陽(yáng) 晶，楊秀良

(杭州師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 浙江 杭州 311121)

0 引言和主要結(jié)果

定理2對(duì)2≤k≤n-1，有

1 主要結(jié)果的證明

其中1=a1

□

其中1=a1

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ai=biα=biαβα=aiβα≤aiα≤ai.

故aiα=ai，就有ai∈Ai.因此bi≤ai，故bi=ai.從而由引理2知α是冪等元.

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則

根據(jù)引理2知，e1e2不是冪等元.

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定義1設(shè)S是一個(gè)半群，那么對(duì)任意的a,b∈S，

xα=xγβ≤xβ,xβ=xδα≤xα.

xα=xβμ≤xβ,xβ=xαν≤xα.

xα=xδ1βγ1≤xδ1β≤xβ,xβ=xδ2αγ2≤xδ2α≤xα.

□

定義2設(shè)S是一個(gè)半群， 則對(duì)任意的a,b∈S，

引理3[6]設(shè)S是一個(gè)半群，a,b∈S.則以下結(jié)論等價(jià)：

2) 對(duì)所有的x,y∈S1，ax=ay當(dāng)且僅當(dāng)bx=by.

αδ=αγ?βδ=βγ.

xθx=x-1,yθx=y(y∈Xn{x}),

x?im(α)??αθ=α·1??βθ=β·1??x?im(β).

又因1∈im(α)∩im(β)，從而im(α)=im(β).

δα=γα?δβ=γβ.

現(xiàn)取x,y∈Xn，且x>y，令[y,x]={z∈Xn:y≤z≤x}，下面定義ωx,y為

xα=yα??ωx,yα=1·α??ωx,yβ=1·β??xβ=yβ.

故ker(α)=ker(β).

3) 由1)和2)知顯然成立.

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則bi=minAi=ai，i=1,2,…,k.故ε2=ε1.

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定理1的證明顯然1)由命題1和命題3可證得；根據(jù)命題2和命題5可得到結(jié)論2).

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由im(ηi)的定義可知ri,j≥ri+1,j，從而有ri,j

ri+1,j≤ri,j

因此(ri,j)ηi+1=ri+1,j，于是(r1,j)η2η3…ηk=rk,j，j=1,2,…,k，進(jìn)而(Aj)η1η2…ηk=rk,j=aj，所以η1η2…ηk=α.

取

(n-k+2)ε2ε3…εm=2,

(n-k+3)ε2ε3…εn=3,

?

(n)ε2ε3…εk-1=k.

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