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      具有慣性項(xiàng)的Cahn-Hilliard方程的拉回吸引子

      2022-04-15 07:48:34姜金平張曉雨王小霞
      關(guān)鍵詞:內(nèi)積方程解慣性

      姜金平, 張曉雨, 王小霞

      (延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)

      0 引 言

      拉回吸引子是把相空間中過(guò)去時(shí)刻的有界集映射為當(dāng)前時(shí)刻的緊集,此后反應(yīng)擴(kuò)散方程的拉回吸引子被廣泛研究。20世紀(jì)90年代,Crauel等[1]研究隨機(jī)系統(tǒng)的漸近行為時(shí),提出了拉回吸引子的概念。王芳平等[2]使用收縮函數(shù)的方法得到了帶時(shí)滯非經(jīng)典擴(kuò)散方程依賴于時(shí)間的拉回吸引子。Peng等[3]對(duì)在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下,利用能量估計(jì)方法,證明了相關(guān)過(guò)程的最小拉回吸引子。史苑等[4]在求得弱解的適定性后,進(jìn)而得到了具有慣性項(xiàng)和強(qiáng)阻尼的Cahn-hilliard方程的整體吸引子。Riccardo等[5-7]估計(jì)了具有慣性項(xiàng)的黏性Cahn-Hilliard方程解。杜小芳等[8-10]應(yīng)用算子分解得到了反應(yīng)擴(kuò)散方程的全局吸引子。Anh等[11]應(yīng)用漸近估計(jì)得到了當(dāng)非線性項(xiàng)f分別滿足臨界和多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件時(shí),帶時(shí)滯的非經(jīng)典擴(kuò)散方程拉回吸引子的存在性。蘇小虎等[12-14]研究了含與時(shí)間t有關(guān)的函數(shù)時(shí)梁方程吸引子的存在性。Maurizio[15]對(duì)具有慣性項(xiàng)的Cahn-hilliard方程的全局吸引子及指數(shù)吸引子進(jìn)行了研究,但對(duì)該方程拉回吸引子的研究比較少。筆者運(yùn)用收縮函數(shù)的方法,結(jié)合文獻(xiàn)[11]的研究,證明具有慣性項(xiàng)的Cahn-hilliard方程的拉回吸引子的存在性。

      1 具有慣性項(xiàng)的Cahn-hilliard方程

      具有慣性項(xiàng)的Cahn-hilliard方程為

      (1)

      有界區(qū)域Ω?N,N≤3且具有光滑邊界,慣性項(xiàng)系數(shù)ε∈(0,1[,g=g(x)∈H,函數(shù)f滿足:

      (Ⅰ)f∈C3(;

      (Ⅱ)?λ≥0,δ≥0,f′(r)≥-λ+δ|r|p+2,

      ?r∈;

      (Ⅲ)?M≥0,|f?(r)|≤M(1+|r|p),

      ?r∈,p≥0;

      其中,λ1>0是A=-Δ的第一個(gè)特征值,若用F表示f的勢(shì),可假設(shè)

      2 預(yù)備知識(shí)

      定義Hilbert空間族H2s=D(As),s∈R,內(nèi)積記為(As,As),易知當(dāng)s1>s2時(shí),Hs1?Hs2是稠密且緊的, 在Hilbert空間中

      在下面的過(guò)程中,將U表示(u,ut),U0表示(u0,u1),為了方便,通常記為u或U,而不是(u,ut)。

      定義1[15]對(duì)于方程(1)的正則性,引入其能量形式:

      (2)

      (3)

      定義2[4]若u(x,t)是方程(1)的解,則有

      (Δf(u),φ)=(g,φ)。

      εutt+ut+Δ2-Δf(u)=g(x),

      (4)

      由式(4)得utt∈H-1(0,τ,L2(Ω)),Δ2u∈H-1(0,τ,L2(Ω)),τ∈[0,T)。

      3 解的適定性

      定理1當(dāng)條件(Ⅰ)~(Ⅲ)成立,g∈H,(u0,u1)∈χ0,則方程(1)存在唯一的解u。

      3.1 存在性的證明

      令v=ut,則可得:

      (5)

      且V0=(v0,v1),V=(v,vt)。

      設(shè)P是任意單調(diào)函數(shù),使

      ‖U(t)‖0≤P(‖U0‖0)e-kt+P(‖g‖V′),

      (6)

      且f(0)=0,則

      ‖V0‖0≤P(‖U0‖2)。

      運(yùn)用A-1(vt+μv)與式(5)做內(nèi)積,得:

      (f′(u)v,vt)+μ(f′(u)v,v)=0。

      (7)

      經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變換可得:

      (8)

      選依賴于λ和μ的L>0,c>0,由插值不等式可得:

      其中,c為式(6)右邊的部分。

      由條件(Ⅱ)和插值不等式可得:

      因此,存在σ>0,使

      (9)

      由式(8),對(duì)足夠小的μ,存在與初值無(wú)關(guān)的k>0,可將式(7)變?yōu)?/p>

      (10)

      使用條件(Ⅰ)~(Ⅲ)和嵌入定理,可得非線性項(xiàng)與Au的內(nèi)積

      (Af(u),Au)=(f′(u)?u,?Δu)≤

      因此,當(dāng)δ足夠小,有

      (11)

      由文獻(xiàn)[10]的引理2可知,對(duì)R>0,d∈D(A),有

      cΩ‖d‖D(A)(1+R)-1,

      (12)

      (13)

      由條件(Ⅲ)和式(12)可得:

      通過(guò)式(9)和式(11),估計(jì)式(10),可得:

      (14)

      選擇合適的c使E+c替代式(14)中的E,式(14)可記為

      由常微分定理和式(13)可知,存在一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)ρ,使

      ‖u‖+‖ut‖+‖utt‖≤ρ(‖U0‖2,‖g‖V′,t)。

      3.2 唯一性的證明

      設(shè)u,v是方程(1)的兩個(gè)解,令ω=u-v,有ω∈C([0,T);H2(Ω))∩C′([0,T);L2(Ω))和

      (15)

      由定義2可得:

      (16)

      將A-1φt與式(16)作內(nèi)積,并在(0,t)×Ω上積分,可得:

      由條件(Ⅰ), (Ⅱ)可得

      (17)

      對(duì)任意s∈[0,T),應(yīng)用估計(jì)

      式(17)即為

      由Gronwall引理可得:

      φt(t)=0,?t∈[0,T),

      4 拉回吸引子的存在性

      定義3[13]在空間中定義一個(gè)非自治動(dòng)力系統(tǒng),令Q=,θτt=τ+t,?τ,t∈R,并且定義θ的拉回共圈φ(t,τ,U0)=U(t+τ,τ,y0)={u(t,τ),ut(t+τ)},其中,由方程解的存在性可知:

      φ(t+s,τ,U0)=φ(t,s+τ,φ(s,τ,U0)),

      證明方程(1)與A-1ut做內(nèi)積,可得:

      (18)

      式(1)與A-1αu做內(nèi)積,可得:

      α(f(u),u)-α(g,A-1u)=0。

      (19)

      式(18)與式(19)相加得:

      α(f(u),u)-α(g,A-1u)=0,

      (20)

      由式(2)可知,式(18)可記為

      由條件(Ⅰ)、(Ⅱ)可知:

      (21)

      ki,i=1,2,…,為僅依賴于λ和λ1的常數(shù),由于條件(Ⅰ),k2可以足夠小,使條件(Ⅱ)中δ=0的情況成立;Ci,i=1,2,…,為依賴于ε的大于0的常數(shù)。

      (f(u),u)-(g,A-1u)。

      (22)

      將式(21)、(22)代入式(20),可得:

      (23)

      由式(3)可知,若C2足夠大,有

      (24)

      取C3=min{k4,δ},C4=max{k7,C2},則式(13)可記為

      (25)

      由式(23)可得:

      (26)

      式中,C5=C1+C2。

      對(duì)式(26)在t-τ到t上積分得:

      (27)

      結(jié)合式(25)、(27)整理得:

      故存在拉回吸收集。

      定義4[15]對(duì)?m∈N,m≥1,σ>0,存在Cm>0,n>0且依賴于σ和t,使

      證明由于W滿足方程(1),則

      (28)

      將A-1(Wt+βW)與式(28)做內(nèi)積,可得:

      (29)

      由條件(Ⅱ),使用插值不等式和Young不等式,有

      式中,C6~C8依賴于W。

      由條件(Ⅱ),令L>C8λ3,則

      取β依賴于ε和L,且足夠小,則有

      式中,C1>1。

      由式(29)可得:

      其中,k>0,由定義3可知,對(duì)足夠小的σ和T,

      (30)

      對(duì)式(30)使用Gronwall不等式,則有

      定理4Ω∈N,N≤3,且具有光滑邊界?Ω,方程(1)中的非自治項(xiàng)g∈H,非線性函數(shù)f(u)滿足條件(Ⅰ)~(Ⅲ),由定理2和定理3驗(yàn)證了方程解集族的拉回漸近緊,從而得到具有慣性項(xiàng)的Cahn-Hilliard方程拉回吸引子的存在性。

      5 結(jié) 論

      (1) 將Faedo-Galerkin法應(yīng)用到了求解具有慣性項(xiàng)的Cahn-Hilliard方程能量解的存在性和唯一性問(wèn)題上,拓展了該方程求解的方法,為求解能量解提供了新的思路。

      (2) 在研究具有慣性項(xiàng)Cahn-Hilliard方程的全局吸引子和指數(shù)吸引子的基礎(chǔ)上,采用壓縮函數(shù)的方法研究了N≤3時(shí)方程的拉回吸引子,完善了具有慣性項(xiàng)的Cahn-Hilliard方程吸引子問(wèn)題,為研究該方程更高維度的吸引子提供了理論基礎(chǔ)。

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