復(fù)數(shù)問(wèn)題常見典型考題賞析

■姜傳偉

復(fù)數(shù)是高中代數(shù)的重要內(nèi)容,是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn),也是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)。雖然復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中所占的比例不是很大,但我們還是要學(xué)好高考?？嫉拿恳粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)。下面就復(fù)數(shù)問(wèn)題的常見典型考題舉例分析,供同學(xué)們學(xué)習(xí)與提高。

題型一：復(fù)數(shù)的概念

要確定一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部,需要把復(fù)數(shù)化為a+bi的形式,還要注意這里a,b均為實(shí)數(shù)。解答復(fù)數(shù)的概念題,一定要緊扣復(fù)數(shù)的定義,牢記i的性質(zhì)。

例1 現(xiàn)有下列四個(gè)命題:①若a∈R,則(a+1)i是純虛數(shù);②若a,b∈R,且a＞b,則a+i＞b+i;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x=±2;④實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集。

其中正確命題的序號(hào)是_____。

解：對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R),當(dāng)a=0且b≠0時(shí),a+bi為純虛數(shù)。對(duì)于①,若a=-1,則(a+1)i=0,不是純虛數(shù),①錯(cuò)誤。兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小,②錯(cuò)誤。對(duì)于③,若x=-2,則x2-4=0,x2+3x+2=0,此時(shí)(x2-4)+(x2+3x+2)i=0不是純虛數(shù),③錯(cuò)誤。顯然④正確。答案為④。

跟蹤訓(xùn)練1：對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R),

下列說(shuō)法正確的是( )。

A.若a=0,則a+bi為純虛數(shù)

B.若a+(b-1)i=3-2i,則a=3,b=-2

C.若b=0,則a+bi為實(shí)數(shù)

D.(-i)2=1

提示：對(duì)于A,當(dāng)a=0時(shí),a+bi也可能為實(shí)數(shù)。對(duì)于B,由a+(b-1)i=3-2i,可得a=3,b=-1。對(duì)于D,(-i)2=-1。應(yīng)選C。

題型二：復(fù)數(shù)的分類

對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),z為實(shí)數(shù)?b=0,z為虛數(shù)?b≠0,z為純虛數(shù)?a=0且b≠0。

例2 若復(fù)數(shù)a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是純虛數(shù),則( )。

A.a=-1 B.a≠-1且a≠2

C.a≠-1 D.a≠2

解：若復(fù)數(shù)a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)為純虛數(shù),則a2-a-2=0 且|a-1|-1≠0,解得a=-1。所以當(dāng)復(fù)數(shù)a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是純虛數(shù)時(shí),a≠-1。應(yīng)選C。

跟蹤訓(xùn)練2：已知復(fù)數(shù)z=lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i。

(1)問(wèn)當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí),z為純虛數(shù)。

(2)問(wèn)當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí),z為實(shí)數(shù)。

題型四：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系

在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)的實(shí)部就是其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo),復(fù)數(shù)的虛部就是其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)。已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)滿足的條件求參數(shù)的值(或取值范圍)時(shí),可根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,找到復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件,通過(guò)解方程或解不等式求得參數(shù)的值(或取值范圍)。