姜丹陽，王智峰*，高 程, 2，李長軍

1. 遼寧科技大學(xué)計算機與軟件工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051 2. 遼寧科技大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051

引 言

人類視覺系統(tǒng)中對顏色的感知取決于人眼視錐細胞，光照以及物體反射率等許多因素。 但是不管場景中光照以及物體表面的反射率如何變化，人類都有一種對特定物體本身顏色識別一致性的心理傾向，這種心理傾向就是顏色恒常性[1]。 如何在重建物體光譜反射率時考慮到顏色恒常性問題，使物體在不同的光源下具有相近的顏色感受，在顏色復(fù)現(xiàn)領(lǐng)域是一個重要的研究方向，也是紡織、印染、涂料、油漆等行業(yè)面臨的難題。 目前常見的光譜反射率重建方法是利用已知光源下的三刺激值或RGB數(shù)據(jù)進行重建，如維納估計方法[2]或主成分分析方法[3]，通過訓(xùn)練樣本獲得物體三刺激值到反射率的映射矩陣以重建反射率。 或者如Cao等提出的通過使用最小色差對訓(xùn)練樣本進行選取并加權(quán)重建反射率的方法[4]。 這些方法都著重于重建精度，沒有考慮到重建出反射率的顏色恒常性。

針對如何重建出具有顏色恒常性的反射率問題，過去的研究者提出一系列利用線性規(guī)劃算法的解決方案。 如Takahama和Nayatani提出了一種將不同光源下三刺激值的曼哈頓距離作為線性規(guī)劃目標函數(shù)的反射率重建方法(以下稱為Takahama方法)。 之后Berns和Billmeyer等又提出了一種在重建反射率過程中通過使用色相角對顏色恒常性進行約束的方法(以下稱為Berns方法)。 此后，Li和Luo對前兩種方法進行改進，使用改進的色適應(yīng)變換CAT02，提出一種基于二次規(guī)劃的重建方法，得到更加具有顏色恒常性的光譜反射率(以下稱為Li方法)[5]。 以上三種基于線性規(guī)劃或二次規(guī)劃的方法在提高光譜反射率的顏色恒常性上有一定效果，但是測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)所有方法重建的反射率所對應(yīng)的顏色變換指數(shù)較原來的反射率所對應(yīng)的變換指數(shù)可能要高，這不是人們所期望的。 本文基于給定的在參考光源下三刺激值，提出以顏色變換指數(shù)和光滑性約束的組合作為非線性規(guī)劃的目標函數(shù)，以重建的反射率在參考光源下的三刺激值作為等約束條件的非線性約束優(yōu)化問題重建反射率。 測試結(jié)果表明本文所提出的方法要優(yōu)于Li，Berns和Takahama方法。

1 顏色變換指數(shù)

顏色變換指數(shù)用于衡量光譜反射率在不同光照條件下的穩(wěn)定程度。 使用ISO標準計算方法CMCCON02[6]作為評判光譜反射率顏色恒常性的指標，并將CMCCON02使用的色適應(yīng)變換CAT02替換為色適應(yīng)變換CAT16[7]。 前者提出于2002年，嵌入在CIE 2002色貌模型CIECAM02[8]中，后者提出于2016年，在色適應(yīng)變換的精確性，可用性等方面能夠持平或者優(yōu)于CAT02，是近些年被提出替代CAT02的色適應(yīng)變換方法。 圖1給出了顏色變換指數(shù)的計算步驟。 第一步： 計算出反射率r(列向量)在第j(j=1, …,n)個測試光源和參考光源R下的三刺激值，分別構(gòu)成列向量pj和pR。 第二步： 通過CAT16計算出在參考光源R下與pj有相同色貌的三刺激值列向量pC。 第三步： 計算pR與pC的CIELAB2000[9]色差ΔE00，ΔE00即為顏色變換指數(shù)(color inconstancy index, CII)。

圖1 CMCCON02計算步驟Fig.1 Procedure for computing the CMCCON02

2 實驗部分

對于給定在參考光源下的三刺激值pR，提出了一種具有顏色恒常性的光譜反射率重建方法，該方法將CII加入到非線性規(guī)劃的目標函數(shù)中，以重建出具有顏色恒常性的光譜反射率。 首先，令M為計算三刺激值的加權(quán)表矩陣，僅依賴于光源光譜和顏色匹配函數(shù)，MR和Mj分別作為參考光源和第j個光源下的加權(quán)表矩陣。 那么重建后的反射率r需要滿足

pR=(MR)Tr

(1)

式(1)中，上標T是矩陣或向量的轉(zhuǎn)置。 計算反射率r在測試光源j(j=1, …,n)下的三刺激值pj(j=1, …,n)，并通過CAT16將pj轉(zhuǎn)換為參考光源下對應(yīng)色的三刺激值pC, j，該轉(zhuǎn)換公式為

pC, j=Ujpj=Uj(Mj)Tr

(2)

式(2)中，Uj是將CAT16計算過程簡化得到的一個3×3矩陣，它取決于參考光源三刺激值、測試光源三刺激值。 本文使用的CII計算方法為

CIIj=ΔE00(pR,pC, j),j=1, 2, …,n

(3)

式(3)中，ΔE00(pR,pC, j)為物體在參考光源下三刺激值pR與參考光源下的對應(yīng)色pC, j的CIELAB2000色差。 假定有n個測試光源，則整體顏色變換指數(shù)CII為

(4)

此外，研究發(fā)現(xiàn)自然顏色反射率通常趨于光滑[10]，所以為了保證重建出的反射率具有光滑性，本文通過在非線性規(guī)劃的目標函數(shù)中引入對角矩陣G與光滑因子s，確保重建反射率的光滑性。 由此，可以導(dǎo)出以下非線性約束規(guī)劃問題

Minimise CII+s‖Gr‖2

Subject to: 0≤r≤1, andpR=(MR)Tr

(5)

式(5)中，s是一個權(quán)重值，它的大小決定了重建出反射率的光滑性，也影響了重建反射率的顏色變換指數(shù)CII，并且，反射率r的每個分量都屬于[0, 1]區(qū)間。

3 結(jié)果與討論

實驗在MATLAB平臺進行，非線性規(guī)劃算法使用MATLAB內(nèi)置函數(shù)fmincon，其options變量設(shè)置使用默認參數(shù)。 重建出反射率r的波長范圍為400～700 nm之間，并以10 nm為間隔取值的31×1的向量。 其他數(shù)據(jù)如加權(quán)表，光譜功率分布和CIE1964顏色匹配函數(shù)等都在此范圍內(nèi)取值。

圖2 不同光滑權(quán)重對反射率重建過程中顏色恒常性的影響

圖3中，Berns方法產(chǎn)生的光譜反射率光滑性尚可，但是起伏波動過大，出現(xiàn)了較多的極值點。 Takahama方法產(chǎn)生的光譜反射率曲線與原始反射率相比有著大致相同的變化趨勢，但曲線呈現(xiàn)出階梯狀。 本文方法重建反射率光滑性約束與Li方法相同，重建出優(yōu)于其他兩種方法的光滑曲線。

表1給出利用Munsell色卡數(shù)據(jù)集進行測試的平均和最大CII，重建和原始反射率的平均和最大均方根誤差(root mean squared error，RMSE)，以及平均和最小擬合優(yōu)度系數(shù)(goodness of fit coefficient, GFC)，其中RMSE值越小重建精度越高，GFC的最大值為1，并且其越接近1重建反射率的擬合程度越好。 表1中黑體數(shù)字表明，按該指標(所在列)對應(yīng)的方法(所在行)表現(xiàn)最好。 首先可以看出本文方法對應(yīng)的CII指標，不論是按平均還是最大顏色恒常指標，都要好于其他方法；然后預(yù)測的反射率與原反射率接近程度指標RMSE與GFC一共包括平均和最大RMSE與平均和最小GFC四項。 Li方法的平均RMSE和平均GFC指標最好，而本文方法在最大RMSE和最小GFC指標最好。 因此，在預(yù)測的反射率與原反射率接近程度評價指標RMSE與GFC中，本文方法和Li方法表現(xiàn)最好，其次是Takahama方法，最差的是Berns方法。

圖3 不同方法重建反射率Fig.3 Spectral reflectance reconstruction of different methods

表1 不同方法重建反射率結(jié)果對比Table 1 Comparison of reflectance reconstruction results by different methods

圖4給出了原始反射率的顏色變換指數(shù)(橫軸)和每種方法重建的反射率的顏色變換指數(shù)(縱軸)比較。 圖中紅線是斜率為1的直線，每一個圓點代表一個標準Munsell色卡，黃線為所有圓點的線性回歸方程。 當(dāng)重建后的反射率的CII與原始反射率的CII相同時圓點應(yīng)該與紅線相交，重建反射率的CII小于原始反射率的CII時圓點落在紅線下方，將其稱為正優(yōu)化，否則稱為負優(yōu)化。 且重建反射率的CII越多小于原始反射率時，黃線與x軸的夾角則越小。 由此可見，本方法重建1 560組反射率得到的黃色線段斜率最小，且重建反射率的CII中全部好于原始反射率的CII，而Li方法、Berns方法和Takahama方法在重建反射率過程中會出現(xiàn)大量負優(yōu)化情況。 本方法整體優(yōu)化的趨勢上要遠遠好于其他三種方法。

圖4 反射率的顏色變換指數(shù)(橫軸)和重建反射率對應(yīng)顏色變換指數(shù)(縱軸)(a)： 本文方法; (b): Li方法; (c): Berns方法; (d): Takahama方法Fig.4 CII for original reflectance (horizontal axis) versus CII for reconstructed reflectance (vertical axis) based on Munsell dataset(a)： The proposed; (b): Li; (c): Berns; (d)： Takahama

需要說明的是以上結(jié)果本文方法采用光滑權(quán)重s=6，當(dāng)s>6時，重建的反射率要更接近原始反射率，但可能會出現(xiàn)一定量的負優(yōu)化，如s=15時，測試結(jié)果表明有2%的負優(yōu)化出現(xiàn)，但重建的反射率與原始反射率的接近程度要明顯優(yōu)于Li，Berns和Takahama方法。

4 結(jié) 論

基于給定的三刺激值重建反射率在顏色復(fù)現(xiàn)領(lǐng)域有著重要應(yīng)用。 目前常見的重建算法，常是以重建的反射率與測量反射率的接近程度為評價標準，并不保證重建的反射率具有良好的顏色恒常性。 然而在紡織、印染、油漆等應(yīng)用領(lǐng)域，顏色恒常性是一個重要指標。 本文提出非線性約束優(yōu)化方法重建物體反射率，目標函數(shù)為顏色變換指數(shù)與重建反射率具有光滑性的組合形式，因此保證了重建的反射率在具有較好的顏色變換指數(shù)的同時又具有光滑性。 比較結(jié)果表明，本文的方法，不僅就顏色恒常指標而言明顯優(yōu)于Li，Berns和Takahama方法，同時就接近原始反射率的指標RMSE和GFC而言也優(yōu)于Berns方法和Takahama方法。 因此，本文方法對顏色復(fù)現(xiàn)過程中具有顏色恒常性要求的行業(yè)有著重要應(yīng)用價值。