盧琳

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，其命題形式多樣，常見的有根據(jù)條件求三角函數(shù)的值、求最值、求角的大小、解答與圖象有關(guān)的問題、化簡三角函數(shù)式等.本文重點探討下列兩類三角函數(shù)問題及其解法.

一、根據(jù)條件求三角函數(shù)的值

根據(jù)條件求三角函數(shù)的值一般有兩種類型：①給值求值;②給角求值.在求三角函數(shù)的值時，要先明確已知條件，將其與所求目標(biāo)關(guān)聯(lián)起來，辨析其差別，如角、函數(shù)名稱、冪之間的差異，靈活運用三角函數(shù)中的基本公式，如誘導(dǎo)公式、二倍角公式、兩角的和差公式、輔助角公式等，使問題中的角、函數(shù)名稱、冪逐步向目標(biāo)式靠攏.同時，要盡量將題目中所涉及的角與特殊角30°、45°、60°、90° 等關(guān)聯(lián)起來，以便運用這些特殊角的三角函數(shù)值求得問題的答案.

例1 .已知 sin α+ sinβ=? ，cos α+ cosβ= ，試求 cos（α-β） ， tan（α+β）的值.

解析：首先看角，目標(biāo)式中的角為α-β、α+β，則需用到和差化積公式;再看函數(shù)名稱，目標(biāo)式中含有正切函數(shù)式，但已知關(guān)系式中卻含有正弦函數(shù)式、余弦函數(shù)式，因此需要運用 sin2θ+ cos2θ= 1、tan θ=? sin θ

解：∵ sin α+ sinβ= ①， cos α+ cosβ= ②，∴①2+ ②2得1+ 2cos α cosβ+ sin α sinβ+1 =? ，∴ cos（α-β）=- ，

∴2 sin2α+β cosα-β= 1③，

2 cos 2α+β cosα-β= 1④，

∵ cos α-β≠0 ，

∴將③÷ ④得tanα+β= 3

α+β

∴ tanα+β=? = ?.

二、求最值

三角函數(shù)中的最值問題一般要求根據(jù)所給的關(guān)系式，求某個三角函數(shù)式在定義域內(nèi)的最值，或求某個角的最大、最小值.解答三角函數(shù)最值問題，往往要先根據(jù)已知條件，選擇合適的公式進(jìn)行三角恒等變換，將目標(biāo)式化簡為某一個角的三角函數(shù)式或者關(guān)于某個三角函數(shù)的二次函數(shù)式，這樣便可直接根據(jù)三角函數(shù)的有界性、單調(diào)性以及二次函數(shù)的單調(diào)性求得最值.

例2 .求函數(shù) f x= cos2x + sinxcosx +1 的最大值.

解：

由于 x ∈ R，所以當(dāng)2x+ =2kπ+ ，即 x =kπ+ （k ∈ Z）時，f xmax =? .

目標(biāo)式中含有二次冪、正弦函數(shù)式、余弦函數(shù)式，因此需運用二倍角公式、輔助角公式將目標(biāo)式化簡為正弦函數(shù)式，再根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得最值.

例3.已知 x ∈[- ， ]，求函數(shù) y =4 sin2x -12 sinx-1的最值.

解：

該目標(biāo)式中含有二次冪，因此需將sinx換元，將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t 的一元二次函數(shù)式，把問題看作復(fù)合函數(shù)的最值問題，分別在定義域內(nèi)討論兩個函數(shù)?? t = sinx、y =4t2- 12t -1 的單調(diào)性，再根據(jù)“同增異減”的原則判斷出目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性，便能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和正弦函數(shù)的有界性求得最值.

可見，解答三角函數(shù)問題，需首先根據(jù)已知條件和所求目標(biāo)選擇合適的公式，通過三角恒等變換對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡，使問題中的角、函數(shù)名稱、冪統(tǒng)一，然后再靈活運用三角函數(shù)的性質(zhì)、圖象來解答.

（作者單位：江蘇省靖江市劉國鈞中學(xué)）