dǎo)精度產(chǎn)生不良影響，也不會出現(xiàn)攻角指令震蕩；但是若kα取值過小，將影響阻力加速度跟蹤效果。

2.3 傾側(cè)角的阻力加速度跟蹤模式

式中：σ*為在傾側(cè)角的阻力加速度跟蹤模式中指令傾側(cè)角的大小；σmax1為在傾側(cè)角在阻力加速度跟蹤模式中的最大允許值，該值對于飛行初期的最大熱流有很大影響，一般設(shè)計為小于全程傾側(cè)角最大允許值σmax。σmax1過小會影響阻力加速度指令的跟蹤效果，因此需要根據(jù)具體任務(wù)折中考慮。

進入傾側(cè)角的阻力加速度跟蹤模式的判據(jù)可按式（14）計算：

退出傾側(cè)角的阻力加速度跟蹤模式的判據(jù)可按式（15）計算：

為了簡化制導(dǎo)邏輯，可在滑翔段初期直接將傾側(cè)角置為阻力加速度跟蹤模式。在后續(xù)飛行中，只要滿足式（15）的判據(jù)，即退出阻力加速度跟蹤模式，切換為升力加速度跟蹤模式。后續(xù)不再重復(fù)進行模式切換。在升力加速度跟蹤模式中，傾側(cè)角將用于跟蹤升力加速度指令，不再用于跟蹤阻力加速度指令。

3 終端高度和終端彈道傾角的控制方法

比例導(dǎo)引是一種精度高、所需過載小的末制導(dǎo)方法。比例導(dǎo)引的原理是：先計算從飛行器到目標點的視線角和視線角速度，再使飛行器速度矢量的變化率與視線角速度成比例，這樣即可使飛行器精確擊中目標。但是，這種方式不能直接用于滑翔段制導(dǎo)，其原因是：滑翔段飛行距離很長，一般為數(shù)千公里，與地球半徑達到同一數(shù)量級，受到地球曲率的影響，從飛行器到目標的視線會處于地平線以下，如果直接使用比例導(dǎo)引會使飛行器在飛行半途中墜地。這是將比例導(dǎo)引用于滑翔段制導(dǎo)需要解決的一個問題。為了在滑翔段應(yīng)用比例導(dǎo)引，本文提出虛擬目標、偽視線角和偽視線角速度的概念，通過帶傾角約束的縱向比例導(dǎo)引生成航跡坐標系的升力加速度指令，通過改變傾側(cè)角進行跟蹤，實現(xiàn)對終端高度和彈道傾角的控制。

3.1 基于比例導(dǎo)引的升力加速度指令解析方法

虛擬目標是指以制導(dǎo)終端縱程Lf和終端高度hf為特征參數(shù)的一個虛擬的目標。偽視線角是指在忽略地球曲率情況下計算的從飛行器到虛擬目標的視線角，偽視線角速度是指在忽略地球曲率情況下計算的從飛行器到虛擬目標的視線角速度。由于本文中比例導(dǎo)引僅用于縱向，不需要橫向參數(shù)。在縱向，帶終端彈道傾角約束的比例導(dǎo)引公式為

根據(jù)比例導(dǎo)引的原理，若滿足式（16），可使飛行器以彈道傾角θ*擊中虛擬目標。由虛擬目標的定義，可知這實際上正好滿足了制導(dǎo)終端縱程、終端高度和彈道傾角約束。

式（16）中，縱向偽視線角速度和縱向偽視線角計算公式如下：

式中：ΔX、ΔY和ΔVX、ΔVY分別為從飛行器到虛擬目標的相對位置和相對速度，表達式為

剩余飛行時間tleft按下式估算：

由飛行動力學(xué)有

式中：Ay為飛行器的升力；R為飛行器到地心的距離；σ為飛行器傾側(cè)角；m為飛行器質(zhì)量；v為飛行器對地速度。

另外，定義：

由式（16）、式（22）和式（23）可得

式（24）即為基于比例導(dǎo)引的升力加速度指令（航跡坐標系）解析值，其中第1項為高度控制項，第2項為重力補償項，第3項為離心力補償項，第4項為終端彈道傾角控制項。這里，比例導(dǎo)引的相關(guān)參數(shù)都是由常規(guī)導(dǎo)航參數(shù)解析得到的，并不需要增加額外的傳感器。

3.2 傾側(cè)角的升力加速度跟蹤模式

否則，

式中：σmax為最大允許傾側(cè)角。

同樣，需要根據(jù)飛行器姿態(tài)控制能力對指令傾側(cè)角進行限速。本節(jié)的控制策略僅得到傾側(cè)角的大小，傾側(cè)角的正負由第4節(jié)策略確定。

4 航跡方向角控制方法

第2節(jié)和第3節(jié)中的方法給出了攻角指令（含正負號）和傾側(cè)角指令（僅絕對值），用于進行速度、高度和彈道傾角控制。在3.2節(jié)中，飛行器多余的升力加速度被傾側(cè)角分配到側(cè)向，會影響飛行器的側(cè)向運動。為了對航跡方向角偏差Δχ（或待飛橫程H）進行控制，采用與預(yù)測校正制導(dǎo)類似的方法，設(shè)計一個側(cè)向偏差走廊，當飛行器側(cè)向運動超出走廊邊界時，通過改變傾側(cè)角的符號進行橫向控制。典型的側(cè)向偏差走廊如圖2所示。

航跡方向角偏差Δχ定義為

式中：χt為飛行器當前的航跡方向角；At為從當前飛行器到目標的大地方位角。χt和At都以指向當?shù)卣睘榱悖韵驏|偏為正。

指令傾側(cè)角的符號Signσ初始值為

后續(xù)傾側(cè)角反轉(zhuǎn)觸發(fā)邏輯為：若當前Signσ=-1且Δχ≤-Δχmax時，觸發(fā)正向反轉(zhuǎn)；若當前Signσ=1且Δχ≥Δχmax時，觸發(fā)負向反轉(zhuǎn)。Δχmax為按圖2計算的側(cè)向偏差走廊邊界。

5 過程約束的滿足途徑和方法流程

圖3 制導(dǎo)方法流程Fig.3 Flowchart of guidance method

6 仿真校驗

6.1 模型參數(shù)

采用文獻［10，22］中的飛行器參數(shù)，飛行器質(zhì)量為1 000 kg，參考面積為3.5 m2，升力系數(shù)和阻力系數(shù)按下式計算：

表1為任務(wù)初始和終端參數(shù)。表中：λ為經(jīng)度，φ為大地緯度。終端條件為距離目標點（經(jīng)度27.85°，緯度0°）的待飛縱程為100 km。對于終端坐標無具體要求。僅有終端速度、高度、航跡方向角偏差和彈道傾角要求。文獻［10］中無彈道傾角約束，本文為了驗證方法額外附加了終端彈道傾角約束。過程約束為過載小于5g，駐點熱流小于2 500 kW/m2，動壓小于15 000 Pa。

表1 任務(wù)初始和終端參數(shù)Table 1 Initial and terminal parameters of task

6.2 約束條件敏感因素分析

1）最大熱流的敏感因素分析

考察傾側(cè)角在阻力加速度跟蹤模式中的最大允許值σmax1對最大熱流的影響。分別將σmax1取為70°、80°、90°，其余仿真條件都相同，仿真結(jié)果如圖4所示?？梢姡襪ax1越大，最大駐點熱流越大。因此，需要合理選取σmax1。

圖4 σmax1取不同值時的最大駐點熱流Fig.4 Maximum stagnation heat flux for different values ofσmax1

2）最大動壓的敏感因素分析

首先，考察阻力加速度加權(quán)系數(shù)剖面對動壓的影響。在圖1所示的剖面中，分別取如表2所示參數(shù)設(shè)置。

表2 阻力加速度加權(quán)系數(shù)剖面設(shè)計Table 2 Design of drag acceleration weighting coefficient profile

圖5 阻力加速度加權(quán)系數(shù)最大值取不同值時的動壓Fig.5 Dynamic pressure for different drag acceleration weighting coefficient maximum values

其次，考察期望終端彈道傾角對動壓的影響。將期望終端彈道傾角θ*分別取0°、-2°、-4°，其余仿真條件都相同，仿真結(jié)果如圖6所示?？梢?，當將期望終端彈道傾角θ*取0°時，最大動壓達到17 000 Pa以上，超出了約束值，當θ*取-2°或-4°時，最大動壓大幅減小。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是：為了拉平終端彈道傾角，會使飛行器在速度較高時高度降低，處于大氣密度較大的環(huán)境。

圖6 期望終端彈道傾角取不同值時的動壓Fig.6 Dynamic pressure for different expected terminal trajectory inclination angles

6.3 標稱狀態(tài)下仿真

圖7 側(cè)向偏差走廊設(shè)計Fig.7 Design of azimuth deviation corridor

在標稱狀態(tài)下進行仿真，在距離目標點（經(jīng)度27.85°，緯度0°）的待飛縱程小于或等于100 km時仿真結(jié)束。仿真曲線如圖8～圖18所示。

圖8 速度曲線Fig.8 Velocity curve

圖9 高度曲線Fig.9 Height curve

圖10 彈道傾角曲線Fig.10 Trajectory inclination angle curve

圖11 攻角曲線Fig.11 Attack angle curve

圖12 傾側(cè)角曲線Fig.12 Inclination angle curve

圖13 動壓曲線Fig.13 Dynamic pressure curve

圖14 駐點熱流曲線Fig.14 Stagnation heat flux curve

圖15 法向過載曲線Fig.15 Normal overload curve

圖16 阻力加速度曲線Fig.16 Drag acceleration curves

圖17 升力加速度曲線Fig.17 Lift acceleration curves

圖18 地面軌跡Fig.18 Ground track

從圖11和圖12可見，約170 s前，傾側(cè)角處于阻力加速度跟蹤模式，此后傾側(cè)角轉(zhuǎn)入升力加速度跟蹤模式。由圖16可見，此期間實際阻力加速度與指令值曲線基本重合。由圖17可見，升力加速度指令全程為正值，因此不需要采用大于90°的傾側(cè)角進行跟蹤，除了在傾側(cè)角的阻力加速度跟蹤模式和傾側(cè)角反轉(zhuǎn)過程中，其余飛行段航跡坐標系的實際升力加速度與指令值曲線基本重合。這說明由解析給出的阻力加速度指令和升力加速度指令在大部分飛行時間內(nèi)尤其是后期能通過攻角和傾側(cè)角得到有效跟蹤。在飛行最末的十分之幾秒時間加速度不能跟上指令是由比例導(dǎo)引的末端效應(yīng)引起，對于制導(dǎo)精度影響很小。由圖13～圖15所示，動壓、熱流、過載約束均滿足要求。另外，解析法在線生成的攻角和傾側(cè)角制導(dǎo)指令剖面都比較平滑，且即使在傾側(cè)角反轉(zhuǎn)過程中飛行器的高度也不會出現(xiàn)明顯跳躍。

6.4 蒙特卡羅仿真

為了驗證本文方法對于不確定性的適應(yīng)能力并評估控制精度，采用蒙特卡羅打靶方法進行仿真，選取的打靶仿真偏差項同文獻［10］，如表3所示。表中：ρ為大氣密度。仿真過程中，上述誤差在取值范圍內(nèi)隨機選取。此外，還按高度施加了高空風(fēng)場。高空風(fēng)由南北向風(fēng)和東西向風(fēng)疊加而成，南北向風(fēng)風(fēng)速向北為正，東西向風(fēng)風(fēng)速向東為正。最大和最小風(fēng)剖面如表4所示。蒙特卡羅仿真時，先根據(jù)高度插值得出最大、最小東西向風(fēng)和最大、最小南北向風(fēng)。根據(jù)2個隨機數(shù)在最大值和最小值之間隨機給出東西向風(fēng)和南北向風(fēng)的大小。

表3 蒙特卡羅仿真偏差項Table 3 Deviation term of Monte Carlo simulation

表4 高空風(fēng)剖面Table 4 Upper wind pr ofile

蒙特卡羅打靶2 000次，終端參數(shù)散布頻率直方圖如圖19～圖26所示。

圖19 終端速度散布圖Fig.19 Scatter of terminal velocity

圖20 終端高度散布圖Fig.20 Scatter of terminal height

圖21 終端待飛縱程散布圖Fig.21 Scatter of terminal longitudinal range to go

圖22 終端彈道傾角散布圖Fig.22 Scatter of terminal trajectory inclination angle

圖23 終端航跡方向角偏差（絕對值）散布圖Fig.23 Scatter of terminal azimuth deviation（absolute value）

圖24 最大動壓散布圖Fig.24 Scatter of maximum dynamic pressure

圖25 最大駐點熱流散布圖Fig.25 Scatter of maximum stagnation heat flow

圖26 最大法向過載（本體坐標系）散布圖Fig.26 Scatter of maximum normal overload（body coordinate system）

終端控制精度與文獻［10］對比如表5所示。

表5 終端參數(shù)控制精度Table 5 Control accuracy of terminal parameters

可見，采用本文方法，對終端高度、終端速度的控制精度高于文獻［10］。終端航跡方向角和終端彈道傾角的散布范圍也小于文獻［10］。由于本文方法以待飛縱程為迭代終止條件，縱向位置不存在誤差。最大動壓、最大熱流、最大過載均滿足約束要求。該方法與文獻［17］類似，都具有不依賴參考軌跡和攻角剖面、計算量小等優(yōu)點。

7 結(jié) 論

本文引入虛擬目標和偽視線角的概念，將比例導(dǎo)引應(yīng)用于滑翔段，通過一維質(zhì)點運動學(xué)解析并加權(quán)直接得到阻力加速度指令，利用阻力加速度和攻角的單調(diào)性關(guān)系實現(xiàn)有效跟蹤，從而形成一種阻力和升力加速度指令在線快速解析與跟蹤的制導(dǎo)方法。仿真表明：①本文方法對于終端速度、高度都可實現(xiàn)較高精度的控制，對終端彈道傾角也有一定的控制能力。②本文方法制導(dǎo)誤差最大的參數(shù)是終端航跡方向角（或橫向位置）偏差，其原因是：由于航向采用了基于側(cè)向偏差走廊的bang-bang控制模式，受飛行器滾轉(zhuǎn)通道姿態(tài)控制能力的制約，終端航跡方向角無法實現(xiàn)高精度控制。

若在接近終端時以側(cè)向比例導(dǎo)引進行航向控制，可大幅提高終端航跡方向角（或橫向位置）控制精度，但是這與終端速度控制不能兼顧，會以增大終端速度控制偏差為代價。在滑翔段制導(dǎo)中如何同時實現(xiàn)終端速度、高度、航跡方向角（或橫向位置）的高精度控制仍有待于后續(xù)深入研究。