余曉嫻

(福建省廈門市海滄中學(xué),361000)

本文嘗試引入物理領(lǐng)域中建立模型常見的量綱分析法,探索開展高中生數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動易于實施的的新方法，利用跨學(xué)科融合,提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

一、問題提出背景

1.課標(biāo)明確對數(shù)學(xué)建模的要求

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版，2020年修訂)(以下簡稱《課標(biāo)(2020)》)中,數(shù)學(xué)建模是六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一.其中明確指出數(shù)學(xué)建模在當(dāng)前普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)建設(shè)中的重要地位，將“數(shù)學(xué)建?；顒印迸c“數(shù)學(xué)探究活動”分別作為必修課程與選擇性必修課程的主題之一,并分別安排了具體課時.強調(diào)在高中階段必須開展一系列的數(shù)學(xué)建模活動,以此提高學(xué)生的應(yīng)用能力與探索創(chuàng)新精神等[1].依據(jù)《課標(biāo)(2020)》的要求,新教材中增加數(shù)學(xué)建模的比重.

2.數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中的困難

數(shù)學(xué)建?；顒硬煌谝酝Ｒ姷膽?yīng)用題.應(yīng)用題的出題者已經(jīng)將實際背景簡化、數(shù)據(jù)提前進(jìn)行加工,應(yīng)試者只需要根據(jù)題意將幾個變量間關(guān)系合理表達(dá)即可完成解答.但數(shù)學(xué)建?；顒又y始于真實的問題情境.現(xiàn)實情境影響因素眾多,如何合理地簡化問題，找到有效的變量并且構(gòu)建變量間關(guān)系，建立科學(xué)的模型，是目前學(xué)生面臨的最大困難.另外,數(shù)學(xué)建模常用的方法與經(jīng)典模型的建立需要用到高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識,這對高中生而言是較為困難的.高中課程中學(xué)生學(xué)習(xí)了線性規(guī)劃、回歸分析等,可以用于解決部分問題,但是對于情況較為復(fù)雜、影響因素較多的問題,便捷有效的處理方法學(xué)生仍較為欠缺.這使得學(xué)生在模型的建立上往往需要花費大量的時間和精力,甚至無法建立合理的模型.

3.量綱分析的作用與特點

量綱分析法也稱為因次分析法,它的本質(zhì)是一種很有價值的數(shù)學(xué)分析理論方法.20世紀(jì)初,量綱分析最早在物理中被提出,后來逐步發(fā)展為通過專門研究物理量的量綱關(guān)系，進(jìn)而揭示數(shù)量關(guān)系的半定量方法[2].通過量綱分析,可以正確地分析各變量之間的關(guān)系,尤其對于多變量問題的復(fù)雜模型可以大大簡化,可以用于檢查一些數(shù)理公式是否正確,是自然科學(xué)中一種重要的研究方法.作為一種科學(xué)的研究方法,量綱分析法不依賴繁冗的物理規(guī)律,而是以物理量的基本屬性量綱作為思考問題的切入點，以量綱齊次法則作為分析與判斷的基本依據(jù).面對各種復(fù)雜情況,以不變的量綱應(yīng)對萬變的量,往往能起到意想不到的效果.

二、量綱分析法的相關(guān)理論知識

1.量綱與量綱式

量綱不是量,不是單位,也不是數(shù).數(shù)學(xué)模型中的各種變量通常具有其物理意義.有一些被稱為基本量,如長度L、時間T、質(zhì)量M等.其他量可以由基本量導(dǎo)出,被稱作導(dǎo)出量.一個物理量Q一般可以表示為基本量乘冪之積dimQ=LαMβTγIδΘεNξJη.在國際單位制中共有7個基本物理量,對應(yīng)有7個獨立的基本量綱(L,M,T,I,Θ,N,J).其中α,β,γ…被稱為量綱指數(shù),量綱式表示為dimQ=LαMβTγIδΘεNξJη[3].若對于某個物理量Q，有α=β=γ=δ=ε=ζ=η=0,則物理量稱為無量綱量.

2.量綱齊次法則

量綱的運算法則為:兩個物理量相乘(或相除)時,它們對應(yīng)的量綱指數(shù)相加(或相減).只有量綱相同的物理量才能比較大小和進(jìn)行加減運算.一個正確的數(shù)理方程,等號兩端必須滿足量綱一致,即每一項的量綱必須完全相同.這種要求稱作“量綱齊次法則”,是量綱分析法中最重要、最常用的一個部分.

3.白金漢π定理

三、應(yīng)用舉例

案例1用量綱分析法證明勾股定理

設(shè)直角三角形斜邊長為c,其中一個銳角為θ,其面積為S.易知三角形斜邊c與面積S的量綱為dimc=L,dimS=L2.由白金漢π定理知,可定義兩個無量綱量,π1=S·c-2,π2=θ.再由π1=φ(π2)可得S=c2·φ(θ).如圖1所示,作直角三角形斜邊上的垂線,這樣將該直角三角形分成左右兩個子母相似的直角三角形,同理可得這兩個小直角三角形的面積為S1=a2·φ(θ),S2=b2·φ(θ).

由于S=S1+S2,得到c2·φ(θ)=a2·φ(θ)+b2·φ(θ),兩邊同時約去φ(θ),即有c2=a2+b2成立.證畢.

設(shè)置意圖本案例主要體現(xiàn)白金漢π定理的運用.對學(xué)生早已熟悉的勾股定理,運用量綱分析的方法給出證明,簡潔明了、又易于理解.整個證明分析過程最核心和精彩的部分,是三角形面積的表示,這不同于以往的底乘以高,而是根據(jù)量綱齊次法則,由三角形的面積和角度這兩個量的量綱得出的.向?qū)W生揭示了量綱分析法解決問題的一般思路,作為示范和啟發(fā)作用的例題很有意義.

案例2求單擺的運動周期T

設(shè)計意圖本案例運用量綱齊次法則對等式進(jìn)行檢驗,十分快速有效,這個方法可啟發(fā)學(xué)生將量綱分析法用于數(shù)學(xué)建模的檢驗中.對于學(xué)生在物理中已經(jīng)學(xué)過的單擺周期公式,用量綱分析的角度重新推導(dǎo),目的是讓學(xué)生經(jīng)歷量綱分析解決問題的過程,體會其分析問題的特點.

案例3人的體重W與身高L的關(guān)系(教材中回歸分析例題的解法優(yōu)化)

為了解人的平均身高和體重的生長變化規(guī)律,先觀察8名不同年齡段的男性和女性的情況,其身高和體重的數(shù)據(jù)如表1所示.請求出人的身高與其體重的回歸方程.

表1

選取身高為自變量L,體重為因變量W,可以作如下圖2散點圖:

現(xiàn)在換個角度來分析問題.由于人和人的相似性,可以近似地看成人的體重與體積之間的關(guān)系大概是成正比的,那么研究人的體重W與身高L的關(guān)系就轉(zhuǎn)化為研究人的體積V與身高L之間的關(guān)系.根據(jù)量綱分析可知:dimV=(dimL)3,那么V=k·L3,說明體積V與身高L的三次方成正比.因此增加一行計算身高L的三次方,記t=L3,數(shù)據(jù)如表2所示.

表2

此時選取身高的三次方L3為自變量t,體重為因變量W,可以作散點圖如圖3:

設(shè)計意圖 本案例根據(jù)教材中回歸分析一節(jié)的例題改編,對比教材中直接作線性擬合,增加基于量綱考慮的模型優(yōu)化,輕巧靈活,易于理解,達(dá)到改進(jìn)和優(yōu)化的目的.其目的不是為了推翻教材中的方法,而是把量綱分析的基本思想作為數(shù)學(xué)建模中的工具.利用量綱分析,不僅可以檢查數(shù)理公式是否正確,甚至可以通過分析進(jìn)一步得到變量較為明確的關(guān)系(具體到乘冪的次數(shù)),這可以大大提高擬合函數(shù)的精度和可信度,對優(yōu)化模型起到重要作用.