邵克勇 蔣盧杰 王婷婷

摘?要：對(duì)于不同維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的投影同步問題，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)滑模控制器。這使得帶有內(nèi)部不確定量和外部擾動(dòng)的驅(qū)動(dòng)，響應(yīng)系統(tǒng)能夠在任意預(yù)設(shè)的時(shí)間完成同步，自適應(yīng)律可以逼近未知量的上界。?并針對(duì)自適應(yīng)滑?？刂破饔捎诟蓴_產(chǎn)生抖振的問題，提出了兩種解決方案。首先是設(shè)計(jì)二維滑?？刂票恚瑢⒛：刂品椒尤牖？刂破鹘M成模糊自適應(yīng)滑?？刂破?。其次是使用“SuperTwisting”控制律，將滑?？刂聘倪M(jìn)為二階滑?？刂啤Ｗ詈笸ㄟ^數(shù)值仿真，可以看到兩種解決方案都有效地削減了控制器的抖振現(xiàn)象，證明了方法有效性和正確性，提高了用于實(shí)際生產(chǎn)的可行性。

關(guān)鍵詞：模糊自適應(yīng)滑?？刂?二階滑?？刂?有限時(shí)間同步;分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng);SuperTwisting算法

中圖分類號(hào)：TP?273???????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Finitetime?Projection?Synchronization?of?Different

Dimensionality?Fractional?Chaos?at?the?Preset?Time

SHAO?Keyong，?JIANG?Lujie，?WANG?Tingting

（School?of?Electrical?Engineering?&?Information，?Northeast?petroleum?University，?Daqing?，Helongjiang?163318，?China）

Abstract：For?the?projective?synchronization?of?fractionalorder?chaotic?systems?with?different?dimensions，?an?adaptive?sliding?mode?controller?is?designed.?The?drive?and?response?system?with?internal?uncertainty?and?external?disturbance?can?be?synchronized?at?any?preset?time，?and?the?adaptive?law?can?approach?the?upper?bound?of?the?unknown.?Two?solutions?are?proposed?for?the?chattering?problem?of?adaptive?sliding?mode?controller?due?to?interference.?The?first?is?to?design?a?twodimensional?sliding?mode?control?table，?and?add?the?fuzzy?control?method?to?the?sliding?mode?controller?to?form?a?fuzzy?adaptive?sliding?mode?controller.?The?second?is?to?use?the?"SuperTwisting"?control?law?to?improve?sliding?mode?control?to?secondorder?sliding?mode?control.Finally，?through?numerical?simulation，?it?can?be?seen?that?the?two?solutions?have?effectively?reduced?the?chattering?phenomenon?of?the?controller，?proved?the?effectiveness?and?correctness?of?the?method，?and?improved?the?feasibility?of?being?used?in?actual?production.

Key?words：fuzzy?adaptive?sliding?mode?control;?secondorder?sliding?mode?control;finite?time?synchronization;?fractionalorder?chaotic?system;?SuperTwisting?algorithm

混沌現(xiàn)象是對(duì)于初值十分敏感的復(fù)雜非線性現(xiàn)象，經(jīng)常出現(xiàn)于自然或人工的系統(tǒng)中。分?jǐn)?shù)階混沌由于擁有分?jǐn)?shù)階運(yùn)算和高度的非線性，呈現(xiàn)出比整數(shù)階混沌更復(fù)雜的行為。這個(gè)特性對(duì)于工程應(yīng)用十分重要，如降低安全通信中被攻擊的風(fēng)險(xiǎn)[1]。近些年，對(duì)于分?jǐn)?shù)階混沌同步的研究受到了廣泛關(guān)注，關(guān)于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)間的各種同步方式及方法被提出[2-8]，但基于不同維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間投影同步的研究還相對(duì)較少。結(jié)合以上的考慮，本文設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑模投影同步的控制方法，在保證了系統(tǒng)魯棒性穩(wěn)定的前提下，還能對(duì)未知可變的內(nèi)外因素進(jìn)行適應(yīng)，使得系統(tǒng)間的同步時(shí)間僅僅依賴于初始條件及參數(shù)，無須考慮未知量的上界。

1?預(yù)備知識(shí)

引理4[12]?如果一個(gè)受控系統(tǒng)有如下形式：

式中x∈R是狀態(tài)變量，φt是干擾量，ut為“SuperTwisting”控制律

其中u1（t）=-λ|x|12sgn（x），2=-αsgn?（x），α>0，λ>0為參數(shù)，sgn?（x）為符號(hào)函數(shù)。若|t|≤δ，t≥0，δ為已知常數(shù)，設(shè)定參數(shù)

則系統(tǒng)可以在有限時(shí)間收斂到原點(diǎn)。

2?不同維分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)預(yù)設(shè)時(shí)間的有限時(shí)間投影同步

2.1?問題描述

考慮不同維的分?jǐn)?shù)階驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)，它們的形式分別如下：

其中α∈0，1是分?jǐn)?shù)階微分的階次，Dα既可以是Caputo型也開始是RL型微分，Y=y1，…，ym∈Rm和X=x1，…，xn∈Rn分別為響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量，gi：Rn→R，i=1，2，…，n是X的非線性函數(shù)，Δg（X，t）=[Δg1（X，t），…，Δgn（X，t）]和dg（t）=[dg1（t），…，dgn（t）]分別是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的內(nèi)部不確定量和外部擾動(dòng)，fi：Rn→R是Y非線性函數(shù)，?Δf（Y，t）=[Δf1（Y，t），…，Δfm（Y，t）]和df（t）=[df1（t），…，dfm（t）]分別是響應(yīng)系統(tǒng)的內(nèi)部不確定量和外部擾動(dòng)。最后u（X，Y，t）=[u1（X，Y，t），…，um（X，Y，t）]為控制信號(hào)。假設(shè)外部干擾和內(nèi)部不確定性是有界可微的。

系統(tǒng)間的誤差表達(dá)式可以寫作Ε（t）=Y（t）-A·X（t），Ε（t）=[e1，…，em]∈Rm，其中A=[a1，…，ai，…，am]∈Rm×n為兩個(gè)系統(tǒng)間投影同步的系數(shù)矩陣，ai為行向量。將式（1）和式（2）代入誤差公式，系統(tǒng)間誤差的分?jǐn)?shù)階微分方程可以表示為：

2.2?控制器設(shè)計(jì)

采用以下滑模面：

其中hit被稱作終端函數(shù)，假設(shè)在控制器的作用下驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在時(shí)間t=T時(shí)達(dá)到同步，T為預(yù)先設(shè)置的時(shí)間參數(shù)。則終端函數(shù)hit應(yīng)當(dāng)滿足在時(shí)刻T時(shí)hi（T）=0，而在初始條件下hi（0）=ei0。于是選擇如下形式終端函數(shù)hit：

定理1?對(duì)于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2），在其內(nèi)部不確定量與外部擾動(dòng)是未知的情況下，設(shè)計(jì)公（7）形式的自適應(yīng)控制器，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)在時(shí)刻T的同步。

證明：將終端函數(shù)hit式（5）代入滑模面的表達(dá)式（4）中，可以得出t=0時(shí)，si（0）=ei（0）-ei（0）=0，即系統(tǒng)一開始便位于滑模面上。滑模面的特性使得誤差ei（t），=hit誤差函數(shù)的軌跡將會(huì)按照終端函數(shù)的軌跡運(yùn)行，而在時(shí)間t=T時(shí)，ei（T）=hiT=0系統(tǒng)達(dá)到同步。可以看到系統(tǒng)同步的時(shí)間取決于終端函數(shù)中參數(shù)T的選擇。這種終端滑模面的設(shè)計(jì)方法省略了到達(dá)階段，增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性和精確性。但當(dāng)出現(xiàn)內(nèi)部不確定與外部擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)偏離滑模面，為了保證系統(tǒng)能在這種條件下返回滑模面，需要對(duì)其收斂性進(jìn)行分析。

當(dāng)系統(tǒng)的內(nèi)部不確定與外部擾動(dòng)上界已知時(shí)，設(shè)計(jì)的lyapunov函數(shù)為：

而對(duì)于未知的上界，需要引入自適應(yīng)律，因此將式（8）?改進(jìn)為

其中i=i=θi，式（9）只有在零點(diǎn)時(shí)為0，而其他情況下大于0。由此可以得出該lyapunov函數(shù)為正定，對(duì)式（9）求導(dǎo)可得

進(jìn)一步地將式（4）代入式（10）展開，根據(jù)引理1可得

根據(jù)引理2，在展開后的式子中，分?jǐn)?shù)階積分算子和分?jǐn)?shù)階微分算子進(jìn)行運(yùn)算可得：

由于擾動(dòng)都是有界且可導(dǎo)的，根據(jù)Hlder空間特性[13]可知，F(xiàn)ui，Gui，DMi，DSi滿足之前提出的不等式，因此：

其中kmin?=min?（k1，k2，…，km），當(dāng)si=0時(shí)t，i=0，導(dǎo)函數(shù)為負(fù)定。上述不等式證明了誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定于滑模面，即相軌跡因?yàn)閿_動(dòng)離開滑模面時(shí)，能夠在控制器的作用下回到穩(wěn)定狀態(tài)。通過引理3式（13）可以變?yōu)?/p>

根據(jù)有限時(shí)間穩(wěn)定性判據(jù)[14]，由以上微分不等式可以推導(dǎo)出系統(tǒng)會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)返回滑模面，其時(shí)間上的界取決于參數(shù)kmin?。

系統(tǒng)回到滑模面上后，s（t）=0，根據(jù)式（4），系統(tǒng)誤差與終端函數(shù)的關(guān)系變?yōu)?=ei（t）-hit，誤差將會(huì)在時(shí)間t=T時(shí)變?yōu)?，從而達(dá)到同步。由此可知，只要設(shè)計(jì)合適的趨近律參數(shù)，使得系統(tǒng)返回滑模面的時(shí)間遠(yuǎn)小于同步時(shí)間T，那么系統(tǒng)就能在發(fā)生微小偏移時(shí)迅速回歸滑模面，實(shí)現(xiàn)在預(yù)設(shè)時(shí)間T達(dá)到同步，證明完畢。

2.3?控制器的改進(jìn)

傳統(tǒng)滑模控制的一個(gè)缺點(diǎn)便是當(dāng)滑模面上出現(xiàn)干擾時(shí)，控制器會(huì)出現(xiàn)劇烈的抖振，這在實(shí)際使用滑模控制器的過程中帶來了巨大的挑戰(zhàn)，抖振不但會(huì)給設(shè)備帶來損害，還會(huì)影響系統(tǒng)的表現(xiàn)。模糊控制是基于專家經(jīng)驗(yàn)所指定的語言規(guī)則的集合，運(yùn)用這些規(guī)則集合可以提供適當(dāng)?shù)哪：刂坡?，將模糊控制運(yùn)用到滑?？刂疲褪撬^的模糊滑?？刂芠10]。

加入模糊控制后，原本控制器中的（ui+|ai·u|+|ai·M|+Si）·sgn?si變?yōu)椋╱i+|ai·u|+|ai·M|+Si）·sfi，sfi是經(jīng)過模糊推理后得出的輸出量。模糊控制表可以由專家經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)得出，為了使得控制器的輸出更加適當(dāng)，調(diào)模糊控制選擇兩個(gè)輸入量，這樣可以從輸入量中獲得更多的信息從而防止控制器輸出過大出現(xiàn)超調(diào)，進(jìn)而減小或消除控制器中的抖振，選擇的兩個(gè)輸入量是滑模面與滑模面的導(dǎo)數(shù)。圖1為輸入量與輸出量的隸屬度函數(shù)。輸入量根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的直方圖與呈現(xiàn)出的正態(tài)分布曲線選擇了高斯函數(shù)。輸出量需要精確數(shù)值，因此選擇了三角形函數(shù)。

將輸出量劃分為七個(gè)范圍，分別是負(fù)大（negative?big，NB）、負(fù)中（negative?middle，NM）、負(fù)?。╪egative?small，NS）、零（zero，ZE）、正小（positive?small）、正中（positive?middle，PM）、正大（positive?big，PB），而兩個(gè)輸入量被劃分為五個(gè)范圍，?分別是NB、NS、ZE、PS、PB。?表1為模糊自適應(yīng)滑?？刂埔?guī)則表。

模糊控制的引入雖然可以減小抖振的影響，但作為額外的結(jié)構(gòu)，給控制器的設(shè)計(jì)增添了復(fù)雜度。接下來結(jié)合二階滑模理論中的SuperTwisting算法，對(duì)控制器進(jìn)行改進(jìn)。

定理?2?對(duì)于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2），其內(nèi)部不確定量與外部擾動(dòng)是未知的，Dα?選為Caputo型，設(shè)計(jì)如下的自適應(yīng)控制器，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)在時(shí)刻T的同步

證明：與定理1采用相同的終端函數(shù)，系統(tǒng)在初始時(shí)間便位于滑模面上，因此為了保證系統(tǒng)能在預(yù)設(shè)時(shí)間達(dá)到同步，需要系統(tǒng)在偏離滑模面后在有限時(shí)間內(nèi)返回。將控制器（15）帶入滑模面動(dòng)態(tài)系統(tǒng)公式（4）展開并求導(dǎo)，可以得到

根據(jù)2.2節(jié)中對(duì)內(nèi)部不確定和外部擾動(dòng)的假設(shè)，將Δfi（Y，t）-ai·Δg（X，t）+dfi（t）-ai·dg（t）記為φ（X，Y，t），則|（X，Y，t）|≤δ，δ屬于已知常數(shù)，所以可得

根據(jù)引理4，受控系統(tǒng)si在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)達(dá)到滑模面，即s（t）=0。系統(tǒng)到達(dá)滑模面后，系統(tǒng)的誤差就會(huì)跟隨終端函數(shù)hit的軌跡，在時(shí)間t=T時(shí)達(dá)到同步。而趨近律保證了系統(tǒng)偏離滑模面時(shí)能夠在有限時(shí)間內(nèi)回到滑模面。由此可知，保證在預(yù)設(shè)時(shí)間達(dá)到同步的前提是返回滑模面的時(shí)間足夠短，而返回時(shí)間的長(zhǎng)短可以由參數(shù)來設(shè)定，證明完畢。

針對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的投影同步問題，通過帶有分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)形式的滑模控制器，將整數(shù)階領(lǐng)域的二階滑模控制方法應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)上，對(duì)整數(shù)階二階滑?？刂频膽?yīng)用進(jìn)行了擴(kuò)展。

3?數(shù)值仿真

選擇擁有內(nèi)部未知量與外部擾動(dòng)的四維分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)和三維分?jǐn)?shù)階chen混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)。首先使用自適應(yīng)滑?？刂破?，設(shè)置同步時(shí)間T?分別為0.5和1，各個(gè)維度的誤差相軌跡如圖2所示，系統(tǒng)的在設(shè)定的時(shí)間點(diǎn)誤差收斂到零達(dá)到了同步，證明了控制器的有效性。

圖3為時(shí)間參數(shù)T=1時(shí)自適應(yīng)滑?？刂破鞯妮敵觯梢钥闯鲇忻黠@的抖振，為了解決這個(gè)問題，緊接著分別采用了模糊自適應(yīng)滑?？刂破髋c二階滑?？刂破?，對(duì)驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)進(jìn)行同步實(shí)驗(yàn)，時(shí)間設(shè)置為T=1，圖4為使用兩種改進(jìn)后的控制器的誤差相軌跡圖，可以看到在規(guī)定時(shí)間達(dá)到同步。

圖5和圖6顯示了控制器u1的輸出，可以看到在保證了在有限時(shí)間同步的同時(shí)，運(yùn)用模糊控制與SuperTwisting控制律的滑?？刂破鬏敵銮€光滑連續(xù)，使得滑?？刂破饔行У叵艘?yàn)橥饨鐢_動(dòng)帶來的抖振。表2在中展現(xiàn)了三種控制器的各項(xiàng)性能，可以看到與自適應(yīng)滑模控制器相比，模糊自適應(yīng)滑?？刂破髟谄骄諗繒r(shí)間、最大輸出和平均輸出三項(xiàng)上的表現(xiàn)更優(yōu)，而穩(wěn)態(tài)最大誤差的表現(xiàn)略差;二階滑模控制器的各項(xiàng)性能均優(yōu)于普通的自適應(yīng)滑?？刂破?對(duì)比兩種改進(jìn)的控制方法，自適應(yīng)滑?？刂破髟谧畲筝敵龅男阅苌细邇?yōu)勢(shì)，二階滑模控制器的穩(wěn)態(tài)最大誤差和平均輸出的性能則高于滑模自適應(yīng)滑?？刂破?，而平均收斂時(shí)間的表現(xiàn)兩者相同。

4?結(jié)?論

結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分性質(zhì)、自適應(yīng)控制與有限時(shí)間穩(wěn)定性分析、滑?？刂破鞯戎R(shí)，成功設(shè)計(jì)了不同維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)間的同步控制器，可以在預(yù)設(shè)時(shí)間到達(dá)有限時(shí)間投影同步?？刂破髦械淖赃m應(yīng)律能夠逼近內(nèi)部不確定性和外部擾動(dòng)范圍的上界，使得同步時(shí)間不再依賴對(duì)干擾的估計(jì)。同時(shí)針對(duì)滑?？刂破魅菀桩a(chǎn)生抖振的情況，從增加控制結(jié)構(gòu)和改善滑?？刂谱陨韮煞矫嫒胧郑菏紫龋鶕?jù)實(shí)際情況統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、選擇隸屬度函數(shù)、設(shè)計(jì)二維模糊控制規(guī)則，將設(shè)計(jì)好的模糊控制與自適應(yīng)滑模控制結(jié)合，提出了模糊自適應(yīng)滑?？刂疲梢愿鶕?jù)具體系統(tǒng)的表現(xiàn)設(shè)計(jì)模糊規(guī)則;其次，以自適應(yīng)滑?？刂破鳛榛A(chǔ)，將整數(shù)階的SuperTwisting控制律運(yùn)用到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)上，使控制器擴(kuò)展為分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的二階滑模控制，由于沒有增加額外結(jié)構(gòu)使得控制器的實(shí)現(xiàn)更加簡(jiǎn)單。兩種方法無論是從抖振幅度還是抖振頻率都對(duì)滑?？刂七M(jìn)行了削減，并通過仿真對(duì)各自性能的優(yōu)劣進(jìn)行了分析。

參考文獻(xiàn)

[1]?KIANIB?A，?FALLAHI?K，?PARIZ?N，?et?al.?A?chaotic?secure?communication?scheme?using?fractional?chaotic?systems?based?on?an?extended?fractional?Kalman?filter?[J].?Communications?in?Nonlinear?Science?and?Numerical?Simulation，?2009，?14（3）：?863-879.

[2]?KHANZADEH?A，?POURGHOLI?M.?A?novel?continuous?timevarying?sliding?mode?controller?for?robustly?synchronizing?nonidentical?fractionalorder?chaotic?systems?precisely?at?any?arbitrary?prespecified?time?[J].?Nonlinear?Dynamics，?2016，?86（1）：?543-58.

[3]?SHIRKAVAND?M，?POURGHOLI?M.?Robust?fixedtime?synchronization?of?fractional?order?chaotic?using?free?chattering?nonsingular?adaptive?fractional?sliding?mode?controller?design?[J].?Chaos，?Solitons?&?Fractals，?2018，?113：135-47.

[4]?MOFID?O，?MOBAYEN?S.?Adaptive?synchronization?of?fractionalorder?quadratic?chaotic?flows?with?nonhyperbolic?equilibrium?[J].?Journal?of?Vibration?and?Control，?2018，?24（21）：?4971-4987.

[5]?MOHAMMADZADEH?A，?GHAEMI?S.?A?modified?sliding?mode?approach?for?synchronization?of?fractionalorder?chaotic/hyperchaotic?systems?by?using?new?selfstructuring?hierarchical?type2?fuzzy?neural?network?[J].?Neurocomputing，?2016，?191：200-213.

[6]?GAO?Like，WANG?Zhihui，ZHU?Wenji，?et?al.?Modified?sliding?mode?synchronization?of?typical?threedimensional?fractionalorder?chaotic?systems?[J].?Neurocomputing，?2015，?166：53-58.

[7]?ZHANG?Xingpeng，?ZHANG?Xiaohong，?LI?Dong，?et?al.?Adaptive?synchronization?for?a?class?of?fractional?order?timedelay?uncertain?chaotic?systems?via?fuzzy?fractional?order?neural?network?[J].?International?Journal?of?Control，?Automation?and?Systems，?2019，?17（5）：?1209-1220.

[8]?BEHINFARAZ?R，?BADAMCHIZADEH?M?A，?GHIASI?A?R.?An?approach?to?achieve?modified?projective?synchronization?between?different?types?of?fractionalorder?chaotic?systems?with?timevarying?delays?[J].?Chaos，?Solitons?&?Fractals，?2015，?78：95-106.

[9]?AGHABABA?M?P，?KHANMOHAMMADI?S，?ALIZADEH?G.?Finitetime?synchronization?of?two?different?chaotic?systems?with?unknown?parameters?via?sliding?mode?technique?[J].?Applied?Mathematical?Modelling，?2011，?35（6）：?3080-3091.

[10]LI?Chenkuan，?LI?Changpin.?Remarks?on?fractional?derivatives?of?distributions?[J].?Tbilisi?Mathematical?Journal，?2017，?10（1）：?1-18.

[11]POLYA?G，?HARDY?G?H，?LITTLEWOOD.?Inequalities?[M].Cambridge：Cambridge?University?Press，?1952.

[12]李鵬，?鄭志強(qiáng).?基于類二次型?Lyapunov?函數(shù)的?Supertwisting?算法收斂性分析?[J].?控制與決策，?2011，?26（6）：?949-952.

[13]MUOZVZQUEZ?A?J，?PARRAVEGA?V，?SNCHEZORTA?A?.?Uniformly?continuous?differintegral?sliding?mode?control?of?nonlinear?systems?subject?to?Hlder?disturbances?[J].?Automatica，?2016，?66：179-184.

[14]TANG?Yu.?Terminal?sliding?mode?control?for?rigid?robots?[J].Automatica，?1998，?34（1）：?51-56.