范國兵， 袁 濤

(湖南財政經(jīng)濟學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 長沙 410205)

0 引言

金融市場中，二級流通市場的各項證券投資都具有一定的風險，然而各項投資的風險程度以及風險最終出現(xiàn)的可能性并不一致。MARKOWITZ H M用投資收益的不確定性描述風險資產投資的風險表征[1]，其風險的不確定性影響較為廣泛。風險源的多樣性以及風險擴散機制都是資本市場極為關注的，以數(shù)學特征的表達方式進行分析風險資產投資組合經(jīng)濟效率與盈虧率。在此之后，眾多研究都在不斷地豐富和完善現(xiàn)有的風險資產投資組合理論，尤其以均值方差的均衡分析實現(xiàn)收益和風險之間的最佳平衡，從而服務于理性投資者所追求的投資決策。關于證券投資市場的主要研究，股票市場及其靈活的融資方式與多樣性的風險因素，是風險資產投資組合最主要的研究主體[2]。在證券交易的過程中，進行理論性的總結和經(jīng)驗性的認識，從中把握量化分析思維，借助數(shù)字特征分析的優(yōu)勢決定資產配置模型的有效性。

1 風險資產組合測度分析

MARKOWITZ H M通過均值方差模型進行投資組合的研究，以分析單目標下的二次規(guī)劃，實現(xiàn)風險投資組合的最優(yōu)化配置，為風險資產配置組合理論開了數(shù)字特征的先河[3]。

目標函數(shù)

其中σ2(p)表示風險資產的方差；Xi、ri分別表示第i種風險資產的權重配比與收益率。

約束條件

其中E(Rp)表示由風險資產所構成的證券投資組合的期望收益率；E(Ri)表示單個風險資產的期望收益率。

在風險資產組合與無風險資產間的投資組合之中，以關鍵數(shù)字特征的基本分析，分析股票組合風險變動規(guī)律，在簡化Markowitz模型的基礎上，進行兩證券資產配置分析模型的數(shù)字特征評價[4]。

1.1 預期收益的分析描述

期望收益值是在不同情景下，收益率已發(fā)生概率為權重的加權平均值，用隨機變量的數(shù)學期望描述和反映平均投資收益，數(shù)學期望越大，期望收益率就越高。從離散型變量著手，分析影響投資組合的隨機因素，轉化為可連續(xù)化的收益結果，直觀表現(xiàn)出在不同情景下的概率情況與預期回報情況，描述投資組合的整體期望。

單個風險資產的期望收益率記作

證券投資組合的期望收益率記作

投資者根據(jù)投資期限的選擇，得到時間加權的平均收益率。當收益率波動增大時，兩種平均方法便會存在顯著的差異，如果收益服從正態(tài)分布，則預期差異為分布方差的1/2。在度量風險資產的歷史收益時，通常采用幾何平均數(shù)，估計未來表現(xiàn)時通常使用算術平均數(shù)。未來的投資收益結果通常包含了許多不確定性，這些不確定性對于未來的財富影響較大，正是由于這種非對稱性的存在，幾何平均是對未來平均收益的低估，當假設風險資產收益服從正態(tài)分布時，被低估部分恰好就是方差的一半，可以采用算術平均的數(shù)字特征糾正這種誤差。

兩者關系為

1.2 風險情況的分析描述

在預期收益的均值分析中，隨機變量的預期性差異均是由自生性質所導致的，基于此，離散程度的偏移，為風險資產投資組合理論的風險狀況的描述提供了主要依據(jù)[5]。根據(jù)收益率的標準差度量風險，數(shù)值大小用以反映其結果波動性強度，描述多種不確定性事件的發(fā)生，可以衡量實際收益和預期收益之間的偏差，因此方差和均值提供了測量結果不確定性的方法。

σ2=∑p(s)[r(s)-E(s)]2，

(1)

(2)

(3)

1.3 投資組合相關性風險描述

在數(shù)字表達中，協(xié)方差描述兩個風險資產組合中各個資產的風險之間相關關系下的組合風險，相關系數(shù)即各個風險資產間的相關關系的大小。如果協(xié)方差為負，則組合的方差會降低,即使協(xié)方差為正，組合標準差仍低于兩個證券標準差的加權平均，除非這兩個證券是完全正相關的[6]。它們之間具有關系式

Cov(r1,r2)=ρ12σ1σ2，

因此在相關系數(shù)較高時，組合方差就較高。當兩個資產完全正相關時，即相關系數(shù)等于1時，組合標準差就是兩個收益完全正相關資產標準差的加權平均，

或

σp=w1σ1+w2σ2。

在其他條件下，相關系數(shù)小于1時，組合標準差小于兩個資產標準差的加權平均。

2 實證分析

通過最優(yōu)風險資產組合的兩證券資產配置分析模型進行情景模擬，計算一個包含兩種風險資產的投資組合的收益率與風險，在模型估計中計算不同資產權重下投資組合的收益率和風險，根據(jù)圖像的生成，可以在一個目標收益率中進行無風險資產和最優(yōu)風險資產投資的最優(yōu)選擇。

2.1 數(shù)據(jù)選擇與依據(jù)

以滬深股市的典型行業(yè)為選擇依據(jù)，選取三一重工(即Security 1)與貴州茅臺(即Security 2)，形成兩組風險證券，根據(jù)道氏理論進行技術分析，選取每只股票的每月收盤價格作為主要的數(shù)據(jù)依據(jù)，期限跨度為14年，從2008年1月至2021年7月的月均收盤價，以中長期的價格反映風險資產情況(即股票價格)，形成多維的股票價格序列，以跨期的時間價格進行配置證券組合資本中的風險資產。關于無風險資產的選擇，以違約概率最低的國債作為無風險資產的配置分析，選取一年期國債收益率進行無風險資產的分析。在資產組合的配置中以市場中歷史價格因素，分析預期收益、風險程度以及權重配置比之間的內在關系，以較為理想化的證券市場環(huán)境以及證券性質，分析資本資產的配置組合。

2.2 數(shù)據(jù)分析

關于風險資產的數(shù)字特征，以歷史數(shù)據(jù)信息分析均值情況，首先對收益率的序列特征進行處理，即r=ln(Pt/Pt-1)，得到風險資產的收益情況，然后進行數(shù)據(jù)處理，利用算術平均值的計算方式描述風險資產的均值情況?；诖耍M行風險資產的方差計算，以較為明確的風險特征，進行組合配置的分析，生成兩組風險資產的收益情況、標準差以及相關系數(shù)。在Excel的輔助計算中，以VARP函數(shù)得到風險資產的方差，用以進一步描述風險特征，再對其開平方得到標準差。在兩組的風險資產中，通過用COVAR和CORREL函數(shù)得到相應的相關系數(shù)與協(xié)方差[7](如表1所示，數(shù)據(jù)來源為2008—2021年三一重工、貴州茅臺以及中國一年期國債收益率數(shù)據(jù)信息[8-10])。

表1 風險與收益特征描述Tab.1 Description of risk and return characteristics

無風險資產的配置以一年短期國債表示，通過原有的年化收益率轉化為每月收益率，經(jīng)數(shù)據(jù)處理之后，可使用統(tǒng)一時間口徑的收益率比較。承接表1數(shù)據(jù)進行風險資產的配置組合，再結合各權重變量的調整，在風險資產與無風險資產的風險溢價情況，形成波動報酬(Reward to Variability)，即組合預期收益與無風險報酬率之間的差值與標準差的比值，從而更好地把握風險與收益情況，完成本研究證券投資組合中資本資產配置的簡單數(shù)學特征分析。整理得到如表2所示的權重調節(jié)變量情況。

表2 權重調節(jié)變量情況Tab.2 Weight adjustment variables

調整變量值，引起其他變量發(fā)生改變，通過兩個風險模型的資產配置分析，選擇兩個風險證券Security 1與Security 2同國債Bond之間的期望值、標準差以及相關系數(shù)的改變，構建不同權重的最優(yōu)市場組合，以CAPM資本資產定價模型的計算公式，得出組合預期收益率、標準差以及報酬波動的比率，即資本配置線的斜率。根據(jù)自我設定的參數(shù)進行多次的數(shù)值調試，不同風險偏好的投資者對于風險資產預期回報率的不同以及各個資產的配置權重差異，可進行合理定制化投資方案選擇。

在不允許賣空的交易機制下，分析最小方差組合以及最優(yōu)風險組合的資產配置情況，結合上述的實證研究數(shù)據(jù)，筆者整理得到如表3所示的風險差異資產配置情況。

表3 風險差異資產配置情況Tab.3 Risk difference asset allocation

在證券投資組合的可行集區(qū)域中，其內部與邊界范圍所形成的投資組合，完全可以根據(jù)投資者不同的偏好程度形成獨特的投資決策。對于最廣大的理性投資者來說，在同一風險水平下，投資者都會選擇收益率最高的投資組合；而對于同一收益水平下，投資者都會選擇風險最小的投資組合。據(jù)此，將能夠同時滿足預期收益最大且組合風險最小的投資組合，構成最有效的配置集合。

2.3 分析結論

在現(xiàn)行證券市場上進行資本資產配置組合的實際案例分析，以風險資產的股票證券形式和無風險資產的國債構建投資組合。采用一般化的數(shù)字特征的分析，進行收益率和標準差的數(shù)字化處理，進行最小方差組合和最優(yōu)風險組合的兩者均衡條件下，探索證券投資組合收益和方差之間的協(xié)調關系。筆者參考Investments[11]提供的數(shù)據(jù)，整理得到資產配置模型結果示意圖(圖1)。

圖1 資產配置模型結果示意圖Fig.1 Schematic diagram of asset allocation model results

如圖1所示，實證數(shù)據(jù)表明，在構建的三一重工、貴州茅臺和中國一年期國債收益率的投資組合之中，能夠在組合標準差0.4～0.6的區(qū)間內，實現(xiàn)最優(yōu)化預期收益的資產配置。但是本次分析不足之處，是僅停留在理論收益與風險情況，現(xiàn)有市場不一定能找到合理的資產組合，且資產間的相關系數(shù)不能根據(jù)統(tǒng)一標準得出，選取的大盤股票指數(shù)仍缺乏客觀性。

在不允許賣空的市場環(huán)境條件下，選擇最小方差投資組合即風險最小化組合：進行最優(yōu)風險資產投資組合的權重配比以及無風險資產的選擇，實現(xiàn)最近點連線，即構建最小方差組合，實現(xiàn)最低風險保障。選擇最優(yōu)投資組合：通過調節(jié)兩個風險資產的不同權重實現(xiàn)與無風險資產之間的連線，在所形成的可選擇權重范圍內進行投資方案的制訂，根據(jù)所期望的回報率調整已選定的投資組合權重和無風險資產之間的配比，達到既定的收益情況。也可以通過調節(jié)兩個風險資產的權重，間接地影響投資組合的整體收益率，從而實現(xiàn)預期回報。組合模型的規(guī)劃求解，需要在結合眾多市場信息后，進行擬合優(yōu)度最大化的數(shù)字模擬。

3 結論

通過對風險投資模型進行數(shù)理統(tǒng)計分析，將證券投資組合理論以更加直觀簡潔的形式描述，得出風險投資的風險與收益情況，以量化思維分析證券市場上的理性和非理性行為，為投資決策者作出合理的判斷與選擇，更加理性和辯證地看待收益和風險之間的關系。實證研究從離散化的隨機變量入手，轉化為收益情況的連續(xù)型變量，對期望值、方差、相關系數(shù)以及協(xié)方差的基本數(shù)字特征進行分析。在下一步的數(shù)學特征分析中，可以加入變量的獨立性因素進行更加符合實際的研究，也能夠深入地完善和提升投資組合模型的擬合程度，為投資決策提供更為便捷的數(shù)理支撐，為風險資產投資組合理論的數(shù)學特征應用融入更多的實用性優(yōu)勢。