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      高考多選題的命制類型與破解策略

      2022-04-16 14:51:20江蘇省木瀆高級中學
      中學數(shù)學 2022年13期
      關(guān)鍵詞:多選題那契三棱錐

      ?江蘇省木瀆高級中學 倪 馨

      1 引言

      2020年新高考山東卷、海南卷數(shù)學試題出現(xiàn)了創(chuàng)新性的試題類型——多選題,是一種正確選項數(shù)目多于1個且少于等于4個的選擇題題型.選出1個或幾個正確答案而沒有選出全部正確答案的得3分,選錯1個得0分,全部選對得5分.充分體現(xiàn)了“破定式,考真功,分層次”的命題理念,更能全面考查學生的數(shù)學知識、數(shù)學能力和數(shù)學核心素養(yǎng),有利于區(qū)分與選拔合格的考生,有效把握數(shù)學本質(zhì),啟發(fā)思考,改進數(shù)學教學.

      2 基于問題多解的判定

      例1(2021屆江蘇省姜堰中學、如東中學、沭陽中學高三上期中數(shù)學聯(lián)考試卷·12)已知函數(shù)f(x)=x2-4x+(m2-m)(ex-2+e2-x)(e為自然對數(shù)的底數(shù))有唯一零點,則實數(shù)m的值可以為( ).

      A.1 B.-1 C.2 D.-2

      分析:結(jié)合函數(shù)解析式的變形與轉(zhuǎn)化,引入?yún)?shù)并構(gòu)造新函數(shù),利用函數(shù)奇偶性及函數(shù)圖象的對稱性,結(jié)合函數(shù)有唯一零點的條件來確定相應的函數(shù)零點值,從而建立對應的方程,直接求解相應的參數(shù)值.

      解析:由于函數(shù)f(x)=x2-4x+(m2-m)(ex-2+e-x+2)=(x-2)2-4+(m2-m)(ex-2+e-x+2),令t=x-2,則g(t)=t2-4+(m2-m)(et+e-t),其函數(shù)的定義域為R.又g(-t)=(-t)2-4+(m2-m)·(e-t+et)=g(t),故函數(shù)g(t)為偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,那么要使得函數(shù)f(x)有唯一零點,則必須滿足f(2)=0,于是4-8+2(m2-m)=0,解得m=-1或2.

      故選:BC.

      3 基于命題真假的判定

      例2如圖1,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P是空間中任意一點,下列說法正確的是( ).

      圖1

      “我為這些同事們感到驕傲,也非常敬佩。雖然可能有些委屈或痛苦,但他們一定都還是會克服這些困難,盡最大努力和可能來完成自己的工作?!睒s鷹說。

      C.若點P在半圓弧CD上運動,當三棱錐P-ABC的體積最大時,三棱錐P-ABC的外接球的表面積為2π

      分析:選項A中,結(jié)合異面直線所成的角的確定與求解來判斷;選項B中,通過三角形與四邊形的展開,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來確定動線段之和的最小值問題;選項C中,利用同底的三棱錐中高最大時相應的體積最大來確定點P的位置,進而確定三棱錐的外接球的半徑,得以求解球的表面積;選項D中,結(jié)合平面α與正方體每條棱所成的角都相等,轉(zhuǎn)化為過同一頂點的三條棱所成的角都相等,數(shù)形直觀來確定截面的最大位置并確定圖形特征,得以確定相應的面積.

      圖2 圖3

      圖4 圖5

      故選:ACD.

      4 基于創(chuàng)新背景的判定

      例3(2021屆福建省廈門重點中學高三上學期12月適應性考試數(shù)學試題·12)意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯數(shù)學理論的歐洲人,斐波那契數(shù)列被譽為最美的數(shù)列,斐波那契數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*).若將數(shù)列的每一項按照圖6所示的方法放進格子里,每一小格子的邊長為1,記前n項所占的格子的面積之和為Sn,每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為cn,則下列結(jié)論正確的是( ).

      圖6

      A.a2020是偶數(shù)

      B.a1+a2+a3+……+an=an+2-1

      D.4(cn-cn-1)=πan-2·an+1

      分析:結(jié)合數(shù)學文化背景利用已知條件,根據(jù)斐波那契數(shù)列的遞推規(guī)律,利用數(shù)論中數(shù)列各項的奇偶變化規(guī)律、數(shù)學歸納法、遞推數(shù)列的特征方程的建立與求解,以及扇形面積的轉(zhuǎn)化與關(guān)系式的確定等,來分別判斷各選項的真假情況.

      解析:a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*).

      對于選項A,結(jié)合斐波那契數(shù)列及數(shù)論規(guī)律可知,a3k+1,a3k+2均為奇數(shù),a3k為偶數(shù),而a2020=a3×673+1,則知a2020是奇數(shù),故選項A錯誤;

      對于選項B,當n=1時,a1=a3-1成立;

      假設n=k(k∈N*)時,a1+a2+a3+……+ak=ak+2-1成立,那么當n=k+1時,等式左邊=a1+a2+a3+……+ak+ak+1=ak+2-1+ak+1=ak+3-1,即當n=k+1時等式也成立,故選項B正確;

      故選:BCD.

      5 結(jié)論

      高考多選題的引入與設置,給數(shù)學試卷帶來了創(chuàng)新的亮點,在考查學生基礎知識和基本能力這一主線上,注重基礎性、綜合性和應用性的同時,突出了數(shù)學核心概念,強化了基礎知識和基本技能的有效落實,強調(diào)以核心素養(yǎng)為導向,給不同層次的學生增加了得分機會,也更精準地測試和區(qū)分不同層次學生的數(shù)學基礎和數(shù)學能力水平.

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