軌道角動(dòng)量光束中的經(jīng)典光關(guān)聯(lián)及其應(yīng)用研究

孫亦凡,陳天,張卓,孔令軍,張向東

(北京理工大學(xué)物理學(xué)院,北京 100081)

0 引言

在過(guò)去三十年間,科研工作者在量子信息科學(xué)領(lǐng)域取得了一系列重要進(jìn)展,極大地拓展了人們對(duì)于信息編碼和處理方式、傳遞途徑、以及加密手段等研究課題的認(rèn)識(shí)。概括地說(shuō),這些進(jìn)展可以分為三個(gè)大類:1)以Shor算法及Grover算法等為代表的、優(yōu)于現(xiàn)階段已知的所有傳統(tǒng)算法的信息處理過(guò)程,也即量子計(jì)算方案;2)以量子秘鑰分發(fā)(QKD)方案為代表的、無(wú)法被現(xiàn)有的信息盜竊方法破壞的加密通訊過(guò)程,也即量子保密通訊方案;3)以雙光子量子成像方案為代表的、突破經(jīng)典測(cè)量精度極限的探測(cè)過(guò)程,也即量子精密測(cè)量方案。這些方案與20世紀(jì)上半葉形成的傳統(tǒng)信息理論不同,它們以受量子理論約束的物態(tài)作為信息表示的出發(fā)點(diǎn),以物態(tài)調(diào)控的手段作為信息處理的方式,實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)信息理論框架下難以完成的突破。例如,Shor[1]提出的質(zhì)因子分解算法可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解大數(shù)質(zhì)因子分解問(wèn)題,該算法相對(duì)于傳統(tǒng)已知最快的質(zhì)因子分解算法存在指數(shù)加速效果,這樣的特征實(shí)際上嚴(yán)重地威脅到了當(dāng)前的加密安全性;Bennett和Ekert等[2-4]提出的量子通訊協(xié)議能夠十分有效地對(duì)“竊聽”行為進(jìn)行偵測(cè),規(guī)避了信息在不知情的情況下泄漏的風(fēng)險(xiǎn),從而大大提高了通信過(guò)程的安全性。

量子信息優(yōu)勢(shì)的根源在于量子態(tài)觀測(cè)結(jié)果之間特殊的關(guān)聯(lián)關(guān)系。這些特殊的關(guān)聯(lián)關(guān)系自量子力學(xué)理論誕生初期就被人們關(guān)注,圍繞它們的討論一直持續(xù)到今日。其中貫穿始終的是由Einstein等[5]開啟的關(guān)于糾纏態(tài)的討論。最初人們普遍認(rèn)為,糾纏態(tài)是量子系統(tǒng)所獨(dú)有的狀態(tài),并用可以區(qū)分糾纏態(tài)和非糾纏態(tài)的Bell不等式以及相關(guān)的判據(jù)作為區(qū)分經(jīng)典系統(tǒng)和量子系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)。然而,近些年的一系列研究表明,對(duì)一些經(jīng)典光學(xué)系統(tǒng)中的狀態(tài)運(yùn)用這些判據(jù)也可以得到與量子糾纏態(tài)類似的結(jié)果。例如,Spreeuw[6,7]指出了經(jīng)典光的一些描述方法與量子態(tài)的數(shù)學(xué)形式之間存在良好的對(duì)應(yīng),并利用此性質(zhì)進(jìn)行量子信息過(guò)程的模擬。在該方案中,他提出了經(jīng)典系統(tǒng)中與qubit對(duì)應(yīng)的概念,將其記作cebit。除此之外,Kagalwala等[8]在研究光學(xué)相干性的時(shí)候也指出,當(dāng)涉及不同種類自由度的相干性時(shí),Bell型的測(cè)量也可以提供一個(gè)良好的相干性標(biāo)定方式。從量子信息理論的角度來(lái)看,這樣的研究結(jié)果說(shuō)明量子信息中的優(yōu)勢(shì)原則上也可以通過(guò)上述經(jīng)典光學(xué)系統(tǒng)展示出來(lái)。這意味著想要實(shí)現(xiàn)那些突破傳統(tǒng)限制的信息過(guò)程,可能并不需要依賴脆弱的量子狀態(tài)。事實(shí)上,人們沿著該思路也開展了大量的研究工作,并取得了一些重要的研究成果,本文將對(duì)相關(guān)結(jié)果進(jìn)行介紹。

具體而言,本文集中展示了基于具有軌道角動(dòng)量的光束的經(jīng)典光關(guān)聯(lián)過(guò)程,以及其在量子模擬、量子計(jì)算、以及量子探測(cè)方面的應(yīng)用。實(shí)現(xiàn)一個(gè)信息過(guò)程的基礎(chǔ)是恰當(dāng)?shù)剡x擇能夠?qū)π畔⑦M(jìn)行有效表示的物理自由度。事實(shí)上,光學(xué)角動(dòng)量自由度在這一點(diǎn)上具有天然的優(yōu)勢(shì)。一個(gè)具有軌道角動(dòng)量的光束,其軌道角動(dòng)量狀態(tài)原則上可以構(gòu)成一組無(wú)窮維的線性正交基,因此其可以實(shí)現(xiàn)高維的信息編碼。這為提升通信過(guò)程的信道容量[9]、優(yōu)化信息處理方案[10,11]等提供了新的思路。將這樣的特性與上述經(jīng)典光學(xué)系統(tǒng)中的糾纏狀態(tài)相結(jié)合,就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)基于高維量子態(tài)的信息過(guò)程的有效模擬。

本文第1部分介紹了由軌道角動(dòng)量狀態(tài)和其他光學(xué)自由度構(gòu)成的局域不可分離狀態(tài),并在第2部分總結(jié)了其在量子信息過(guò)程中的應(yīng)用;第3部分介紹了空間可分的軌道角動(dòng)量關(guān)聯(lián)光束及其相關(guān)應(yīng)用;第4部分介紹了基于軌道角動(dòng)量光的隨機(jī)行走,并討論了此過(guò)程中展示的拓?fù)湮锢?最后進(jìn)行了總結(jié)。

1 軌道角動(dòng)量光束中的局域不可分離性

同一光束中不同自由度之間的與糾纏態(tài)相對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)關(guān)系,被稱為局域不可分離性。這種不可分離性在早期被稱為局域糾纏態(tài),或非量子糾纏[6-8,12]。2015年,Karimi和Boyd[13]建議將上述經(jīng)典狀態(tài)的不可分離性在表述上與量子糾纏進(jìn)行區(qū)分。他們強(qiáng)調(diào),“糾纏”是在描述量子狀態(tài)性質(zhì)時(shí)所使用的術(shù)語(yǔ),不應(yīng)該與經(jīng)典光學(xué)現(xiàn)象相混淆。因此,下文將這種狀態(tài)稱為不可分離態(tài)。

最早對(duì)經(jīng)典不可分離態(tài)進(jìn)行分析的研究之一是由Spreeuw[7]給出的。1998年,他以光束的偏振和路徑狀態(tài)為例,指出經(jīng)典光場(chǎng)可以在表述形式上與量子糾纏態(tài)之間形成良好的對(duì)應(yīng)關(guān)系。后來(lái),Qian和Eberly[14]指出,對(duì)于更一般的偏振光場(chǎng)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系仍然存在,并且也通過(guò)Bell測(cè)量進(jìn)行討論。他們發(fā)現(xiàn):在恰當(dāng)定義測(cè)量的前提條件下,經(jīng)典光也可以給出違反Bell不等式的“關(guān)聯(lián)關(guān)系”。2013年,Kagalwala等[8]利用這種經(jīng)典光的Bell測(cè)量討論了涉及兩種光學(xué)自由度時(shí)的相干性。通過(guò)Bell測(cè)量,他們對(duì)經(jīng)典可分離光學(xué)自由度的相干矩陣所無(wú)法描述的狀態(tài)進(jìn)行了度量,發(fā)展了光學(xué)相干理論。

事實(shí)上,上述對(duì)不可分離狀態(tài)的研究結(jié)果給出了一種模擬量子信息過(guò)程的方法。這樣的模擬具備非常重要的特征,即量子信息過(guò)程在資源或者效率上的優(yōu)勢(shì)有希望被相對(duì)穩(wěn)定且容易控制的經(jīng)典光系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。原本在量子信息過(guò)程實(shí)現(xiàn)之前,人們需要先解決如何大幅提高量子系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題?，F(xiàn)在,利用經(jīng)典光學(xué)過(guò)程對(duì)量子信息過(guò)程進(jìn)行模擬,人們可以很好地降低在維持系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的投入。最早指出光學(xué)局域不可分離狀態(tài)可以用于量子計(jì)算的同樣是Spreeuw[6],他定義了經(jīng)典光學(xué)狀態(tài)中與qubit相對(duì)應(yīng)的狀態(tài),將其命名為cebit,并給出了一些簡(jiǎn)單的量子操作的對(duì)應(yīng)關(guān)系,如CNOT門、Toffoli門的對(duì)應(yīng)關(guān)系,以及量子糾錯(cuò)碼中針對(duì)比特翻轉(zhuǎn)問(wèn)題的線路的實(shí)現(xiàn)等。這樣的模擬在實(shí)驗(yàn)上確實(shí)較容易實(shí)現(xiàn),但存在理論上的實(shí)現(xiàn)資源發(fā)散問(wèn)題。隨后,人們通過(guò)各種方法去豐富完善局域不可分離態(tài)的量子模擬方案,其中很重要的一種是引入高維的軌道角動(dòng)量自由度。

作為量子模擬的基礎(chǔ)之一,一個(gè)重要的問(wèn)題是驗(yàn)證軌道角動(dòng)量自由度可以用于構(gòu)造局域不可分離態(tài),并通過(guò)Bell測(cè)量來(lái)標(biāo)定其“糾纏性”。一系列重要的工作完成于2000年之后,其中一部分整理羅列在表1中,有助于讀者了解相關(guān)研究的進(jìn)展脈絡(luò)。Souza等[15]在早期關(guān)于光場(chǎng)拓?fù)湎辔坏难芯恐?構(gòu)造出了偏振自由度與軌道角動(dòng)量不可分離的光學(xué)模式。這種經(jīng)典光學(xué)模式中的一類特殊狀態(tài)-一階Hermitian-Gaussian模式與偏振狀態(tài),由Borges等[16]在2010年利用Bell不等式研究了其不可分離性,并得到了對(duì)不等式最大違背值2.1(大于經(jīng)典極限2)。2015年,Song等[17]給出了基于整數(shù)軌道角動(dòng)量光場(chǎng)與偏振不可分離模式的不可分離態(tài)的構(gòu)造與驗(yàn)證。這樣的狀態(tài)可以用Spreeuw[6]的cebit記號(hào)寫為

表 1 光的自旋(偏振)和軌道角動(dòng)量不可分離狀態(tài)研究簡(jiǎn)表Table 1 A brief review of the researches on the optical spin(polarization)and orbital angular moment non-separable states

與之前的工作類似,這樣一個(gè)狀態(tài)可以定義“關(guān)聯(lián)測(cè)量”,即在經(jīng)過(guò)偏振投影的情況下對(duì)光束的角動(dòng)量狀態(tài)進(jìn)行分析。在此基礎(chǔ)上,Song等對(duì)上述狀態(tài)進(jìn)行了Clauser-Horne-Shimony-Holt(CHSH)型Bell測(cè)量。在l=±1時(shí),實(shí)驗(yàn)裝置與結(jié)果如圖1所示。其中圖1(a)為實(shí)驗(yàn)裝置示意圖;圖1(b)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖,實(shí)線和圓點(diǎn)分別為理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果,虛線標(biāo)記的是出現(xiàn)最大違背CHSH型Bell不等式的地方。

圖1 (a)l=±1時(shí)不可分離態(tài)CHSH不等式驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)裝置及(b)關(guān)聯(lián)函數(shù)曲線[17]Fig.1 (a)The experimental setup for observing the violation of CHSH inequality based on the non-separable states when l=±1 and(b)the correlations[17]

另外,Song等[17]還考慮了l=±2的情況,并用另一種實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行了CHSH型Bell測(cè)量的實(shí)驗(yàn),如圖2(a)所示。這種方法主要利用光學(xué)偏振自由度和軌道角動(dòng)量之間天然的“相互作用”實(shí)現(xiàn)對(duì)角動(dòng)量狀態(tài)的調(diào)制,并通過(guò)干涉儀完成對(duì)狀態(tài)的測(cè)量[17],實(shí)驗(yàn)結(jié)果展示在圖2(b)。取φ′=±π/8,θ′=0,-π/4,此時(shí)的最大Bell違背值B=2.101±0.028。與l=±1方法的結(jié)果對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)圖2所示方法對(duì)Bell不等式的違背情況出現(xiàn)了“減弱”,這是實(shí)驗(yàn)操作的精度不足所致。并且,在對(duì)狀態(tài)(1)的研究中,這種對(duì)精度的要求會(huì)隨著l的增加而提高。但是,CHSH型Bell不等式違背的情況最終還是可以確認(rèn)的。

圖2 (a)|l|=2(同樣適用于|l|>2的情形)時(shí)不可分離態(tài)CHSH不等式驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)裝置及(b)關(guān)聯(lián)函數(shù)曲線[17]Fig.2 (a)The experimental setup for observing the violation of CHSH inequality based on the non-separable states when|l|=2(also suitable for the cases when|l|>2)and(b)the correlations[17]

上述結(jié)果與Spreeuw、Eberly、Kagalwala以及表1中列出的研究工作結(jié)論相吻合,驗(yàn)證了軌道角動(dòng)量光束中的局域不可分離性,這為實(shí)現(xiàn)基于光學(xué)角動(dòng)量狀態(tài)的量子信息過(guò)程提供了重要的基礎(chǔ)。實(shí)際上,人們以此為出發(fā)點(diǎn)開展了一系列關(guān)于角動(dòng)量不可分離態(tài)的應(yīng)用研究,下文將對(duì)幾個(gè)具有代表性的工作進(jìn)行逐一介紹。

2 基于偏振和軌道角動(dòng)量的局域不可分離態(tài)在量子信息中的應(yīng)用

首先介紹軌道角動(dòng)量不可分離狀態(tài)在量子計(jì)算方面的應(yīng)用。2005年,Oliveira等[20]提出用偏振態(tài)和橫向空間模式構(gòu)造出的量子Deutsch算法,是該領(lǐng)域早期的重要工作之一。2007年,Deng等[21]指出偏振與軌道角動(dòng)量之間的關(guān)系可以用于構(gòu)造量子CNOT門,這為利用不可分離態(tài)進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)更廣泛的功能性量子算法奠定了基礎(chǔ)。2015年,Song等[17]設(shè)計(jì)了軌道角動(dòng)量和偏振不可分離態(tài)的Hadamard門和受控相位門,還在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了對(duì)兩qubit系統(tǒng)量子Fourier變換(軌道角動(dòng)量l=±1)的模擬,如圖3所示。其中軌道角動(dòng)量Hadamard門由道威棱鏡和柱透鏡組合構(gòu)成,CPhase門由螺旋相位片(SPP)和空間光調(diào)制器(SLM)構(gòu)成,偏振的Hadamard門由半波片實(shí)現(xiàn)。與通常量子實(shí)現(xiàn)的量子傅里葉變換(QFT)相比,經(jīng)典的QFT實(shí)現(xiàn)方法簡(jiǎn)單,易于操作,且測(cè)量效率很高。這對(duì)于實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的經(jīng)典模擬來(lái)說(shuō)至關(guān)重要,因?yàn)榱孔覨ourier變換是量子計(jì)算中Shor大數(shù)分解算法中最重要的一步,也是Shor算法優(yōu)于同類經(jīng)典算法的主要原因[22]。Song等[17]的研究工作有望成為經(jīng)典和量子信息過(guò)程對(duì)應(yīng)的重要參考。

圖3 (a)～(d)由軌道角動(dòng)量和偏振構(gòu)成的不可分離態(tài)經(jīng)過(guò)QFT實(shí)驗(yàn)的輸出結(jié)果與理論結(jié)果對(duì)照以及(e)實(shí)驗(yàn)采用的光路圖[17]Fig.3 (a)～(d)Comparison between the experimental results of the states output by the QFT setup with different input OAM-polarization non-separable states and the corresponding theoretical results,and(e)the optical scheme[17]

在量子通信領(lǐng)域,量子隱形傳態(tài)是糾纏的重要應(yīng)用之一,由Bouwmeester等[23]首次在光學(xué)量子糾纏態(tài)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)?；诓豢煞蛛x態(tài)的性質(zhì),Hashemi Rafsanjani等[24]提出:可以使用相干激光的兩個(gè)自由度來(lái)替換糾纏光子對(duì),然后通過(guò)執(zhí)行Bell測(cè)量使其中一個(gè)自由度攜帶的信息傳遞到另一個(gè)自由度,從而達(dá)到用經(jīng)典光模擬量子隱形傳態(tài)的效果。在他們的實(shí)驗(yàn)方案中,最核心的關(guān)聯(lián)關(guān)系是軌道角動(dòng)量和偏振自由度構(gòu)成的不可分離態(tài)。為了實(shí)現(xiàn)傳遞信息的功能,他們考慮的第三個(gè)自由度是徑向自由度,實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示。SLM1和Bell態(tài)合成器用于制備角動(dòng)量態(tài)的角向和徑向模式的最大糾纏態(tài),并通過(guò)SLM2實(shí)現(xiàn)其Bell測(cè)量;針孔用于分離上一步的“投影測(cè)量”結(jié)果;最后通過(guò)波片(QWP與HWP)完成了偏振態(tài)的分析。最終他們實(shí)現(xiàn)了將偏振態(tài)轉(zhuǎn)移到光場(chǎng)橫向模式,也即軌道角動(dòng)量模式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程。與之類似的一個(gè)實(shí)驗(yàn)在2016年由Pinheiro da Silva等[25]完成。與Hashemi Rafsanjani等的工作不同的是,該工作考慮的第三個(gè)自由度是路徑自由度。

圖4 局域自由度狀態(tài)轉(zhuǎn)移實(shí)驗(yàn)方案示意圖,主要實(shí)現(xiàn)軌道角動(dòng)量狀態(tài)到偏振狀態(tài)的“狀態(tài)轉(zhuǎn)移”(對(duì)應(yīng)量子隱形傳態(tài)方案)[24]Fig.4 The experimental realization of the state transfer in the local degree of freedom.In such a setup,the state of OAM is transferred to the state of polarization(corresponding to the quantum teleportation)[24]

軌道角動(dòng)量的一個(gè)重要特性是維度高,這使它可以實(shí)現(xiàn)密集編碼。使用這種編碼方案僅對(duì)糾纏光子對(duì)中的一個(gè)光子執(zhí)行局域的操作,就可以實(shí)現(xiàn)信息編碼的過(guò)程。與之對(duì)應(yīng)的解碼過(guò)程用Bell測(cè)量實(shí)現(xiàn),這等同于提高了單個(gè)光子所能攜帶的信息量。2015年,Milione等[26]利用矢量光束軌道角動(dòng)量和偏振自由度的不可分離性在光通信中實(shí)現(xiàn)了密集編碼。首先,Milione等通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)矢量光束的不可分離性可用于光通信中編碼信息,他們使用傳統(tǒng)的波片對(duì)矢量光束不可分離態(tài)的偏振自由度執(zhí)行四種操作(單位算符和3個(gè)Pauli算符),成功地編碼了2 bit的信息。由于執(zhí)行操作后得到的四束矢量光的狀態(tài)與糾纏光子對(duì)的4個(gè)Bell態(tài)相對(duì)應(yīng),所以對(duì)這四束矢量光的識(shí)別實(shí)際上等同于密集編碼方案的解碼過(guò)程。事實(shí)上,觀測(cè)輸出光束在CCD相機(jī)上的空間位置就可以識(shí)別這四個(gè)態(tài)。此外,他們的研究還表明,使用包含高階Pancharatnam-Berry相位和液晶q板的Mach-Zehnder干涉儀可以以低至2.7%的串?dāng)_有效地解碼矢量光束。同年,Milione等[27]基于同樣的矢量光束構(gòu)造實(shí)現(xiàn)了自由空間中的信息傳輸,其傳輸效率達(dá)到了4×20 Gbit/s。這項(xiàng)工作的優(yōu)勢(shì)在于僅需對(duì)不可分離態(tài)的偏振自由度執(zhí)行操作就能夠訪問(wèn)光的偏振和空間自由度構(gòu)成的四維態(tài)空間,這意味著僅操作偏振自由度就可以編碼2 bit的信息。但問(wèn)題在于,偏振自由度被它自己所固有的二維Hilbert空間所限制,這導(dǎo)致態(tài)空間的維數(shù)不能進(jìn)一步提升。

為了進(jìn)一步提升態(tài)空間的維數(shù),從而打破偏振自由度帶來(lái)的固有限制,2016年,Li等[28]提出了一種基于雜化矢量光束的偏振和軌道角動(dòng)量自由度之間的不可分離性實(shí)現(xiàn)的多進(jìn)制編碼協(xié)議。這種編碼方案主要基于改進(jìn)的偏振Sagnac干涉儀,利用偏振自由度對(duì)光束的軌道角動(dòng)量自由度執(zhí)行變換,從而實(shí)現(xiàn)高維空間的信息編解碼過(guò)程,這使得可以僅通過(guò)操縱N/2個(gè)不同的軌道角動(dòng)量模式來(lái)實(shí)現(xiàn)N維不可分離基矢的N進(jìn)制編碼,也即編碼log2Nbit的信息。實(shí)驗(yàn)結(jié)果還表明矢量光束的解碼可以以很低串?dāng)_的形式實(shí)現(xiàn)。與轉(zhuǎn)換標(biāo)量光束的軌道角動(dòng)量模式的編碼協(xié)議相比,Li等提出的基于矢量光束經(jīng)典不可分離性的編碼方案,在軌道角動(dòng)量模式數(shù)量相同的情況下能夠編碼更多的信息,這能夠很好地解決隨著軌道角動(dòng)量量子數(shù)的增加而產(chǎn)生的傳播發(fā)散問(wèn)題,并且實(shí)現(xiàn)了四進(jìn)制和十六進(jìn)制的編解碼。此外,在相同的初始強(qiáng)度分布下,矢量渦旋光束在自由空間光通信中表現(xiàn)出了比標(biāo)量渦旋光束低得多的閃爍[29],這意味著可以通過(guò)使用矢量光束攜帶信息來(lái)減輕大氣的影響。因此,Li等的方案在許多實(shí)際情況中具有潛在的應(yīng)用,這對(duì)光通信而言有很大的益處。下面給出一些具體的理論描述。

雜化矢量光束由兩個(gè)正交的線偏振以及大小相同但符號(hào)相反的拓?fù)浜莎B加構(gòu)成。具有單位振幅的雜化矢量光束的態(tài)可以寫為

式中:|±l〉代表軌道角動(dòng)量模式,|H〉和|V〉分別代表水平偏振和豎直偏振,?代表張量積。θ決定兩自由度的權(quán)重,當(dāng)θ≠0°以及θ≠90°時(shí),(2)式表示的態(tài)不能分解為兩自由度態(tài)的直積,這說(shuō)明兩自由度之間的不可分離性或者說(shuō)耦合強(qiáng)度與θ有關(guān)。盡管(2)式采用了Dirac符號(hào),實(shí)際上也可以通過(guò)經(jīng)典光場(chǎng)實(shí)現(xiàn)該狀態(tài),其性質(zhì)與量子光場(chǎng)并無(wú)大異。Li等主要通過(guò)利用經(jīng)典光場(chǎng)構(gòu)造狀態(tài)完成了下列實(shí)驗(yàn)。

兩自由度之間的不可分離性可以通過(guò)偏振相干度Dpol以及軌道角動(dòng)量模式相干度DOAM來(lái)進(jìn)行量化,其中Dpol可以表示為

可見Dpol是θ的函數(shù),與(1)式中兩自由度之間的不可分離性對(duì)θ的依賴關(guān)系相一致。當(dāng)θ=45°時(shí)耦合強(qiáng)度最大,對(duì)應(yīng)著最大不可分離態(tài);當(dāng)θ=0°或θ=90°時(shí),雜化矢量光束的態(tài)實(shí)際上是可以分離的,即表示成兩自由度態(tài)的直積。

不可分離態(tài)的另一個(gè)重要特征是,兩個(gè)自由度的投影測(cè)量結(jié)果之間并不獨(dú)立[30,31]。定量而言,考慮將偏振投影基寫為

式中γ和ε分別對(duì)應(yīng)Poincar′e球面上一點(diǎn)的經(jīng)度和緯度。接著,把雜化矢量光束態(tài)往偏振投影基|Ω〉上投影。從計(jì)算結(jié)果可以看出,當(dāng)初態(tài)可分離時(shí)(θ=0°或θ=90°),(5)式對(duì)應(yīng)的光束空間模式與投影基矢|Ω〉無(wú)關(guān)。相反地,對(duì)于不可分離態(tài),特別是最大不可分離態(tài)(θ=45°),最終得到的態(tài)的強(qiáng)度分布與偏振投影基矢|Ω〉有關(guān)。

與Milione等[26]不同的是,Li等[28]操控的是軌道角動(dòng)量這一自由度,于是能夠?qū)崿F(xiàn)在一個(gè)更高維度的態(tài)空間進(jìn)行信息編碼,下面詳細(xì)描述編碼實(shí)驗(yàn)過(guò)程,考慮一個(gè)最大不可分離態(tài)

當(dāng)l=1時(shí),構(gòu)成矢量光束的兩部分|l〉|H〉以及|-l〉|H〉的光束強(qiáng)度和空間偏振分布如圖5(a)所示。編碼過(guò)程通過(guò)對(duì)軌道角動(dòng)量模式自由度的幺正變換來(lái)進(jìn)行。首先,編碼者Bob把單位算符0和三個(gè)幺正算符應(yīng)用到矢量光的軌道角動(dòng)量模式,這里的4個(gè)算符定義為

式中|h〉和|v〉為軌道角動(dòng)量基矢,與線偏振基|H〉和|V〉等價(jià)。同理,|a〉和|d〉與±45°偏振基對(duì)應(yīng),具體的定義為

于是,最初的不可分離態(tài)可以通過(guò)上述變換轉(zhuǎn)化為四種矢量光束對(duì)應(yīng)的正交狀態(tài)之一,從而實(shí)現(xiàn)編碼過(guò)程。圖5(b)展示了將單位算符0以及三個(gè)Pauli算符作用到上之后得到的矢量光束的空間與偏振分布。除了上述方法,還可以利用軌道角動(dòng)量空間無(wú)窮維的性質(zhì)來(lái)產(chǎn)生更多可用于編碼的狀態(tài)。為了保證所產(chǎn)生矢量光束的態(tài)彼此是相互正交的,編碼者Bob需要執(zhí)行自旋受控門操作,即

圖5 矢量光束偏振結(jié)構(gòu)示意圖。(a)l=1時(shí)的OAM與偏振不可分離態(tài)矢量光束;(b)單位算符0和三個(gè)Pauli算符x、y、z操作后得到的矢量光束的偏振結(jié)構(gòu)分布圖;(c)l=2情況下經(jīng)過(guò)(b)同樣操作得到的矢量光束的結(jié)果[28]Fig.5 Polarization distribution of the vector beam.(a)OAM-polarization-non-separable state when l=1;(b)The polarization distribution of the vector beams after being operated by the identity operator0and three Pauli operatorx,y,z;(c)The similar case to(b)except for l=2[28]

新的矢量光束的態(tài)可以寫為

圖6展示了Li等[28]設(shè)計(jì)的基于經(jīng)典不可分離性的高維編解碼實(shí)驗(yàn)裝置,分為制備、檢測(cè)、編碼(Bob)以及解碼(Alice)四個(gè)部分。他們使用矢量光束的態(tài)來(lái)編碼四進(jìn)制數(shù)1→4,Bob對(duì)矢量光的軌道角動(dòng)量自由度應(yīng)用單位算符0以及三個(gè)Pauli算符。在如圖6所示的四個(gè)輸出口A1、A2、B1和B2,輸出光束的強(qiáng)度主要通過(guò)透鏡、針孔等配合功率計(jì)進(jìn)行測(cè)量得到。這種方案具有低串?dāng)_(<6.6%)的優(yōu)點(diǎn),該方案與量子密集編碼相對(duì)應(yīng)。雜化編碼的部分結(jié)果展示在圖7中。

圖6 基于具有經(jīng)典不可分離性的矢量光束的高維編碼/解碼實(shí)驗(yàn)方案。(a)光束的制備裝置;(b)實(shí)驗(yàn)測(cè)量裝置;(c)編碼過(guò)程(由Bob完成);(d)解碼分析(由Alice完成)[28]Fig.6 The high dimensional encoding/decoding scheme based on classical non-separable state of vector beams.(a)The setup for generating the beam;(b)The setup for measurement;(c)The encoding process(by Bob);(d)The decoding process(by Alice)[28]

圖7 (a)利用雜化矢量光束進(jìn)行雜化編碼的結(jié)果,包括四進(jìn)制和十六進(jìn)制情況;(b)對(duì)矢量光束的OAM自由度進(jìn)行單位算符0以及三個(gè)Pauli算符x、y、z的操作后,四個(gè)輸出口的輸出光場(chǎng)強(qiáng)度圖,圖中百分?jǐn)?shù)為串?dāng)_[28]Fig.7 (a)Results of encoding using hybrid vector beam,including the quaternary and hexadecimal case;(b)Intensity of light output by the four ports after the modifications on the OAM degree of freedom.The modifications are described by the identity0and the three Pauli operatorsx,yandz.The percentages in the figure give the cross talks[28]

基于上述方案的框架,也可以實(shí)現(xiàn)十六進(jìn)制的編碼,這需要在實(shí)驗(yàn)裝置中兩個(gè)空間光調(diào)制器上都加載一個(gè)拓?fù)浜傻牟嫘味M(jìn)制光柵來(lái)進(jìn)行解碼。同樣地,在功率計(jì)前放置了針孔進(jìn)行空間濾波。歸一化后,模式串?dāng)_最高為13.6%,僅需要八個(gè)軌道角動(dòng)量模式就可以實(shí)現(xiàn)十六進(jìn)制的編解碼。

實(shí)現(xiàn)上述四進(jìn)制和十六進(jìn)制編解碼的方案均使用了具有最大不可分離態(tài)的矢量光束,也即兩個(gè)自由的處于耦合最大的狀態(tài)。那么耦合程度如何影響編碼和解碼過(guò)程呢?Li等[28]以四進(jìn)制編解碼為例給出了對(duì)應(yīng)的結(jié)果。實(shí)際上,在(2)式的矢量光束狀態(tài)中,所謂的耦合強(qiáng)度可以通過(guò)角度θ進(jìn)行調(diào)節(jié)。對(duì)不同θ的矢量光束作為初始態(tài)的情況,他們依然設(shè)置Bob和Alice分別按照之前所述的方式進(jìn)行操作,實(shí)驗(yàn)結(jié)果展示在圖8中。由圖8可見,隨著軌道角動(dòng)量與偏振自由度時(shí)間不可分離性的下降,不同模式之間的串?dāng)_逐步增強(qiáng),這導(dǎo)致了獲取信息的準(zhǔn)確性不斷下降。以θ=0°、θ=15°、θ=60°和θ=90°為例對(duì)耦合強(qiáng)度產(chǎn)生的影響同樣展示在圖8中[28]。模式串?dāng)_的大小依賴于矢量光束不可分離性的強(qiáng)弱,特別是θ=0°或θ=90°(耦合強(qiáng)度為0,兩自由度可分離,光束沒(méi)有矢量特性)時(shí),模式串?dāng)_高達(dá)47.9%,這直接導(dǎo)致Alice只能識(shí)別兩種信息,也就是說(shuō),只有1 bit的信息被編解碼。因此,與基于可分離態(tài)的編碼方案相比,基于不可分離態(tài)的編碼方案能實(shí)現(xiàn)信息量?jī)杀兜脑鲩L(zhǎng)。

圖8 (a)四進(jìn)制編碼的解碼情況隨耦合強(qiáng)度的變化關(guān)系圖。θ=45°時(shí)為最大耦合,θ=0°或θ=90°為最小耦合;(b)四進(jìn)制編碼和解碼過(guò)程的串?dāng)_矩陣。(b1)～(b4)分別對(duì)應(yīng)θ=0°,θ=15°,θ=60°和θ=90°的情況[28]Fig.8 (a)Decoding results of the quaternary encoding scheme,changing with the coupling strength.The coupling strength reaches its maximum when θ=45°,and reaches its minimum when θ=0° or θ=90°;(b)Crosstalk matrix of the quaternary encoding scheme.(b1)～(b4)are the cases when θ=0°,θ=15°,θ=60°,and θ=90°,respectively[28]

前面所介紹解碼過(guò)程的實(shí)現(xiàn)思路主要是通過(guò)空間光調(diào)制器對(duì)輸出光場(chǎng)進(jìn)行調(diào)制,將其轉(zhuǎn)化為可通過(guò)中心亮斑位置來(lái)區(qū)分的狀態(tài)。實(shí)際上,這樣的解碼方式在經(jīng)典通信中已經(jīng)被廣泛使用。但其缺點(diǎn)也是明顯的,即不能同時(shí)展現(xiàn)出所有矢量光束編碼在相位上的差別,并且需要不斷地根據(jù)測(cè)量的需求改變空間光調(diào)制器的圖樣。如果引入一個(gè)復(fù)合光柵全息圖[28],就能夠同時(shí)識(shí)別攜帶不同信息的入射光。例如,文獻(xiàn)[28]的全息圖為生成l=1和l=3的相位圖的疊加,它們能夠分別產(chǎn)生水平和豎直的衍射光束。在分別過(guò)濾掉除去一階衍射光以外的光場(chǎng)后,就能夠得到一個(gè)3×3的衍射圖樣,因此可以同時(shí)測(cè)量9個(gè)不同的軌道角動(dòng)量態(tài)。除去圖像的中心部位,其它的16個(gè)區(qū)域分別與解碼前的16個(gè)矢量光束相對(duì)應(yīng),因此該方案可以應(yīng)用于進(jìn)行十六進(jìn)制編碼的解碼。相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明模式串?dāng)_達(dá)到了8.3%,相對(duì)較大,可能是實(shí)驗(yàn)方案未經(jīng)過(guò)充分優(yōu)化導(dǎo)致。盡管利用復(fù)合光柵可以進(jìn)行包含16個(gè)矢量光束的分析和探測(cè),但這樣的探測(cè)實(shí)際上相對(duì)較窄。除此以外,還可以考慮應(yīng)用集成的5×5二進(jìn)制Dammann渦旋光柵,其探測(cè)范圍可以達(dá)到-12～+12的軌道角動(dòng)量光束,因此有望實(shí)現(xiàn)32進(jìn)制的編碼與解碼。

值得一提的是,除了上述量子信息過(guò)程模擬上的應(yīng)用,局域不可分離態(tài)還有一些其他有趣的應(yīng)用。2014年,T?ppel等[32]使用不可分離態(tài)來(lái)測(cè)量光學(xué)偏振,并指出與傳統(tǒng)的偏振測(cè)量相比,這種測(cè)量可以一次性獲得更多的狀態(tài)信息。他們還提出并展示了一種基于渦旋光束經(jīng)典糾纏檢測(cè)高速運(yùn)動(dòng)物體位置和方向的方案[33],測(cè)量原理依賴于渦旋光束中橫向空間模式與偏振自由度之間的固有關(guān)聯(lián)。僅需對(duì)幾個(gè)快速光電二極管執(zhí)行強(qiáng)度測(cè)量就可以實(shí)現(xiàn)固有關(guān)聯(lián)的測(cè)量,而且在帶寬方面遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于當(dāng)前的CCD和CMOS器件,最終實(shí)現(xiàn)了GHz分辨率的二維實(shí)時(shí)傳感。

2017年,Ndagano等[34]使用經(jīng)典光的不可分離態(tài)來(lái)表征量子信道質(zhì)量。引入光場(chǎng)的空間模式自由度實(shí)際上有望增加量子信道的安全性和容量。但不幸的是,微擾會(huì)導(dǎo)致糾纏衰退,從而導(dǎo)致量子關(guān)聯(lián)不可修復(fù)的破壞,如果不對(duì)信道進(jìn)行量子層析成像,就無(wú)法修復(fù)這些關(guān)聯(lián)。與之矛盾的是,如果沒(méi)有一個(gè)可用的關(guān)聯(lián),就無(wú)法實(shí)現(xiàn)信道的層析成像。為了解決這個(gè)問(wèn)題,Ndagano等提出了一種魯棒的方法,使用經(jīng)典光來(lái)表征量子信道質(zhì)量。他們以湍流大氣中的自由空間通信為例,證明了經(jīng)典糾纏態(tài)的演化與量子糾纏態(tài)的演化是等價(jià)的,從而為經(jīng)典糾纏的概念提供了新的物理見解;他們用經(jīng)典光實(shí)現(xiàn)了對(duì)量子信道的實(shí)時(shí)分析,根據(jù)純態(tài)軌跡理論解釋了隨機(jī)動(dòng)力學(xué)。這使得無(wú)論是短距離和長(zhǎng)距離光通信,亦或是自由空間光學(xué)和光纖光學(xué),精確的量子糾錯(cuò)都可以參考上述方法實(shí)現(xiàn)。

圖9 利用不可分離態(tài)進(jìn)行量子通道測(cè)試的方案示意圖。(a)量子通道的展示;(b)與(a)對(duì)應(yīng)的經(jīng)典不可分離態(tài)檢測(cè)方案[34]Fig.9 Schematic illustration of qualifying the quantum channel using non-separable classical state.(a)Illustration of quantum channel;(b)Qualification of the quantum channel corresponding to(a)[34]

Otte等[35]基于自旋和軌道角動(dòng)量的耦合實(shí)現(xiàn)了自由空間的糾纏律動(dòng)。眾所周知,量子態(tài)的糾纏在局部幺正變換下具有不變性,這意味著當(dāng)光子在自由空間傳播時(shí),其內(nèi)部自由度之間的糾纏應(yīng)該是保持不變的。但Otte等在他們的實(shí)驗(yàn)中觀察到了不同的現(xiàn)象,即糾纏是變化的,其變化情況如圖10所示。他們利用具有不可分離自由度的經(jīng)典矢量渦旋光束,證明了傳播過(guò)程中的局域不可分離態(tài)是變化的,其會(huì)在最大糾纏態(tài)和直積態(tài)之間振蕩。他們描述了這些新奇?zhèn)鞑ヌ匦员澈蟮淖孕壍老嗷プ饔?并通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了旁軸光束中的自旋軌道耦合。此證明給出了一個(gè)重要的經(jīng)典不可分離態(tài)特性,同時(shí)提供了一個(gè)可以按需向目標(biāo)傳遞矢量光束的裝置。這對(duì)于動(dòng)態(tài)激光材料處理、受激發(fā)射損耗(STED)系統(tǒng)的分辨率提升、以及糾纏的牽引光束設(shè)計(jì)均十分有益。

圖10 局域不可分離態(tài)光束在傳播過(guò)程中的關(guān)聯(lián)關(guān)系變化圖。(a)徑向模式分析;(b)左旋和右旋偏振分析[35]Fig.10 Evolution of the correlation of non-separable vector beam in propagation.(a)Analysis of radial modes;(b)Analysis of the left-handed and right-handed circular polarization[35]

上述內(nèi)容回顧了局域不可分離態(tài)與量子Bell態(tài)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,以及以此為基礎(chǔ)建立的量子模擬等應(yīng)用。這些結(jié)果表明:經(jīng)典光束的不可分離態(tài),特別是軌道角動(dòng)量態(tài),可以完成和量子信息過(guò)程相對(duì)應(yīng)的任務(wù),并且具有良好的穩(wěn)定性。最近在局域不可分離態(tài)和軌道角動(dòng)量的研究中,也取得了一系列重要成果。例如,Shen等[36]利用具有空間分布的偏振光場(chǎng)實(shí)現(xiàn)了GHZ態(tài)的模擬,為實(shí)現(xiàn)基于局域自由度的多“粒子”糾纏形式提供了很好的思路;Liu等[37]通過(guò)引入拉蓋爾-高斯光束的徑向模式,實(shí)現(xiàn)了高維的局域不可分離態(tài);而相關(guān)的量子光實(shí)驗(yàn)由Bouchard等[38]完成。除了與局域不可分離狀態(tài)直接相關(guān)的研究,軌道角動(dòng)量在其他問(wèn)題上也提供了不錯(cuò)的應(yīng)用。例如:在通信方面,Ding等[39]提出了一個(gè)寬帶的角動(dòng)量光子與存儲(chǔ)器之間的轉(zhuǎn)化界面實(shí)現(xiàn)方案;在量子模擬方面,Clark等[40]利用軌道角動(dòng)量態(tài)與Rb原子的相互作用,實(shí)現(xiàn)了光的Laughlin態(tài);Wang等[41]提出了一個(gè)利用經(jīng)典結(jié)構(gòu)光場(chǎng)實(shí)現(xiàn)對(duì)相干態(tài)的模擬方案,等等。局域不可分離態(tài)中的關(guān)聯(lián)關(guān)系主要依賴自由度之間的耦合。這種耦合對(duì)于光束來(lái)說(shuō)是天然的,但不能將其在空間上進(jìn)行分離。量子信息過(guò)程一個(gè)重要的特點(diǎn)是利用糾纏態(tài)的非局域性來(lái)實(shí)現(xiàn)通信協(xié)議,這對(duì)于局域不可分離的自由度而言是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。于是,在經(jīng)典光學(xué)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)對(duì)非局域糾纏態(tài)的模擬就成為了一個(gè)重要的研究課題,接下來(lái)將總結(jié)回顧相關(guān)研究中一些重要的研究成果。

3 空間可分離軌道角動(dòng)量光束中的經(jīng)典光關(guān)聯(lián)

在關(guān)于空間可分離關(guān)聯(lián)光束的研究中,有兩個(gè)重要的實(shí)驗(yàn)工作。一個(gè)是Lee和Thomas[42]于2002年提出的基于后選擇方法模擬量子糾纏的方案。他們實(shí)驗(yàn)上用包含兩種頻率和兩種偏振的經(jīng)典場(chǎng)模擬兩個(gè)糾纏的qubit,以兩個(gè)空間區(qū)域分離的光外差節(jié)拍信號(hào)的倍增來(lái)模擬兩粒子的符合檢測(cè),這樣獲得的信號(hào)包含若干頻率分量。他們通過(guò)帶通頻率濾波挑選出其中一個(gè)信號(hào),獲得的帶通信號(hào)包含兩個(gè)部分,對(duì)這兩個(gè)部分進(jìn)行設(shè)置能夠模擬出四個(gè)偏振糾纏類Bell態(tài)。Lee和Thomas提出的經(jīng)典場(chǎng)方法[42,43]能夠直接模擬線性光量子實(shí)驗(yàn)的高階干涉。另一個(gè)工作是Sun等[44]利用非相干光源得到的EPR關(guān)聯(lián)光束實(shí)驗(yàn)。他們?cè)趯?shí)驗(yàn)中利用兩束包含非相干光學(xué)成分的光束作為光源,以光場(chǎng)的一階關(guān)聯(lián)強(qiáng)度作為衡量標(biāo)準(zhǔn),得到非局域EPR類型的經(jīng)典關(guān)聯(lián)。以此為基礎(chǔ),他們進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了對(duì)空間可分離的量子隱形傳態(tài)實(shí)驗(yàn)的經(jīng)典對(duì)應(yīng)。

不同于局域光束的不可分離態(tài),以上兩個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)M的是多粒子糾纏,也即EPR類型的糾纏。這實(shí)際上意味著在經(jīng)典系統(tǒng)中也可以找到具有與量子非定域性相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)或者結(jié)構(gòu)。因此,在量子信息理論中依賴非定域性構(gòu)建的信息處理方案也有望通過(guò)經(jīng)典光學(xué)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。與局域不可分離態(tài)類似,考慮到使用經(jīng)典光可獲得的穩(wěn)定性和高信噪比,以及產(chǎn)生類似于量子系統(tǒng)觀測(cè)的潛力,利用這種方式來(lái)進(jìn)行量子模擬研究同樣頗有價(jià)值。

接下來(lái)介紹一個(gè)空間可分離軌道角動(dòng)量光束的實(shí)現(xiàn)方案,并給出其在非局域密集編碼中的應(yīng)用?；诹孔臃蔷钟蛐缘拿芗幋a方案由Bennett和Wiesner[4]于1992年提出的。2016年,Yang等[45]實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了量子密集編碼的經(jīng)典模擬,他們的方案如圖11所示。與使用偏振糾纏光子對(duì)的量子密集編碼相比,他們提出的設(shè)計(jì)顯示出了許多優(yōu)點(diǎn)。基于12個(gè)四進(jìn)制的數(shù)而不是通常的24 bit傳輸ASCII碼的密集編碼實(shí)驗(yàn)可獲得高達(dá)2 bit的信道容量,高于通常的量子編碼容量1.585 bit。這種方案在光通信中的實(shí)現(xiàn)比較方便,還可以從探測(cè)器直接識(shí)別出信息,而不是像量子情況一樣需要干涉和符合測(cè)量。并且,此種經(jīng)典方案可以直接應(yīng)用于目前的通信系統(tǒng),相較于傳統(tǒng)通信方案可以提供更具潛力的通信過(guò)程。

圖11 空間可分離經(jīng)典光模擬密集編碼實(shí)驗(yàn)方案示意圖[45]Fig.11 Scheme of dense coding based on the spatially distinguished beams[45]

除了密集編碼以外,還有編碼信息量更大的超密編碼方案,這樣的方案主要基于超糾纏態(tài)。早在2005年,Barreiro等[46]就制備出了超糾纏的光子對(duì),他們第一個(gè)在實(shí)驗(yàn)上制備出了每個(gè)自由度都有糾纏的量子系統(tǒng)。利用自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的糾纏光子對(duì),他們通過(guò)測(cè)量每個(gè)自由度(包括偏振、空間模式和時(shí)間能量自由度)Bell不等式的違逆情況來(lái)證實(shí)這個(gè)自由度的糾纏。并且,他們還生成并表征了最大超糾纏態(tài)以及同時(shí)表現(xiàn)出量子關(guān)聯(lián)和經(jīng)典關(guān)聯(lián)的新態(tài)。除此之外,Barreiro等[47]還對(duì)一個(gè)2×2×3×3的系統(tǒng)(36維希爾伯特空間)執(zhí)行了層析測(cè)量,這是第一個(gè)報(bào)道的采用該表征方式對(duì)這種大小的光子糾纏系統(tǒng)進(jìn)行表征的實(shí)驗(yàn)。

Li等[48]第一個(gè)實(shí)現(xiàn)了經(jīng)典超關(guān)聯(lián)和基于經(jīng)典光的量子超密集編碼的模擬。在Li等的經(jīng)典超關(guān)聯(lián)實(shí)驗(yàn)中,光束的每個(gè)自由度都是同時(shí)相關(guān)的,也即可以觀察到每個(gè)自由度的關(guān)聯(lián)函數(shù)違背Bell不等式的現(xiàn)象?；谶@樣一種經(jīng)典超關(guān)聯(lián),Li等在經(jīng)典光學(xué)中實(shí)現(xiàn)了量子超密集編碼的模擬。與基于同時(shí)處于偏振和非偏振糾纏態(tài)的光子對(duì)的量子超密集編碼相比,經(jīng)典方案具有許多優(yōu)點(diǎn)。該方案不僅實(shí)現(xiàn)起來(lái)較為方便,而且可以獲得單通道3 bit的信道容量,高于量子方案的2.8 bit。同經(jīng)典密集編碼方案類似,該方案可區(qū)分的信息也可以直接從探測(cè)器識(shí)別,不需要干涉和符合測(cè)量。

制備經(jīng)典光超關(guān)聯(lián)態(tài)的實(shí)驗(yàn)裝置如圖12所示,該裝置分為制備和表征兩部分。產(chǎn)生經(jīng)典超關(guān)聯(lián)態(tài)的源由兩個(gè)完全非相干光束構(gòu)成,它們的光場(chǎng)分別記為E1和E2,滿足條件這里r和t分別代表空間坐標(biāo)和時(shí)間。兩個(gè)完全非相干光束分別來(lái)自兩個(gè)獨(dú)立的波長(zhǎng)為632.8 nm的氦氖(He-Ne)激光器,他們各自通過(guò)一個(gè)螺旋相位片(SPP)轉(zhuǎn)變?yōu)闇u旋光束。隨后用一個(gè)偏振分束器(PBS)將光束進(jìn)行匯集,得到包含了水平極化的E1和豎直極化的E2光場(chǎng)。該光束通過(guò)一個(gè)改進(jìn)的Mach-Zehnder干涉儀,干涉儀中一個(gè)干涉臂的反射鏡主要用于軌道角動(dòng)量模式相位翻轉(zhuǎn)(將正的螺旋轉(zhuǎn)化為反向的螺旋)。實(shí)驗(yàn)中取l=2,一個(gè)可變相位延遲器(LCVR)的插入是為了確保兩臂光束的非相干性。為了分析Ea(r,t)和Eb(r,t)之間的超關(guān)聯(lián)特性,Li等在實(shí)驗(yàn)中將生成的兩束光分成兩部分。一部分用來(lái)執(zhí)行偏振關(guān)聯(lián)的驗(yàn)證,另一部分用來(lái)執(zhí)行軌道角動(dòng)量關(guān)聯(lián)的驗(yàn)證。類似于量子超糾纏關(guān)系的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn),上述操作主要是為了避免不同自由度之間的糾纏關(guān)系產(chǎn)生相互干擾[46]。

圖12 經(jīng)典超關(guān)聯(lián)實(shí)驗(yàn)方案。(a)超關(guān)聯(lián)源的裝置示意圖;(b),(c)分別對(duì)應(yīng)OAM和偏振的關(guān)聯(lián)測(cè)量裝置;(d)場(chǎng)的一階關(guān)聯(lián)測(cè)量的原理示意圖[48]Fig.12 Classical super correlation experiments.(a)Setup of the source;(b),(c)Measurement setup of OAM correlations and polarization correlations,respectively;(d)Setup for measuring the first-order correlation of the fields[48]

與經(jīng)典局域糾纏一樣[17],為了量化Ea(r,t)和Eb(r,t)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系,Li等同樣執(zhí)行了CHSH不等式的測(cè)量,關(guān)聯(lián)函數(shù)定義為

式中P(α,β)為在某個(gè)測(cè)量基下的關(guān)聯(lián)概率,由光場(chǎng)的一階關(guān)聯(lián)函數(shù)給出[44]。

根據(jù)一階關(guān)聯(lián)的定義,光場(chǎng)的一階關(guān)聯(lián)和可以通過(guò)先記錄光場(chǎng)的完整信息,然后通過(guò)類似示波器的裝置進(jìn)行信息處理后得到,實(shí)際上這樣的方法并不容易實(shí)現(xiàn)。圖12的方案中,Li等使用的是一種間接處理方式。他們通過(guò)一系列操作分別得到一階關(guān)聯(lián)的實(shí)部和虛部,然后執(zhí)行CHSH型的Bell測(cè)量

式中α和β代表了兩組不同的測(cè)量基取向,分別通過(guò)設(shè)置SLM A和SLM B上的圖樣來(lái)進(jìn)行調(diào)節(jié)。圖13(b)展示了歸一化的關(guān)聯(lián)概率,每條曲線都是θb和φb的函數(shù),這兩個(gè)參數(shù)決定了SLM B上加載的全息圖。四條曲線分別對(duì)應(yīng)圖13(a)左中標(biāo)示出的四個(gè)態(tài)。圖中的點(diǎn)代表了實(shí)驗(yàn)結(jié)果,實(shí)線對(duì)應(yīng)理論曲線,兩者吻合得很好。實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比度達(dá)到了91.93%,完全滿足出現(xiàn)違背Bell不等式所需要的條件(大于70.7%)[49]。實(shí)驗(yàn)誤差的主要來(lái)源是干涉儀不穩(wěn)定導(dǎo)致的失諧,由圖13(b)中的誤差棒展示出來(lái)。具體而言,當(dāng)θb=π-θa且φb=φa時(shí)關(guān)聯(lián)強(qiáng)度達(dá)到了極大值;相反,當(dāng)θa=θb且φb=φa+π時(shí),關(guān)聯(lián)強(qiáng)度達(dá)到了極小值。由圖中數(shù)據(jù)計(jì)算可以得到:當(dāng)θa=0、φa=0、θ′a=π/2、φ′a=π、θb=3π/4、φb=π、θ′b=π/4以及φ′b=π時(shí),可以得到|SOAM|max=2.756±0.017。正如局域隱變量理論所給出的,Bell參數(shù)的最大值|SOAM|max<2,因此,Li等的實(shí)驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)了很強(qiáng)的對(duì)Bell不等式的違背(軌道角動(dòng)量這一自由度)。

圖13 (a)OAM態(tài)的Bloch球面,球面上的北極點(diǎn)和南極點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)OAM為+2和-2的狀態(tài);(b)經(jīng)典OAM的關(guān)聯(lián)曲線,不同曲線對(duì)應(yīng)不同SLM A生成的投影基[(a)左側(cè)],SLM B生成的投影基繞Bloch球兩極進(jìn)行變化[(a)右側(cè)],圖(b)中的點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),實(shí)線代表理論曲線[48]Fig.13 (a)Bloch sphere of OAM state.The north and south pole represent the OAM states of+2 and-2;(b)The classical correlation of OAM states.The different curves are measured by different projectors[shown in the left of(a)]generated by SLM A.The projectors generated by SLM B are set to be the states around the two poles of Block sphere[shown in the right of(a)].The points in(b)are experimental data,and the solid lines are the theoretical results[48]

分析Ea(r,t)和Eb(r,t)之間的偏振關(guān)聯(lián)的方法與OAM關(guān)聯(lián)類似,測(cè)量結(jié)果如圖14所示。同樣地,可以計(jì)算得到最大Bell值為|SPol|max=2.579±0.012,在θA=0,θ′A=π/4,θB=-π/8和θ′B=π/8處取得,這表明經(jīng)典偏振自由度的關(guān)聯(lián)也可以違背CHSH型的Bell不等式。上面兩自由度的關(guān)聯(lián)特性可以說(shuō)明,偏振和OAM自由度展現(xiàn)的經(jīng)典超關(guān)聯(lián)特性[48]形式上與超糾纏的光子對(duì)擁有的量子關(guān)聯(lián)關(guān)系類似。隨后,基于這樣的關(guān)聯(lián)關(guān)系,他們進(jìn)一步使用經(jīng)典光模擬了量子超密編碼方案。他們的方案設(shè)計(jì)如圖15所示,主要分為三個(gè)部分:經(jīng)典超關(guān)聯(lián)源,由Bob執(zhí)行信息編碼的部分,以及由Alice執(zhí)行信息解碼的部分。類似于量子超密編碼[50]中的幺正變換,對(duì)光場(chǎng)Ec(r,t)的兩個(gè)自由度進(jìn)行同樣的整體操作。在如圖15所示的編碼階段,Bob按照方案需要使用兩個(gè)HWP,構(gòu)造兩條光路,達(dá)到每次操作僅能通過(guò)其中一條光束的效果,并選擇性地在其中一條通道插入一個(gè)DP。最后再加上兩個(gè)已選取合適角度的HWP,Bob就可以完成整個(gè)編碼環(huán)節(jié)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,Bob的這些操作能夠?qū)?yīng)八種不同的信息,即實(shí)現(xiàn)了與量子超密編碼對(duì)應(yīng)的編碼方案。

圖14 當(dāng)θA=0和θA=π/4時(shí),偏振關(guān)聯(lián)函數(shù)隨偏振角θB的變化曲線,圖中點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),實(shí)線代表理論曲線[48]Fig.14 The polarization function of θBwhen θA=0 and θA= π/4.The points are experimental data,and the solid lines are the theoretical results[48]

圖15 基于經(jīng)典關(guān)聯(lián)的超密編碼方案實(shí)驗(yàn)示意圖。(a)經(jīng)典關(guān)聯(lián)源部分;(b)具體的偏振-OAM測(cè)量裝置;(c)Bob的編碼部分及Alice的解碼部分[48]Fig.15 The super-dense code scheme based on classical light.(a)The classical correlation source;(b)The polarization-OAM analyzer;(c)The encoding and decoding performed by Bob and Alice,respectively[48]

在Bob完成編碼后,輸出的光將與沒(méi)有經(jīng)過(guò)任何操作的參考光共同發(fā)送給Alice。然后,Alice即可執(zhí)行解碼分析。通過(guò)記錄8個(gè)端口的強(qiáng)度,Alice可以準(zhǔn)確地識(shí)別Bob編碼的信息。

依照超密編碼的實(shí)驗(yàn)方案,Alice完成的解碼結(jié)果由圖16給出,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)總的探測(cè)強(qiáng)度進(jìn)行了歸一化。根據(jù)圖16的結(jié)果,Alice由8個(gè)探測(cè)器的強(qiáng)度對(duì)Bob所編碼的信息做出的判斷是準(zhǔn)確的,過(guò)程中的信息量為log28=3 bit。為了突出超糾纏的作用,Li等還考慮了僅使用Ec(r,t)或Ed(r,t)實(shí)現(xiàn)的編碼過(guò)程。在該編碼過(guò)程中,Bob同樣對(duì)偏振和OAM執(zhí)行整體的操作,此后,將光束傳送到Alice處,由Alice進(jìn)行解碼。而此時(shí),Alice得到的最大信息量為2 bit,此結(jié)果說(shuō)明Li等[48]構(gòu)造的基于經(jīng)典超關(guān)聯(lián)的編碼方案是能夠與量子超密編碼方案對(duì)應(yīng)的。

圖16 基于超關(guān)聯(lián)的超密編碼與對(duì)應(yīng)的解碼實(shí)驗(yàn)結(jié)果[48]Fig.16 The decoding results of the super-dense encoding enabled by super correlation[48]

更重要的是,Li等的方案相較于量子超密編碼方案具有許多優(yōu)勢(shì)。一方面,同樣是使用8個(gè)正交的狀態(tài)進(jìn)行編碼,由于在經(jīng)典光系統(tǒng)中所編碼的態(tài)能夠被全部識(shí)別,所以能夠獲得3 bit的信道容量,而使用超糾纏光子對(duì)的信道容量只有l(wèi)og27≈2.8[50]。另一方面,由于經(jīng)典光可以具有比較高的強(qiáng)度,此方案在現(xiàn)有光通信方案中也有機(jī)會(huì)實(shí)現(xiàn)。并且,此方案中的測(cè)量過(guò)程能夠?qū)崟r(shí)地識(shí)別收到的信息,并不需要進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的符合測(cè)量。另外,需要強(qiáng)調(diào)的是,盡管此方案基于經(jīng)典光關(guān)聯(lián),但不同于傳統(tǒng)相干通信的信號(hào)解調(diào)[51-53]。比如,Han等[51]提出,可以將需要傳遞的信息加載在電磁信號(hào)的電場(chǎng)分量上,然后通過(guò)正交偏振的調(diào)制來(lái)提升信道容量。事實(shí)上,Li等提出的是一種新的復(fù)合編碼方式,能夠?qū)崿F(xiàn)不同自由度的同時(shí)糾纏,具有更大的狀態(tài)空間。

不僅如此,雙光子的高維糾纏也已經(jīng)被證明可以實(shí)現(xiàn)[54,55]。參考Ndagano等[34]使用經(jīng)典光的不可分離態(tài)來(lái)表征大氣湍流中量子信道的方案,實(shí)際上,空間可分離的經(jīng)典關(guān)聯(lián)光場(chǎng)也可以實(shí)現(xiàn)類似的表征方法,甚至可以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)糾錯(cuò)。這個(gè)工作也是由Li等[56]完成的,他們?cè)?018年實(shí)現(xiàn)了經(jīng)典高維關(guān)聯(lián),實(shí)驗(yàn)方案如圖17所示。如前所述,經(jīng)典關(guān)聯(lián)已經(jīng)被證明在經(jīng)典和量子系統(tǒng)中有很大的應(yīng)用前景,例如提高測(cè)量精度、表征量子信道等。但之前的經(jīng)典關(guān)聯(lián)主要使用二維自由度,在實(shí)踐中難以進(jìn)一步擴(kuò)展。于是,Li等基于干涉測(cè)量實(shí)現(xiàn)了一個(gè)經(jīng)典的高維關(guān)聯(lián),它與量子高維糾纏有數(shù)學(xué)上的相似性,并顯示出對(duì)高維Bell不等式的違背。此外,他們將Ndagano等[34]用經(jīng)典光特征量子信道的思想擴(kuò)展到了一般的高維狀態(tài),還從理論上證明了當(dāng)單側(cè)信道受到大氣湍流擾動(dòng)時(shí),具有高維量子態(tài)的量子信道可以用他們提出的方案進(jìn)行魯棒的表征。并且,高維量子糾錯(cuò)也能被魯棒地實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。Li等的結(jié)果不僅為經(jīng)典關(guān)聯(lián)的概念提供了新的物理見解,而且展現(xiàn)了其在高維量子信息處理中的潛在應(yīng)用。

圖17 經(jīng)典高維關(guān)聯(lián)實(shí)驗(yàn)裝置示意圖。(a)光源;(b)利用SLM、針孔、L1和L2耦合透鏡組進(jìn)行投影測(cè)量;(c),(d)分別為一階關(guān)聯(lián)函數(shù)實(shí)部和虛部的測(cè)量方案[56]Fig.17 Scheme of classical high dimensional correlation.(a)The light source;(b)Measurement setup composed of SLM,pinhole,lenses L1 and L2;(c),(d)Measurement scheme of the real and imaginary parts of the first-order correlations[56]

Li等的實(shí)驗(yàn)裝置巧妙地實(shí)現(xiàn)了不同軌道角動(dòng)量模式的完全非相干混合,最終得到的具有高維關(guān)聯(lián)的光場(chǎng)A和B可以分別表示為

式中:〈···〉表示時(shí)間平均,x(l)代表了模式數(shù)l的函數(shù)。

為了描述光場(chǎng)EA(r,t)和EB(r,t)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系,并進(jìn)一步進(jìn)行Bell測(cè)量,驗(yàn)證其是否違背Bell不等式關(guān)系,他們利用空間光調(diào)制器(SLM)和兩個(gè)透鏡組成的耦合透鏡,在不同測(cè)量基上執(zhí)行子空間的投影測(cè)量,最終得到關(guān)聯(lián)概率函數(shù)的實(shí)驗(yàn)曲線,如圖18所示。

圖18 關(guān)聯(lián)概率作為角度θA(v)+θB(w)的函數(shù),圓點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果,實(shí)線為理論曲線[56]Fig.18 The correlation function of θA(v)+ θB(w).The round dots are the experimental results,and the solid lines are the theoretical results[56]

這里定義輸出場(chǎng)的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度及關(guān)聯(lián)概率為

根據(jù)文獻(xiàn)[54,55],量化這種關(guān)聯(lián)關(guān)系的高維Bell不等式可以定義為

圖19 (a)線性熵SL和(b)保真度F隨維度d的變化關(guān)系。標(biāo)有誤差棒的藍(lán)色圓點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果,紅色圓點(diǎn)代表了相應(yīng)的閾值態(tài),綠色陰影部分表示不能違背Bell-CGLMP不等式的狀態(tài)范圍[56]Fig.19 (a)The linear entropy SLand(b)the fidelity F as the functions of dimension d.The blue dots with error bars are the experimental results.The red dots are the threshold states.The states in green region do not violate the Bell-CGLMP inequality[56]

實(shí)際上,從上個(gè)世紀(jì)六十年代Bell不等式的提出到現(xiàn)在,人們對(duì)經(jīng)典和量子邊界的問(wèn)題做了很多研究,除了根據(jù)局域隱變量理論得到的Bell不等式之外,還有Hardy定理、Steer關(guān)系、非關(guān)聯(lián)隱變量理論、K-S理論[57]、單偶關(guān)系、互文性[58,59]和Leggett關(guān)系[60,61]等。這些關(guān)于經(jīng)典和量子邊界的理論能否借用上述經(jīng)典關(guān)聯(lián)光場(chǎng)的構(gòu)造方法進(jìn)行突破?實(shí)際上,關(guān)于經(jīng)典和量子邊界的問(wèn)題人們一直在不懈地研究,下面列舉一些結(jié)果供讀者參考。如,Zhang等[62]使用經(jīng)典光實(shí)現(xiàn)了Hardy的思想實(shí)驗(yàn);Cabello等[63]對(duì)互文性的經(jīng)典模擬進(jìn)行了理論分析;Li等[64]用經(jīng)典光完成了互文性的實(shí)驗(yàn);Frustaglia等[65]證明了許多量子極限不是量子理論所獨(dú)有的;Kurzy′nski等[66]描述了非局域性與互文性之間的單偶關(guān)系;Zhan等[67]在光子系統(tǒng)中用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了單偶關(guān)系;Li等[68]在實(shí)驗(yàn)上使用經(jīng)典光模擬了互文性和非局域性之間的單偶關(guān)系;Zhang等[69]實(shí)驗(yàn)上觀察到了經(jīng)典光系統(tǒng)中Leggett-Garg不等式的違背,等等。

至此,集中介紹了經(jīng)典光學(xué)狀態(tài)與量子糾纏之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,簡(jiǎn)單回顧了基于軌道角動(dòng)量光學(xué)自由度的局域不可分離態(tài)和空間可分離經(jīng)典關(guān)聯(lián)態(tài)的實(shí)現(xiàn)方法及若干應(yīng)用。接下來(lái),介紹利用軌道角動(dòng)量狀態(tài)來(lái)實(shí)現(xiàn)量子隨機(jī)行走的方案,并介紹其中與狀態(tài)拓?fù)湫再|(zhì)相關(guān)的研究。

4 基于軌道角動(dòng)量光束的隨機(jī)行走研究

經(jīng)典隨機(jī)行走是用來(lái)描述經(jīng)典物理中隨機(jī)現(xiàn)象的一個(gè)理論模型。在經(jīng)典物理中,花粉顆粒的布朗運(yùn)動(dòng)是展示經(jīng)典隨機(jī)現(xiàn)象的一個(gè)典型案例。盡管花粉顆粒受到經(jīng)典隨機(jī)力的作用,當(dāng)觀測(cè)花粉顆粒平均位置的分布時(shí),其展現(xiàn)出的是近乎嚴(yán)格的經(jīng)典高斯型分布,該分布可以用經(jīng)典隨機(jī)行走的理論來(lái)描述。經(jīng)典隨機(jī)行走不僅可以描述經(jīng)典隨機(jī)現(xiàn)象,還可以用于經(jīng)典隨機(jī)算法等方面的研究,因而受到研究者的廣泛關(guān)注。近年來(lái),人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)把量子相干等引入隨機(jī)行走中,可以構(gòu)造出所謂的量子隨機(jī)行走,其在描述隨機(jī)分布中會(huì)展示和經(jīng)典物理完全不同的結(jié)果[70-75]。更進(jìn)一步,研究者發(fā)現(xiàn),由于量子隨機(jī)行走結(jié)合了量子相干等性質(zhì),基于量子隨機(jī)行走實(shí)現(xiàn)的量子算法可以在性能上大大地超過(guò)相應(yīng)的經(jīng)典算法[76-81]。不光基于量子隨機(jī)行走的量子算法研究有了長(zhǎng)足的進(jìn)展,基于量子隨機(jī)行走的拓?fù)湮飸B(tài)研究也受到廣泛的關(guān)注[82-88]。研究者已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上構(gòu)造出基于軌道角動(dòng)量光的量子隨機(jī)行走平臺(tái)來(lái)研究拓?fù)洮F(xiàn)象。由于在自由空間的每個(gè)空間位置可以有多個(gè)不同模式的軌道角動(dòng)量光相干疊加,因而可以在自由空間的一維位置空間里實(shí)現(xiàn)合成維度的二維量子隨機(jī)行走[87]。

實(shí)現(xiàn)二維量子行走的實(shí)驗(yàn)裝置如圖20所示,包含3個(gè)模塊:初態(tài)的制備[圖20(a)],多步的二維量子行走[圖20(b)]和結(jié)果測(cè)量[圖20(c)]。波長(zhǎng)為632.3 nm的He-Ne激光器輸出的高斯光束攜帶的軌道角動(dòng)量(OAM)為0。光束的光強(qiáng)可以通過(guò)一個(gè)半波片和偏振片調(diào)節(jié),可以通過(guò)一個(gè)半波片和四分之一波片組合來(lái)制備其初始的任意偏振態(tài)。在該實(shí)驗(yàn)方案中,二維量子行走的“硬幣”是編碼在光束偏振狀態(tài)上的。實(shí)驗(yàn)使用光的軌道角動(dòng)量和空間位置兩個(gè)自由度來(lái)映射出量子隨機(jī)行走系統(tǒng)的二維位置空間。已有的研究表明:由于經(jīng)典光學(xué)和量子力學(xué)中的相干過(guò)程相似,量子行走實(shí)驗(yàn)可以完全用經(jīng)典光源代替單光子源[89-91]。因此,該方案使用經(jīng)典的連續(xù)光源而不是單光子來(lái)執(zhí)行實(shí)驗(yàn)。

圖20 二維量子行走的實(shí)驗(yàn)方案圖。(a)初態(tài)制備;(b)多步的二維量子行走;(c)探測(cè)裝置;(d)Tx具體包含的器件;(e)光學(xué)器件列表;(f)二維量子行走第一步的具體演化過(guò)程[87]Fig.20 The two-dimentional quantum walk experiments.(a)Preparation of the initial state;(b)The multiple steps of two-dimentional quantum walk;(c)The detection devices;(d)The devices employed in operation Tx;(e)Illustration of the optical elements;(f)Evolution of the state in the first step[87]

二維量子行走的一步演化算符可以描述為

可以通過(guò)一個(gè)半波片作用在光束的偏振態(tài)上實(shí)現(xiàn)硬幣空間的旋轉(zhuǎn)算符實(shí)現(xiàn)裝置為圖20(b)中的R(θ1)和R(θ2)標(biāo)識(shí)的元件。σy和σz是泡利矩陣,參數(shù)θ1(2)是半波片的旋轉(zhuǎn)角度。公式

代表行走者沿著x方向的條件平移算符。使用光束不同的OAM的值代表行者走在x方向上不同的位置,|H〉和|V〉代表光束的水平偏振和豎直偏振態(tài)。條件平移Tx根據(jù)光束偏振態(tài)對(duì)OAM態(tài)執(zhí)行不同的平移操作。具體實(shí)現(xiàn)條件平移Tx的元器件見圖20(d)。通過(guò)雙折射晶體(BD)實(shí)現(xiàn)條件平移

從BD出射的不同空間位置代表行走者沿y方向的不同位置[84,92-94]。

接下來(lái)具體介紹如何在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)條件平移算符Tx和Ty。在本研究組的實(shí)驗(yàn)中,條件平移算符Tx是通過(guò)兩個(gè)半波片和一個(gè)拓?fù)潆姾蔀?.5的q-plate構(gòu)成的三明治結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的,緊跟著的一個(gè)半波片(@0)作為相位補(bǔ)償。q-plate的功能一般來(lái)說(shuō)可以描述為

式中|L〉和|R〉分別代表左旋和右旋圓偏振態(tài)。在兩個(gè)正交的水平偏振態(tài)和豎直偏振態(tài)下,圓偏振態(tài)定義為:其中x的值表示光束OAM的取值,q-plate可以根據(jù)光束的偏振態(tài)|L〉(|R〉)對(duì)光束OAM的狀態(tài)平移2q(-2q)。實(shí)驗(yàn)中使用的q-plate的拓?fù)潆姾蔀閝=0.5。四分之一波片的瓊斯矩陣是

旋轉(zhuǎn)角度β代表QWP的光軸相對(duì)于水平方向旋轉(zhuǎn)β。如圖20(d)所示,兩個(gè)半波片、一個(gè)拓?fù)潆姾蔀?.5的q-plate和一個(gè)半波片組合成了沿x方向的條件平移算符Tx,可表示為

實(shí)驗(yàn)中,每個(gè)q-plate的透過(guò)率高達(dá)92%。在一步的演化過(guò)程中,一個(gè)光斑通過(guò)BD后,根據(jù)不同的偏振態(tài)分成固定間隔為3 mm的兩個(gè)光斑。為了匹配經(jīng)過(guò)多個(gè)BD產(chǎn)生的多個(gè)光斑,定制了包含多個(gè)圖案的q-plate,每一個(gè)圖案的通光孔徑為2.5 mm×2.5 mm,并且相鄰圖案之間的間距為3 mm。條件平移算符Ty是通過(guò)BD實(shí)現(xiàn)的,由于雙折射效應(yīng),一個(gè)光斑通過(guò)BD后,根據(jù)不同的偏振態(tài)分成固定間隔為3 mm的兩個(gè)光斑。通過(guò)角度切割BD,可以實(shí)現(xiàn)水平偏振的光束傳輸方向不變直接透射,而豎直偏振的光束經(jīng)歷了一個(gè)3 mm的空間平移至相鄰的格點(diǎn)。這樣便實(shí)現(xiàn)了條件平移算符Ty的功能。從BD出射的多個(gè)光斑的空間位置代表二維量子行走沿y方向的格點(diǎn)。隨著步驟的增加,從BD出射的光斑數(shù)目也在增加。在本實(shí)驗(yàn)中,最大的一塊BD的尺寸是20 mm×7 mm。

當(dāng)在實(shí)驗(yàn)上搭建了結(jié)合光的軌道角動(dòng)量和空間位置的二維量子隨機(jī)行走平臺(tái)后,就可以研究二維量子隨機(jī)行走的拓?fù)湫再|(zhì)了,如圖21所示。為了觀測(cè)拓?fù)鋺B(tài),需要構(gòu)造不均勻的量子隨機(jī)行走。這是通過(guò)半波片對(duì)位置區(qū)域0≤y

圖21 (a)～(c)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)束縛態(tài)。(a)二維量子行走的相圖;(b),(c)分別代表在綠色方塊參數(shù)下演化算符的本征值λ=e-iε和演化四步的概率分布[圖(b)中紅色點(diǎn)代表束縛態(tài),圖(c)在界面處有局域化的概率分布];(d)～(f)實(shí)驗(yàn)上沒(méi)有觀測(cè)到束縛態(tài)。(d)二維量子行走的相圖;(e),(f)分別代表在紅色三角參數(shù)下演化算符的本征值λ=e-iε圖和二維量子行走演化四步的概率分布圖,誤差棒代表概率的標(biāo)準(zhǔn)差[87]Fig.21 (a)～(c)Experimental observation of the bond states.(a)The phase diagram of the two-dimensional quantum walk,(b)the eigenvalue λ =e-iε of the evolution,and(c)the probability distribution after four steps,under the parameters of the green squares shown in(a).(c)is the localization probability of the interface.(d)～(f)The results without bond states.(d)is also the phase diagram of the two-dimensional quantum walk.(e)and(f)are similar to(b)and(c),while under the parameters of the red triangles shown in(d).The error bar gives the standard deviation of the probability[87]

從圖21(c)可以明顯看出有很強(qiáng)的局域化幾率出現(xiàn)在y=0的界面上,這也是存在邊界態(tài)的一種標(biāo)志。硬幣算符的旋轉(zhuǎn)角度(θ1,θ2,-)和(θ1,θ2,+)分別標(biāo)記在圖21(a)中區(qū)域A和B的綠色方塊上。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度從(θ1,θ2,-)連續(xù)地變換到(θ1,θ2,+)時(shí),二維量子行走需要穿越虛線標(biāo)記的無(wú)帶隙區(qū)域。圖21(b)給出了演化算符U的本征值λ=e-iε。發(fā)現(xiàn)能量為ε=0和ε=π的束縛態(tài)出現(xiàn)在兩個(gè)區(qū)域A和B的陳數(shù)為0的邊界上。在這種情況下,發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)的束縛態(tài)不能用陳數(shù)來(lái)刻畫,并且體邊界定理失效了。

作為對(duì)比,選擇旋轉(zhuǎn)角度(θ1,θ2,-)和(θ1,θ2,+)分別標(biāo)記在圖21(d)中同一區(qū)域A中。接下來(lái)研究在這組參數(shù)下演化算符U的拓?fù)涮匦?。發(fā)現(xiàn)當(dāng)硬幣算符的旋轉(zhuǎn)角度從(θ1,θ2,-)連續(xù)地變換到(θ1,θ2,+)時(shí),二維量子行走的有效哈密頓量不會(huì)經(jīng)過(guò)帶隙閉合的過(guò)程。對(duì)應(yīng)的演化算符U的本征值λ=e-iε顯示在圖21(e)中,此時(shí)沒(méi)有孤立的本征值出現(xiàn)即束縛態(tài)存在。與圖21(b)完全不同的是,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度取同一區(qū)域A中參數(shù)時(shí),幾率分布在界面y=0處迅速下降[如圖21(f)]。結(jié)果表明,在后一種情況下,界面處沒(méi)有束縛態(tài)。

這樣的拓?fù)溥吔鐟B(tài)是具有魯棒性的。在實(shí)驗(yàn)中,本研究組證明了束縛態(tài)對(duì)微小的靜態(tài)擾動(dòng)和無(wú)序的魯棒性。

研究靜態(tài)擾動(dòng)對(duì)圖21(c)界面態(tài)的影響。靜態(tài)擾動(dòng)可以通過(guò)兩種方式引入:微小改變旋轉(zhuǎn)角度的靜態(tài)擾動(dòng)和初始偏振態(tài)的靜態(tài)擾動(dòng)。圖22(b)中的棕色圓圈表示對(duì)圖21(c)中的角度引入微小的擾動(dòng),相應(yīng)角度下演化四步的概率分布顯示在圖22(c)中。在圖22(c)的插圖中,可以看出微小擾動(dòng)后的角度下,紅色實(shí)心圓點(diǎn)的束縛態(tài)仍然存在。發(fā)現(xiàn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度沒(méi)有越過(guò)無(wú)帶隙的區(qū)域,在邊界處總是出現(xiàn)較高的局域化概率。圖22(d)是將圖21(c)初始偏振從|H〉變化為|D〉時(shí)演化四步的概率分布,發(fā)現(xiàn)在邊界上界面態(tài)仍然存在。因此,圖21(c)所示界面態(tài)對(duì)微小的靜態(tài)擾動(dòng)是具有魯棒性的。

圖22 (a)二維量子行走在界面處的局域化幾率Pbound隨步驟的變化圖;(b)二維量子行走的相圖,在兩個(gè)不同的區(qū)域A和B中棕色圓圈、綠色方塊和紅色菱形選取的角度分別對(duì)應(yīng)于圖(c)、(d)和(e)中所使用的角度;(c),(d)束縛態(tài)對(duì)于微小的靜態(tài)擾動(dòng)是魯棒性的;(e),(f)束縛態(tài)對(duì)無(wú)序的魯棒性證明[87]Fig.22 (a)Variation of localization probability Pboundof the interface of two-dimensional quantum walk with the step number;(b)Phase diagram of the two-dimensional quantum walk.In different regions A and B,the angle parameters of the brown circles,green square and the red rhombuses correspond to those used in(c),(d)and(e)respectively;(c),(d)indicate the robustness of the bond states under small perturbations;(e),(f)prove that the bond states are robust against the disorders[87]

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度引入無(wú)序后,也在實(shí)驗(yàn)上證明了拓?fù)涫`態(tài)仍然存在。實(shí)驗(yàn)上,無(wú)序是通過(guò)在旋轉(zhuǎn)角度θ2±上加上一個(gè)在區(qū)間[-2π/9,2π/9]上滿足均勻分布的隨機(jī)擾動(dòng)δθ。隨機(jī)選取十組角度,對(duì)得到的十組概率分布取平均值,相應(yīng)的概率分布顯示在圖22(f)中。圖22(e)給出了旋轉(zhuǎn)角度沒(méi)有加入無(wú)序時(shí)演化的結(jié)果。通過(guò)對(duì)比,可以看出二維量子行走在有無(wú)序的參數(shù)條件下的概率分布[圖22(f)]高度相似于沒(méi)有加入無(wú)序的參數(shù)下[圖22(e)]的概率分布。因此,這些結(jié)果證明了界面態(tài)對(duì)無(wú)序的魯棒性。

通常情況下,人們認(rèn)為拓?fù)浔Ｗo(hù)的束縛態(tài)會(huì)出現(xiàn)在兩個(gè)具有不同拓?fù)湎嗟膮^(qū)域的界面處,而本研究組的研究結(jié)果表明,在兩個(gè)拓?fù)湎嘞嗤?陳數(shù)為0)的區(qū)域界面處,也存在拓?fù)浔Ｗo(hù)的束縛態(tài),這種現(xiàn)象不符合以往在靜態(tài)系統(tǒng)中對(duì)于陳數(shù)的理解,而是周期性驅(qū)動(dòng)的離散隨機(jī)行走中特有的現(xiàn)象。在二維量子行走系統(tǒng)中,本研究組從實(shí)驗(yàn)上證明了反常的拓?fù)浔Ｗo(hù)的束縛態(tài)的存在。該研究結(jié)果豐富了人們對(duì)拓?fù)湎嗟睦斫?并為研究高維量子隨機(jī)行走的拓?fù)洮F(xiàn)象提供了一種新途徑。

5 總結(jié)

對(duì)近年來(lái)有關(guān)軌道角動(dòng)量光束中經(jīng)典光關(guān)聯(lián)及其應(yīng)用的研究做了介紹。從信息科學(xué)的角度而言,光學(xué)的軌道角動(dòng)量自由度提供了一種重要的編碼方式。軌道角動(dòng)量態(tài)自身構(gòu)成了一個(gè)高維空間,因此一個(gè)包含多組軌道角動(dòng)量態(tài)的光束自身就可以編碼多個(gè)bit的信息。這種高維編碼盡管實(shí)際上與二進(jìn)制編碼等效,但有機(jī)會(huì)實(shí)現(xiàn)單個(gè)信道容量的提升,以及信息操作方面的化簡(jiǎn)。此處介紹的許多工作都展示了其在該方面的性質(zhì)。從探測(cè)技術(shù)的角度而言,軌道角動(dòng)量態(tài)在垂直于光場(chǎng)傳播方向上可以提供相位梯度,這使得利用軌道角動(dòng)量光束照射行動(dòng)物體之后得到的回波,可以獲取物體的橫向運(yùn)動(dòng)信息。這種性質(zhì)對(duì)遠(yuǎn)程探測(cè)技術(shù)十分重要,尤其是在推廣到雷達(dá)技術(shù)時(shí)有著很大的應(yīng)用潛力。本文主要著眼于物理問(wèn)題的研究和總結(jié),因此涉及這些方面的介紹相對(duì)較少。另外,與經(jīng)典光關(guān)聯(lián)相結(jié)合,軌道角動(dòng)量狀態(tài)有了更大的發(fā)揮空間。一些基于量子特性的光通信方案可以通過(guò)含有軌道角動(dòng)量自由度的經(jīng)典關(guān)聯(lián)態(tài)(包括局域不可分離態(tài))來(lái)對(duì)應(yīng)實(shí)現(xiàn)。這樣的實(shí)現(xiàn)方法相較于傳統(tǒng)通信方案是一種改進(jìn),并且不需要引入類似量子光源的相對(duì)苛刻的裝置。在探測(cè)技術(shù)上,量子度量學(xué)理論提供了一種在精度上優(yōu)于傳統(tǒng)探測(cè)的方案。相信通過(guò)結(jié)合軌道角動(dòng)量狀態(tài)與經(jīng)典關(guān)聯(lián),量子度量學(xué)中的基于量子光的探測(cè)方案也可以通過(guò)經(jīng)典系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。實(shí)際上,這些相關(guān)的研究也暗示了可能并非所有的“量子優(yōu)勢(shì)”都是量子系統(tǒng)所獨(dú)有的特點(diǎn)。在特殊經(jīng)典系統(tǒng)中構(gòu)造出類似優(yōu)勢(shì),無(wú)論對(duì)量子理論還是經(jīng)典理論而言都是一種發(fā)展。

總之,目前關(guān)于光學(xué)軌道角動(dòng)量態(tài)調(diào)控的研究實(shí)際上還處于初步階段,如何構(gòu)造出高效的角動(dòng)量調(diào)控元件依然是一個(gè)重要的研究課題。這樣的元件勢(shì)必會(huì)使軌道角動(dòng)量態(tài)在光通信或者光信息處理過(guò)程中更好地發(fā)揮上述優(yōu)勢(shì)。