劉小寧
(武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院 湖北 武漢:430205)
設(shè)ai與t為正數(shù),n為不小于2的自然數(shù),當(dāng)i=1,2,…,n時(shí),記An、Gn與Hn分別為n個(gè)正數(shù)ai的算術(shù)平均值、幾何平均值與調(diào)和平均值,即
文中構(gòu)建了如下一組3個(gè)結(jié)構(gòu)新穎且形式優(yōu)美的平均值不等式
(1)
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)成立。
(2)
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)成立。
(3)
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)成立。
實(shí)際上,平均值不等式(1)~(3)也是3個(gè)關(guān)于正數(shù)ai個(gè)數(shù)n的單調(diào)遞增函數(shù)。
在算術(shù)平均值A(chǔ)n,幾何平均值Gn與調(diào)和平均值Hn之間,還存在大家熟悉的算術(shù)——幾何——調(diào)和平均值不等式[1]
An≥Gn≥Hn
(4)
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)成立。
式(1)~式(3)是含參數(shù)t的平均值不等式,而平均值不等式(4)不含參數(shù)t。
為證明結(jié)構(gòu)新穎且形式優(yōu)美的平均值不等式(1)~(3),先證明如下定理。
定理:若x與t為正數(shù),則
(5)
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)t=xn-1時(shí)成立。
證明:設(shè)y與m為正數(shù),作輔助函數(shù)
R(y)=yn-n·mn-1·y+(n-1)·mn
則
由于y與m為正數(shù),
1)若y=m,則R(y)=0;
2)若x 則 3)若y>m,有y-m>0,且 故 以上分析表明,當(dāng)y與m為正數(shù)時(shí),恒有 R(y)=yn-n·mn-1·y+(n-1)·mn≥0 在上式中作變換 可得到定理即式(5),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)y=m即t=xn-1時(shí)成立。定理證畢。 不等式(1)的證明:令定理中 注意到 不等式(2)的證明:令定理中 注意到 不等式(3)的證明:令定理中 注意到 以及 an=n·An-(n-1)·An-1 不等式(4)的證明:取不等式(1)中t=1,可得算術(shù)——幾何平均值不等式:An≥Gn;取不等式(2)中t=1,可得幾何——調(diào)和平均值不等式:Gn≥Hn;綜合這兩個(gè)不等式,可得到算術(shù)——幾何——調(diào)和平均值不等式(4),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)成立。不等式(4)證畢。 例1:記關(guān)于n個(gè)正數(shù)ai的算術(shù)平均值A(chǔ)n,幾何平均值Gn與調(diào)和平均值Hn的均差函數(shù)分別為 F1(n)=n(An-Gn) (6) (7) F3(n)=n(An-Hn) (8) 則F1(n),F(xiàn)2(n)與F3(n)分別是n的單調(diào)遞增函數(shù)。 證明:取不等式(1)~(3)中t=1,可分別得到 F1(n)≥F1(n-1) F2(n)≥F2(n-1) F3(n)≥F3(n-1) 故F1(n),F(xiàn)2(n)與F3(n)分別是n的遞增函數(shù)。 因?yàn)槔?中關(guān)于式(6)為遞增函數(shù)的結(jié)論是Rado不等式[2-6],所以式(7)與式(8)為遞增函數(shù)的結(jié)論可視為Rado不等式的推廣[7]。 例2:記關(guān)于n個(gè)正數(shù)ai的算術(shù)平均值A(chǔ)n,幾何平均值Gn與調(diào)和平均值Hn的均商函數(shù)分別為 (9) (10) (11) 則f1(n),f2(n)與f3(n)分別是n的單調(diào)遞增函數(shù)。 證明:1)取不等式(1)中 整理可得到:f1(n)≥f1(n-1) 故例2中式(9)是n的單調(diào)遞增函數(shù)。 2)取不等式(2)中 整理可得到:f2(n)≥f2(n-1) 故例2中式(10)是n的單調(diào)遞增函數(shù)。 3)取不等式(3)中 整理可得t到:f3(n)≥f3(n-1) 故例2中式(11)是n的單調(diào)遞增函數(shù)。 因?yàn)槔?中關(guān)于式(9)為遞增函數(shù)的結(jié)論是Popovic不等式[2-6],所以式(10)與式(11)為遞增函數(shù)的結(jié)論可視為Popovic不等式的推廣[7]。 例3:設(shè)r為不超過n的正整數(shù),即r=1,…,n時(shí),則 An≥q1(r)·Gn≥Gn≥q2(r)·Hn≥Hn An≥q3(r)·Hn (12) 其中 (13) 證明:當(dāng)r為非負(fù)整數(shù)且r=1,…,n時(shí), 1)因?yàn)槔?中式(9)是單調(diào)遞增函數(shù),有 由算術(shù)——幾何平均值不等式即不等式(4)的最左項(xiàng)與中間項(xiàng),可知式(12)中第一式的最左項(xiàng)與中間項(xiàng),以及式(13)的q1(r)成立。 2)因?yàn)槔?中式(10)是單調(diào)遞增函數(shù),有 由幾何——調(diào)和平均值不等式即不等式(4)中的中間項(xiàng)與最左右項(xiàng),可知式(12)第一式的中間項(xiàng)與最左項(xiàng),以及式(13)的q2(r)成立。 3)因?yàn)槔?中式(11)是單調(diào)遞增函數(shù),有 由算術(shù)——幾何——調(diào)和平均值不等式即不等式(4)的最左項(xiàng)與最右項(xiàng),可知式(12)中第二式,以及式(13)的q3(r)成立。 例3表明,在n個(gè)正數(shù)ai的算術(shù)平均值A(chǔ)n與幾何平均值Gn之間,以及在幾何平均值Gn與調(diào)和平均值Hn之間可分別加細(xì),例3中的q1(r)與q2(r),分別是An與Gn之間,Gn與Hn之間的加細(xì)系數(shù);在An與Hn之間,可用系數(shù)q3(r)進(jìn)行加細(xì)。 根據(jù)式(6)與式(7)遞增性的證明過程,可得到 例4:設(shè)r為不超過n的正整數(shù),且r=1,…,n-2時(shí),則 顯然,例4是算術(shù)——幾何——調(diào)和平均值不等式加細(xì)的又一種形式。3 應(yīng)用
武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)2022年1期