借幾何直觀之感 乘提升素養(yǎng)之美
——從兩個(gè)習(xí)題課教學(xué)片段說起

楊憲偉

(陜西省榆林市第十中學(xué) 719000)

筆者在兩節(jié)高三習(xí)題課的教學(xué)中，經(jīng)歷了學(xué)生利用幾何直觀理解數(shù)學(xué)知識(shí)并遷移應(yīng)用，幾何直觀的作用使得學(xué)生站在更高的角度思考問題，在整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生始終是課堂的主體，參與知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的全過程，學(xué)生的核心素養(yǎng)和分析解決問題的能力都得到了提升，令人印象深刻.

1 《直線與橢圓的位置關(guān)系》習(xí)題課教學(xué)片斷

(1)求C的方程；

(2)直線l不經(jīng)過原點(diǎn)O，且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB中點(diǎn)為M，證明：直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.

教師提出問題，由學(xué)生小組討論，然后匯報(bào)展示.

師：這個(gè)小組的同學(xué)采用的就是最常見的求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的方法，一般就是設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立解決問題.

師：在涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)可以采用此方法

師：大家覺得這個(gè)小組這種方法怎么樣？此時(shí)教室響起了熱烈的掌聲.大家覺得這個(gè)方法好在什么地方？

生4：化橢為圓，利用圓的幾何性質(zhì)解決問題.

師：大家都說得非常好，但是注意使用的時(shí)候要重點(diǎn)關(guān)注不同坐標(biāo)系下同一量之間的關(guān)系，還有就是并不是所有的橢圓的題目都可以用這個(gè)方法解決.老師現(xiàn)將此題改編一下，大家繼續(xù)思考.

變式1此題的條件不變，問題改為：求△AOB的面積S的最大值以及取最大值時(shí)點(diǎn)M的軌跡方程.

師：請同學(xué)們思考此題還能用化橢為圓的辦法嗎？如果能使用的過程應(yīng)該注意什么？

生5：我覺得可以，應(yīng)該注意不同坐標(biāo)系下面積之間的關(guān)系.

師：好的，那大家試著按照你們的思路完成本題.

師：太棒了，老師突然想到了四川省的一道高考壓軸題，老師按那個(gè)題的背景和難度再改編一下此題，同學(xué)們再試一試.

變式2此題的條件不變，問題改為：直線l：y=-x+t(t>0)與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)T，直線m平行于OT，與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，且與直線l交于點(diǎn)P，證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

學(xué)生探究片刻后，教師提問.

師：請同學(xué)們思考此題還能用化橢為圓的辦法嗎？

生：好像不能.

師：這個(gè)題目你們?nèi)〉昧四男┩黄疲坑龅搅四男├щy？

師：很好，那我們先探究一下不同坐標(biāo)系下線段長度之間的關(guān)系，其實(shí)也就是弦長的關(guān)系.同學(xué)們思考如何用坐標(biāo)表示弦長？

師：同學(xué)們嘗試按生8的思路解決問題.

最后生8最先得到結(jié)果，具體如下：

師生共同總結(jié)，通過伸縮變換化橢為圓可以解決的問題，解題的思路，使用時(shí)的注意事項(xiàng).

2 《平面向量的數(shù)量積》習(xí)題課教學(xué)片斷

教師提出問題，由學(xué)生小組討論，然后匯報(bào)展示.

生1：我們組采用的是坐標(biāo)法，過程如下：

師：這個(gè)小組的同學(xué)采用的就是最常見的求解平面向量數(shù)量積的方法，一般就是建系解決問題.

師：大家覺得這個(gè)小組這種方法怎么樣？此時(shí)教室響起了熱烈的掌聲.大家覺得這個(gè)方法好在什么地方？

生3：利用幾何性質(zhì)解決問題，直觀簡潔.

師：大家都說得非常好，老師現(xiàn)將此題改編一下，大家繼續(xù)思考.

生4：我們覺得這個(gè)題目使用坐標(biāo)法更好，但是我們遇到了困難.

師：說說你們的過程和遇到的困難.

師：很好，大家一起思考我們該如何繼續(xù).

師生共同探究用幾何法解決問題.

師：我們得到的這個(gè)等式稱為“極化恒等式”，它可以將兩個(gè)向量的數(shù)量積用兩個(gè)幾何長度來表示，請同學(xué)們仔細(xì)體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法.

師生共同總結(jié)幾何法的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn).

3 教學(xué)啟示

借助幾何直觀可以有效提升學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從概念層面看，借助幾何直觀可以豐富事物表征，完善問題結(jié)構(gòu)，理解抽象概念.從思想層面看，借助幾何直觀可以以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合.從心理學(xué)角度看，借助幾何直觀可以用圖形思考，為學(xué)習(xí)者建立學(xué)習(xí)的信心.

高中數(shù)學(xué)中集合、函數(shù)、立體幾何、解析幾何、平面向量與解三角形等模塊的知識(shí)都需要教師借助幾何直觀幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過這些課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識(shí)；形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).