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      合理引入待定系數(shù),快速求得數(shù)列的通項公式

      2022-04-09 16:48:33
      關(guān)鍵詞:法求結(jié)構(gòu)特征式子

      由遞推式求數(shù)列的通項公式問題通常較為復(fù)雜.要想順利求得數(shù)列的通項公式,需將遞推式進行合理的變形,將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的等差、等比、常數(shù)列或易于求解的數(shù)列通項公式問題.待定系數(shù)法是解答此類問題的有效方法之一.運用待定系數(shù)求數(shù)列的通項公式,需根據(jù)遞推式的結(jié)構(gòu)特征引入恰當(dāng)?shù)拇ㄏ禂?shù),設(shè)出與遞推式結(jié)構(gòu)類似的式子,然后將其變形,通過對比系數(shù)建立關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組,求得待定系數(shù)的值,便能將遞推式轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的通項公式,從而構(gòu)造出等差、等比、常數(shù)列,再根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式進行求解,即可順利求得數(shù)列的通項公式.

      例1.已知數(shù)列an中,a1= 1, an+1 =3an +5 ?2n +4,求數(shù)列an的通項公式.

      解:

      由形如 an +1 =Aan +Bqn +1 + C 的遞推式求數(shù)列的通項公式,需靈活運用待定系數(shù)法.可先根據(jù)遞推式確定an 的系數(shù) A,然后引入待定系數(shù)x、 y,設(shè)遞推式為 an +1 +x ?qn +1 +y =Aan +x ?qn +y,再將該式變形,使系數(shù)對應(yīng)相等,構(gòu)建關(guān)于x、 y 的方程組,通過解方程組求得x、 y 的值,就可構(gòu)造等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列的通項公式.對于本題,我們可引入待定系數(shù)α、β,構(gòu)造出等比數(shù)列an +5×2n +2.

      例2.已知數(shù)列an滿足 a1= 8, an+1 =3an +3n+1 +2,求數(shù)列an的通項公式.

      解:

      因此,數(shù)列an的通項公式為 an=n +2?3n - 1.

      對于形如 an+1 =Aan +B ?An +1 + C 的遞推式,可運用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項公式.在確定 A 的值后,需引入待定系數(shù) x,設(shè)? =? +mm為常數(shù),將其整理為與遞推式的結(jié)構(gòu)一致的式子,比較其系數(shù)即可建立關(guān)于x 的方程,求得x 的值,就能構(gòu)造出新就能順利求得數(shù)列的通項公式.

      例3.在數(shù)列an中, a1= 8, an+1 =2an +4× 3n+1 +2n +1,求數(shù)列an的通項公式.

      解:令 an +1 +α ?3n +1 +βn +1+γ =2(an + α?3n +βn +γ),整理得: an +1 =2an - α?3n +βn +γ -β,

      則α =-4,β= 2,γ= 3,

      所以an +1 -4× 3n +1 +2n +1+3 =2(an -4× 3n +2n+3),

      則數(shù)列an -4×3n +2n +3為首項為1,公比為2 的等比數(shù)列,因此,數(shù)列an的通項公式為 an =4× 3n + 2n -1 -2n -3 .

      運用待定系數(shù)法由形如 an +1 =Aan +Bqn +1 + C 的遞推式求數(shù)列的通項公式,往往需引入系數(shù) x、 y、γ ,并設(shè)遞推式為 an +1 +x ?qn +1 +y n +1+γ =Aan +x ?qn +yn +γ,然后根據(jù)遞推式建立關(guān)于系數(shù) x、 y、γ 的方程組,求得x、 y、γ 的值,構(gòu)造出等比數(shù)列an +x ?qn +yn +γ,再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求解.

      除了上述三種類型的遞推式,對于形如 an +2=? Aan+1 +Ban 、an+1 =Aan +B ?An +1 + Cn +D 的遞推式,也可采用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項公式.在引入待定系數(shù)時,要先仔細觀察遞推式的結(jié)構(gòu)特征,設(shè)出能構(gòu)造出常規(guī)數(shù)列的式子,同時要引入盡量少的待定系數(shù),這樣能減少運算量.

      (作者單位:甘肅省隴南市成縣第一中學(xué))

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