對一道不等式證明題解法的探究

韋洲

不等式證明問題經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學高考試題中.此類問題的命題形式變化多端，解法多樣.筆者對一道不等式證明題及其解法進行了探究，下面談一談個人的一些見解，供大家參考.

例題：若 x >，請證明：<1+ ?.

本題中的已知條件比較簡單.要證明結論，需從目標不等式入手.仔細觀察不等式可發(fā)現(xiàn)，不等式左右兩邊的式子均含有分式，且左邊的式子中含有對數(shù)式，可根據(jù)放縮法、函數(shù)的性質來求證.

方法一：放縮法

放縮法是證明不等式問題的重要手段.在運用放縮法證明不等式時，要先仔細觀察目標不等式的結構特性，以明確變形、放縮不等式的方向和目標，然后對其進行合理的變形、放縮，證明不等式成立.

證明：當 x >1時，<1，1+? >1，所以<1+ 成立.

當 ≤ x ≤1時，<0，1+? >1，所以<1+ 成立.

在證明該不等式時，我們將x 的取值范圍分成兩段 x>1、≤ x ≤1進行討論.當 x>1時，需引入中間量“1”;當2 ≤ x ≤1時，需引入中間量“1”“0”.再通過放縮，比較出不等式左右兩邊的式子與“1”“0”之間的關系，根據(jù)不等式的傳遞性即可證明結論.

方法二：利用函數(shù)的單調性

不等式與函數(shù)之間關系緊密.在證明不等式時，我們可根據(jù)不等式的結構特點，構造合適的函數(shù)，然后討論函數(shù)的單調性、最值，運用函數(shù)的單調性來證明結論.

證法一：將<1+ 變形可得x lnx<1+x·ln1+x，

設

所以函數(shù) f（x）在x>上單調遞增，

所以

即

所以不等式<1+ 成立.

我們先將不等式移項、通分，再構造函數(shù) f（x），通過分析其導函數(shù)與0之間的關系，判斷出函數(shù)的單調性，進而證明不等式成立.

證法二：

相比較而言，第一種方法較為簡單，但較為靈活，很多同學難以想到;第二種方法較為復雜且運算量較大，但適用范圍較廣，且思路簡單.證明不等式的方法還有很多種，如分析法、反證法、數(shù)學歸納法等，但每種方法的適用情形都不相同，同學們在日常的學習中要善于總結、積累.

（作者單位：江蘇省大豐高級中學）