• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看

      ?

      平均值的一組新不等式

      2022-04-13 06:31:30劉小寧
      關(guān)鍵詞:算術(shù)正數(shù)調(diào)和

      劉小寧

      (武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院 湖北 武漢:430205)

      1 一組優(yōu)美的平均值不等式

      設(shè)ai與t為正數(shù),n為不小于2的自然數(shù),當(dāng)i=1,2,…,n時(shí),記An、Gn與Hn分別為n個(gè)正數(shù)ai的算術(shù)平均值、幾何平均值與調(diào)和平均值,即

      文中構(gòu)建了如下一組3個(gè)結(jié)構(gòu)新穎且形式優(yōu)美的平均值不等式

      (1)

      等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

      時(shí)成立。

      (2)

      等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

      時(shí)成立。

      (3)

      等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

      時(shí)成立。

      實(shí)際上,平均值不等式(1)~(3)也是3個(gè)關(guān)于正數(shù)ai個(gè)數(shù)n的單調(diào)遞增函數(shù)。

      在算術(shù)平均值A(chǔ)n,幾何平均值Gn與調(diào)和平均值Hn之間,還存在大家熟悉的算術(shù)——幾何——調(diào)和平均值不等式[1]

      An≥Gn≥Hn

      (4)

      等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)成立。

      式(1)~式(3)是含參數(shù)t的平均值不等式,而平均值不等式(4)不含參數(shù)t。

      2 證明

      為證明結(jié)構(gòu)新穎且形式優(yōu)美的平均值不等式(1)~(3),先證明如下定理。

      定理:若x與t為正數(shù),則

      (5)

      等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)t=xn-1時(shí)成立。

      證明:設(shè)y與m為正數(shù),作輔助函數(shù)

      R(y)=yn-n·mn-1·y+(n-1)·mn

      由于y與m為正數(shù),

      1)若y=m,則R(y)=0;

      2)若x

      3)若y>m,有y-m>0,且

      以上分析表明,當(dāng)y與m為正數(shù)時(shí),恒有

      R(y)=yn-n·mn-1·y+(n-1)·mn≥0

      在上式中作變換

      可得到定理即式(5),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)y=m即t=xn-1時(shí)成立。定理證畢。

      不等式(1)的證明:令定理中

      注意到

      不等式(2)的證明:令定理中

      注意到

      不等式(3)的證明:令定理中

      注意到

      以及

      an=n·An-(n-1)·An-1

      不等式(4)的證明:取不等式(1)中t=1,可得算術(shù)——幾何平均值不等式:An≥Gn;取不等式(2)中t=1,可得幾何——調(diào)和平均值不等式:Gn≥Hn;綜合這兩個(gè)不等式,可得到算術(shù)——幾何——調(diào)和平均值不等式(4),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)成立。不等式(4)證畢。

      3 應(yīng)用

      例1:記關(guān)于n個(gè)正數(shù)ai的算術(shù)平均值A(chǔ)n,幾何平均值Gn與調(diào)和平均值Hn的均差函數(shù)分別為

      F1(n)=n(An-Gn)

      (6)

      (7)

      F3(n)=n(An-Hn)

      (8)

      則F1(n),F(xiàn)2(n)與F3(n)分別是n的單調(diào)遞增函數(shù)。

      證明:取不等式(1)~(3)中t=1,可分別得到

      F1(n)≥F1(n-1)

      F2(n)≥F2(n-1)

      F3(n)≥F3(n-1)

      故F1(n),F(xiàn)2(n)與F3(n)分別是n的遞增函數(shù)。

      因?yàn)槔?中關(guān)于式(6)為遞增函數(shù)的結(jié)論是Rado不等式[2-6],所以式(7)與式(8)為遞增函數(shù)的結(jié)論可視為Rado不等式的推廣[7]。

      例2:記關(guān)于n個(gè)正數(shù)ai的算術(shù)平均值A(chǔ)n,幾何平均值Gn與調(diào)和平均值Hn的均商函數(shù)分別為

      (9)

      (10)

      (11)

      則f1(n),f2(n)與f3(n)分別是n的單調(diào)遞增函數(shù)。

      證明:1)取不等式(1)中

      整理可得到:f1(n)≥f1(n-1)

      故例2中式(9)是n的單調(diào)遞增函數(shù)。

      2)取不等式(2)中

      整理可得到:f2(n)≥f2(n-1)

      故例2中式(10)是n的單調(diào)遞增函數(shù)。

      3)取不等式(3)中

      整理可得t到:f3(n)≥f3(n-1)

      故例2中式(11)是n的單調(diào)遞增函數(shù)。

      因?yàn)槔?中關(guān)于式(9)為遞增函數(shù)的結(jié)論是Popovic不等式[2-6],所以式(10)與式(11)為遞增函數(shù)的結(jié)論可視為Popovic不等式的推廣[7]。

      例3:設(shè)r為不超過n的正整數(shù),即r=1,…,n時(shí),則

      An≥q1(r)·Gn≥Gn≥q2(r)·Hn≥Hn

      An≥q3(r)·Hn

      (12)

      其中

      (13)

      證明:當(dāng)r為非負(fù)整數(shù)且r=1,…,n時(shí),

      1)因?yàn)槔?中式(9)是單調(diào)遞增函數(shù),有

      由算術(shù)——幾何平均值不等式即不等式(4)的最左項(xiàng)與中間項(xiàng),可知式(12)中第一式的最左項(xiàng)與中間項(xiàng),以及式(13)的q1(r)成立。

      2)因?yàn)槔?中式(10)是單調(diào)遞增函數(shù),有

      由幾何——調(diào)和平均值不等式即不等式(4)中的中間項(xiàng)與最左右項(xiàng),可知式(12)第一式的中間項(xiàng)與最左項(xiàng),以及式(13)的q2(r)成立。

      3)因?yàn)槔?中式(11)是單調(diào)遞增函數(shù),有

      由算術(shù)——幾何——調(diào)和平均值不等式即不等式(4)的最左項(xiàng)與最右項(xiàng),可知式(12)中第二式,以及式(13)的q3(r)成立。

      例3表明,在n個(gè)正數(shù)ai的算術(shù)平均值A(chǔ)n與幾何平均值Gn之間,以及在幾何平均值Gn與調(diào)和平均值Hn之間可分別加細(xì),例3中的q1(r)與q2(r),分別是An與Gn之間,Gn與Hn之間的加細(xì)系數(shù);在An與Hn之間,可用系數(shù)q3(r)進(jìn)行加細(xì)。

      根據(jù)式(6)與式(7)遞增性的證明過程,可得到

      例4:設(shè)r為不超過n的正整數(shù),且r=1,…,n-2時(shí),則

      顯然,例4是算術(shù)——幾何——調(diào)和平均值不等式加細(xì)的又一種形式。

      猜你喜歡
      算術(shù)正數(shù)調(diào)和
      五味調(diào)和醋當(dāng)先
      “正數(shù)和負(fù)數(shù)”檢測題
      從“調(diào)結(jié)”到“調(diào)和”:打造“人和”調(diào)解品牌
      調(diào)和映照的雙Lipschitz性質(zhì)
      算算術(shù)
      學(xué)算術(shù)
      絕對(duì)值的作用
      學(xué)好乘方四注意
      小狗算算術(shù)
      做算術(shù)(外一則)
      讀寫算(中)(2015年12期)2015-11-07 07:25:01
      洪雅县| 琼海市| 富锦市| 许昌县| 安康市| 驻马店市| 辽源市| 古田县| 凤阳县| 青龙| 佛坪县| 葵青区| 噶尔县| 义乌市| 民勤县| 镇雄县| 皮山县| 庆安县| 福安市| 瓮安县| 玉田县| 平利县| 巩留县| 台湾省| 阳泉市| 莎车县| 黄石市| 萍乡市| 巴楚县| 左云县| 那曲县| 衡南县| 衡山县| 衡阳县| 龙陵县| 大田县| 湄潭县| 商洛市| 静乐县| 丹棱县| 龙里县|