黎晴亮，張志安，馬豪男，周何苗

南京理工大學 機械工程學院，南京 210094

科技的進步驅使著機器人技術的全面發(fā)展，對于足式機器人相關領域的研究越來越多[1-2]。傳統(tǒng)的移動機器人包括履帶式、輪式等，對地形要求較高，不適合崎嶇路面。而足式機器人由于其高度的靈活性和地形適應性，可以實現(xiàn)在各種不同地形情況下的穩(wěn)定運動。足式機器人的這一優(yōu)點讓其可以勝任復雜路面下的救援、運送物資等工作。

足式機器人在執(zhí)行救援、物資運輸?shù)热蝿諘r，載重會使機器人的重心產(chǎn)生偏移。重心的偏移會對足式機器人的運動穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，嚴重時甚至會導致步態(tài)紊亂、運動崩潰等嚴重問題。顯然，足式機器人具備較強的抗重心偏移能力對提高機器人的動態(tài)穩(wěn)定性有重要作用。

近年來，對于四足機器人重心相關領域的研究多集中在規(guī)劃重心位置以及計算重心補償量上。文獻[3]提出了一種坡面條件下重心自適應控制算法，在機器人質心原有運動軌跡上加入橫向和縱向偏移補償量，并采用符號微分策略梯度法對質心偏移補償量進行自動調(diào)整，以減少機體翻轉扭矩從而提高機器人運動穩(wěn)定性；文獻[4]提出了一種新的穩(wěn)定性保證方法，通過模型分析法建立機器人的數(shù)學及物理模型，從理論角度分析了重心位置對機器人穩(wěn)定性的影響，從而得出了較為合理的重心位置規(guī)劃區(qū)域，并通過仿真實驗驗證了改進重心位置規(guī)劃方法的有效性及合理性。以上對于四足機器人的研究方法依賴于理論分析，這種方法既過于復雜又摻雜眾多理想條件，導致結果難以令人滿意。與此同時，各類群智能優(yōu)化算法在四足機器人領域應用頗多。文獻[5]提出了一種基于粒子群算法的四足機器人機身橫向調(diào)整參數(shù)優(yōu)化方法，其以運動過程中機身的橫向調(diào)整參數(shù)為設計變量，目標函數(shù)綜合考慮了四足機器人軀體穩(wěn)定性、行走直線性等運動性能，通過該優(yōu)化算法使四足機器人能夠實現(xiàn)具有良好運動性能的靜步態(tài)；文獻[6]利用多目標遺傳算法優(yōu)化CPG單元間的耦合系數(shù)矩陣，使得CPG網(wǎng)絡的輸出信號可以控制機器人關節(jié)按照一定的時序發(fā)生動作。粒子群算法[7]具有高效、簡潔的優(yōu)點，可以避免復雜的理論建模，因此經(jīng)常被用于復雜模型下的參數(shù)優(yōu)化問題。本文提出了一種基于改進粒子群算法的抗重心偏移步態(tài)優(yōu)化方法，通過CPG網(wǎng)絡控制模型在線生成機器人關節(jié)角度，并通過粒子群算法以機器人運動反饋信息為基礎不斷迭代，進而找出輸出模型的最佳參數(shù)組合，解決由于重心偏移帶來的穩(wěn)定性問題。

1 模型建立

1.1 四足機器人模型

本文的研究對象為8自由度的四足機器人。為了簡化問題，不考慮髖關節(jié)的橫向自由度，即機器人每條腿均只包含髖關節(jié)和膝關節(jié)各一個旋轉自由度。該機器人前后腿運動模式都采用肘式結構，關節(jié)電機類型為舵機，僅需輸入位置期望信號即可，四足機器人整體線框圖如圖1所示。

圖1 四足機器人相框圖Fig.1 Wireframe of quadruped robot

對四足機器人單腿建立運動學模型如圖2所示。

該模型中，以四足機器人髖關節(jié)為原點建立笛卡爾坐標系，x正方向為機器人前進方向，y正方向垂直向上，l1和l2分別表示大腿和小腿長度，H為軀干距地面高度，S為步長，h為足端最大離地高度，α為大腿與y軸負方向夾角，β為大腿延長線與小腿之間的夾角，足端坐標為P(x p,y p)。由圖2通過幾何關系得到單腿逆運動學解算公式為：

圖2 單腿運動學模型Fig.2 Single leg kinematics model

同時以足端擺動相軌跡為擺線，支撐相軌跡為直線作為研究，研究該模型的單腿在兩個個完整運動周期里α和β的變化趨勢（取單腿步長S為40 mm，擺動相最大離地高度h為20 mm），如圖3所示。

圖3 髖關節(jié)、膝關節(jié)角度變化Fig.3 Changes in angle of hip and knee joints

1.2 Hopf振蕩器模型

對于足式機器人的控制，傳統(tǒng)方法是將其看成串、并聯(lián)機器人的模型。這種基于模型的控制方法，誤差會逐漸累積并導致不可逆轉的錯誤。近年來，一種基于仿生的控制策略——CPG理論越來越受到研究人員的重視[8-10]。CPG理論試圖仿照動物界中普遍存在的節(jié)律運動形式，如蜘蛛腿部的運動、蟑螂的行走、人類的呼吸等。CPG理論試圖通過建立各種數(shù)學模型，從而產(chǎn)生可調(diào)的、周期性震蕩的信號，使其能夠滿足節(jié)律運動的特點。

CPG的數(shù)學模型大致可分為兩類：一類是基于神經(jīng)元模型；另一類是基于非線性振蕩器模型，這類方法以單個振蕩器為基本研究對象，并通過振蕩器自身輸出與相互耦合作用來產(chǎn)生可調(diào)的信號。常見的基于非線性振蕩器的CPG模型有Hopf模型[11-13]、Kuramoto模型等。其中Hopf振蕩器的數(shù)學模型為：

式中α、μ、β、ωsω和a均屬于模型參數(shù)，用于控制振蕩器輸出信號x和y。其中α控制振蕩器收斂到極限環(huán)的速度，μ表示振蕩器輸出信號的幅值，而β表示足式機器人步態(tài)運動中定義的負載因子，ωsω表示擺動相的頻率，a決定擺動相和支撐相之間切換的頻率。通過對這些參數(shù)進行合理的取值，再進行相應的數(shù)值變換，便可以使得x和y能夠作為足式機器人關節(jié)電機的相位控制信號。當β=0.25時單個Hopf振蕩器輸出信號如圖4所示。

圖4 Hopf振蕩器輸出Fig.4 Hopf oscillator output

觀察并對比圖3和圖4，可以發(fā)現(xiàn)圖4中Hopf振蕩器的輸出x和y，其變化趨勢近似于圖3中α和β的變化趨勢。對Hopf模型的參數(shù)做相應地調(diào)整，并對其輸出做一定的幅值、平移以及削波變化，可以盡可能地模擬實際情況下髖關節(jié)和膝關節(jié)的角度關系，整個過程的示意圖如圖5所示。本文的仿真實驗角度輸入采取的都是這種策略，目的是既能保證足端軌跡近似于擺線，提高四足機器人的動態(tài)穩(wěn)定性，又能利用Hopf振蕩器模型化、便于構建控制系統(tǒng)的優(yōu)點。

圖5 振蕩器的輸出適配足端軌跡過程Fig.5 Output of oscillator adapted to foot trajectory process

1.3 CPG網(wǎng)絡模型

對于四足機器人的控制，每個自由度需要一路輸入信號。不僅如此，在四足機器人的步態(tài)生成與切換中，不同關節(jié)之間的運動關系往往具有相互抑制、相互觸發(fā)的特性，這就要求各路關節(jié)電機的輸入信號之間具備一定的耦合性。針對本文中提到的8自由度四足機器人平臺，擬采用四路CPG信號來控制整個系統(tǒng)。其中，每個CPG單元控制單條腿，即Hopf振蕩器的x輸出作為髖關節(jié)的角度期望，而y輸出通過相應變換后作為膝關節(jié)的角度期望。同時通過一個耦合矩陣來表述各振蕩器之間的關系。多關節(jié)CPG網(wǎng)絡結構的拓撲結構如圖6所示，數(shù)學模型見公式（7）～（10）。

圖6 四足機器人CPG網(wǎng)絡拓撲結構Fig.6 CPG network topology of quadruped robot

其中，F(xiàn)為一個耦合系數(shù)矩陣，用來表示四路Hopf振蕩器總共8個輸出信號之間的耦合關系。根據(jù)上述微分方程組可知F為一個8階方陣，即：

其中，f ij表示第i項與第j項之間的連接權重，通過對f ij的合理賦值能夠調(diào)節(jié)各CPG單元輸出信號的相位關系，從而完成對整個四足機器人的關節(jié)協(xié)調(diào)控制。

2 四足機器人行走實驗

2.1 耦合系數(shù)矩陣F的賦值

最終的目的是得到具有一定耦合關系的四足機器人關節(jié)輸入信號，實現(xiàn)四足機器人四條腿的相位耦合。由于本文研究對象為8自由度四足機器人，可只考慮髖關節(jié)之間的耦合關系，膝關節(jié)輸入信號僅跟同路振蕩器的髖關節(jié)信號相關。根據(jù)以上分析可對耦合系數(shù)矩陣F做下列設定：

（1）任一膝關節(jié)信號對髖關節(jié)均沒有影響，因此矩陣F中的f12，f14，f16，f18，…，f72，f74，f76，f78均為0。

（2）膝關節(jié)僅僅受其所對應的腿的髖關節(jié)的影響，因此該矩陣F中第二行、第四行、第六行、第八行中的元素全為0。

（3）再排除自耦合的情況，因此該矩陣對角位置元素全為0。

根據(jù)上述原則，耦合系數(shù)矩陣變換為下面的一個稀疏矩陣，有效項共有12項。

即只需對F中剩余的12項進行合理的取值，便能夠調(diào)節(jié)CPG網(wǎng)絡輸出信號之間的相位關系，進而控制四足機器人產(chǎn)生相應的步態(tài)。下面以四足機器人中常見的trot步態(tài)為例，簡單說明如何設置耦合系數(shù)矩陣F的取值，來產(chǎn)生trot步態(tài)所需的關節(jié)電機位置輸入信號。

所謂“trot”步態(tài)，即四足機器人四條腿分成兩組，其中對角線上的兩組分為同一組，即FL和BR為一組，F(xiàn)R和BL為一組；同組之間兩腿同相位關系，不同組之間為異相關系，據(jù)此可確定F的值為：

2.2 仿真實驗

以walk步態(tài)為例，通過足端軌跡規(guī)劃、單足振蕩器模型參數(shù)適配（振蕩器其他相關參數(shù)參考文獻[14]）及CPG網(wǎng)絡模型的搭建，在MATLAB得到輸入信號的數(shù)值仿真結果如圖7所示?？梢钥吹礁麝P節(jié)變化趨勢符合walk步態(tài)。將得到的walk步態(tài)下的CPG網(wǎng)絡輸出信號應用于仿真實驗，四足機器人各項參數(shù)指標如表1所示，實際效果如圖8所示。為了更好地對機器人的行走穩(wěn)定性做判定，本實驗在四足機器人軀干上增加了IMU節(jié)點，在足端增加了力傳感器節(jié)點，以便更好地收集四足機器人行走過程中的各項數(shù)據(jù)指標。機器人在平坦路面上行走時，其實時姿態(tài)角反饋如圖9所示。

圖7 Walk步態(tài)信號Fig.7 Walk gait signal

圖9 行走實驗中的實時姿態(tài)角Fig.9 Real-time attitude angle in walking experiment

表1 仿真模型各項參數(shù)Table 1 Simulation model parameters

圖8 Walk步態(tài)行走實驗Fig.8 Walk gait walking experiment

從圖8中可以看出，機器人行走狀態(tài)較為穩(wěn)定：橫滾角roll以及俯仰角pitch均呈現(xiàn)微弱的周期震蕩的特點，而偏航角yaw的值始終變化不大，證明四足機器人在沿直線行走；而從足端力傳感器的反饋來看，以“左前→右后→右前→左后”的順序交替出現(xiàn)波峰，證明本文設計的CPG網(wǎng)絡模型能夠生成穩(wěn)定有效的步態(tài)信號。

3 改進粒子群算法的步態(tài)優(yōu)化

為了模擬實際運行過程中的重心偏移現(xiàn)象，在仿真平臺中將四足機器人的軀干重心向其前方平移L/8，右側平移H/8，示意圖如圖10所示。

圖10 俯視圖下的機器人重心偏移情況Fig.10 Offset of robot’s center of gravity in top view

利用控制變量的方法，僅僅在改變重心的情況下再次進行行走實驗，四足機器人姿態(tài)角如圖11所示。由圖可發(fā)現(xiàn)，四足機器人的姿態(tài)角roll、pitch的震蕩幅值明顯增加，偏航角yaw幅值大幅增加的同時也呈現(xiàn)出非周期性；同時發(fā)現(xiàn)機器人在x方向上的位移S X也大大下降。由此可得，重心偏移后的四足機器人在相同步態(tài)信號的驅動下，行走穩(wěn)定性大大下降。

圖11 重心偏移后的實時姿態(tài)角Fig.11 Real-time attitude angle after center of gravity shifted

本文采用改進粒子群算法對CPG網(wǎng)絡模型中相關參數(shù)進行優(yōu)化，進而解決由于重心偏移導致的行走穩(wěn)定性問題。

3.1 粒子群算法的實現(xiàn)

結合生活實際可知，人負重一側腳步運動幅度和擺動相頻率均會變化。通過這一現(xiàn)象得到啟發(fā)，本實驗將四足機器人負重一側足端擺線軌跡的步長S、步高h以及擺動頻率ωsω這3個參數(shù)作為粒子群算法中的待優(yōu)化變量；由于本實驗是MATLAB與webots聯(lián)合仿真，涉及到數(shù)據(jù)采集與輸入，基于減小工作量的考慮，種群規(guī)模不宜選擇過大，現(xiàn)將種群規(guī)模設為6。對待優(yōu)化參數(shù)的范圍進行拉丁方抽樣獲得的種群初始位置如下：

仿真實驗中，四足機器人添加了眾多傳感器節(jié)點，包括：GPS、IMU等。因此，粒子群算法中的目標適應度函數(shù)設計主要依賴傳感器的數(shù)據(jù)。經(jīng)過多次實驗，最終確定了目標適應度函數(shù)：

其中S表示四足機器人的在規(guī)定時間的行程；R y表示偏航角的極差；σr表示橫滾角的標準差；σp表示俯仰角的標準差。

粒子群算法的核心是：每次迭代過程中，根據(jù)式（11）來計算每個粒子的適應值，同時更新每個粒子的位置和速度，并從中找出個體最優(yōu)解和種群最優(yōu)解，更新公式如下：

式中，V id表示粒子的速度，X id表示粒子的當前位置，C1和C2分表表示局部加速系數(shù)和全局加速系數(shù)，Pid表示各單個粒子的歷史最佳位置，P gd表示整個種群的歷史最佳位置。

3.2 粒子群算法的改進

為了提高PSO算法的收斂速度，達到減少聯(lián)合仿真工作量的目的，本文設計了一種基于自適應調(diào)整權重[15-16]策略的優(yōu)化方法。式（12）中權重ω代表粒子群算法的全局搜索能力，ω越大則全局搜索能力越強，ω越小則局部搜索能力越強。所謂自適應權重即每次迭代計算中的ω都會隨著粒子適應度值的改變而改變，有：

式中，ωmin和ωmax分別表示權重的最小值和最大值，fmax表示上輪迭代計算中粒子的最大適應度，fmin表示最小適應度值。自適應調(diào)整權重的策略為：上輪迭代中適應度值f較大的粒子時，相應地增大其權重ω，從而增強PSO的全局搜索能力，繼續(xù)搜索最優(yōu)解；而隨著粒子適應度值f的減小，越來越接近最優(yōu)解時，權重ω相應的減小，降低粒子的速度，從而增強PSO的局部搜索能力。

3.3 仿真實驗結果及分析

仿真實驗過程為：首先對種群進行初始化及更新，同時在MATLAB中構建CPG網(wǎng)絡模型并生成步態(tài)控制信號；然后導入Webots中的模型進行仿真；最后再對四足機器人所反饋的數(shù)據(jù)進行分析，并不斷進行迭代試驗直至各粒子都收斂到同一位置。實驗流程圖如圖12所示。

圖12 仿真迭代實驗流程圖Fig.12 Simulation iteration test flowchart

分別選取實驗前期未經(jīng)優(yōu)化的粒子和優(yōu)化后的粒子，對其運動穩(wěn)定性進行對比分析，結果如表2所示。

表2 優(yōu)化前后機器人運動指標Table 2 Optimized robot movement indicators before and after

粒子群算法中各粒子的適應度值是對優(yōu)化過程中四足機器人運動穩(wěn)定性的表示。由式（12）可知，越小的適應度值對應的機器人穩(wěn)定性越好。由表2可以看到，通過粒子群算法優(yōu)化后，粒子的適應度值大大減小，同時除了前進距離略低于優(yōu)化前的情況，其他指標均大幅優(yōu)于優(yōu)化前。這說明通過粒子群算法迭代搜索出的模型參數(shù)組合，能夠有效提高四足機器人的運動穩(wěn)定性。

本實驗中粒子的適應度值變化趨勢如圖13所示。從圖13（a）圖可以看出，采用未經(jīng)改進的粒子群算法時，各粒子適應度值總體上隨著迭代次數(shù)的增加而減小，在經(jīng)過20次左右的迭代后各粒子的適應度幾乎不再變化，達到終止條件。而采用自適應調(diào)整權重策略的粒子群算法實驗結果如圖13（b）所示，可以看到經(jīng)過改進后的算法在實驗結果相同的情況下，具有更快的收斂速度，大大減少了聯(lián)合仿真的時間，同時也證明本文提出的自適應調(diào)整權重策略的有效性。實驗后期四足機器人的姿態(tài)角較為穩(wěn)定，直線行走能力也得到提高，這證明粒子群算法在解決多參數(shù)優(yōu)化問題上的有效性。

圖13 粒子適應度值變化趨勢Fig.13 Change trend of particle fitness value

3.4 與多目標遺傳算法的對比

遺傳算法也常被用于多目標優(yōu)化問題中。本節(jié)將提出的改進粒子群算法和多目標遺傳算法分別用于優(yōu)化CPG網(wǎng)絡模型參數(shù)。

在遺傳算子設計中，變異算子和交叉算子選擇均勻變異和均勻交叉模式，選擇此模式有利于提高算法的全局搜索能力；選擇個體時采用最優(yōu)個體保存法，即用適應度值最高的Nelite個個體替換適應度值最低的Nelite個個體。多目標遺傳算法相關參數(shù)設置見表3。為了更好地對比兩種群智能優(yōu)化算法，讓多目標遺傳算法的種群規(guī)模、適應度函數(shù)與粒子群算法保持一致。

表3 遺傳算法參數(shù)設置Table 3 Genetic algorithm parameter setting

表4表示遺傳算法和改進粒子群算法多次試驗的結果?？梢钥闯觯瑢τ谙嗤膬?yōu)化結果（最小適應度值），雖然遺傳算法多次實驗的迭代次數(shù)較為穩(wěn)定，但其所需的迭代次數(shù)要高于改進粒子群算法，即其收斂速度不如改進粒子群算法；而改進粒子群算法雖然由于種群初始化導致收斂速度不一致，但總體效果好于遺傳算法。

表4 算法迭代次數(shù)比較Table 4 Comparison of algorithm iterations

4 結論

本文基于Hopf振蕩器構建了四足機器人的CPG控制網(wǎng)絡。通過單足軌跡規(guī)劃進而確定CPG數(shù)學模型的參數(shù)，以CPG網(wǎng)絡輸出曲線作為四足機器人的輸入信號，并進行機器人行走實驗證明了所設計CPG網(wǎng)絡的有效性；針對實際運行情況下機器人重心偏移導致的運動穩(wěn)定性問題，利用粒子群算法通過多次迭代搜索運動模型的最佳參數(shù)，同時通過自適應調(diào)整權重的策略來加快算法的迭代速度，并通過與遺傳算法的比較驗證改進粒子群算法的有效性，解決了由于重心偏移帶來的穩(wěn)定性問題。