題型主要集中于三棱錐的外接球,這是一種常規(guī)題型,在解題方面有很多研究結(jié)果,也分得很細(xì),但本人認(rèn)為分兩類(lèi)即可:一類(lèi)是存在一條棱和表面垂直的三棱錐,這是最常見(jiàn)的一種;另一類(lèi)是沒(méi)有棱和表面垂直的三棱錐,這又具體表現(xiàn)在正三棱錐、一條棱所對(duì)的所有角均為直角的三棱錐、已知二面角的三棱錐和長(zhǎng)方體面對(duì)角線為棱的三棱錐.解決這類(lèi)問(wèn)題的核心思想是確定球心位置,所以解題的關(guān)鍵在于尋找外接球的球心,要確定外接球球心,首先要明確三棱錐和球的關(guān)系:三棱錐是球的內(nèi)接三棱錐.如果以三棱錐

體是一類(lèi)特殊的三棱錐,根據(jù)三對(duì)棱的長(zhǎng)度關(guān)系,可以把它放在對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體、正四棱柱以及正方體中,進(jìn)而解決有關(guān)問(wèn)題.1 長(zhǎng)方體模型在四面體A-BCD中,若AB＝CD,BD＝AC,AD＝BC,則可把四面體A-BCD放在長(zhǎng)方體中進(jìn)行研究,進(jìn)而解決有關(guān)問(wèn)題.例1在三棱錐A-BCD中,AB＝CD＝2,AD＝BC＝3,AC＝BD＝4,求三棱錐A-BCD的外接球的體積.解析如圖1 所示,把三棱錐A-BCD放在長(zhǎng)方體AECF-HDGB中,設(shè)HB＝x,HD＝y(tǒng),HA＝z,則可得

個(gè)難點(diǎn).2 正三棱錐的內(nèi)切球與外接球半徑圖1(1)求正三棱錐的外接球半徑已知正三棱錐P-ABC，底面三角形ABC的邊長(zhǎng)為b，側(cè)棱長(zhǎng)為a，PF⊥面ABC，F(xiàn)為垂足，求其外接球半徑R.(2)求正三棱錐的內(nèi)切球半徑圖2已知三棱錐P-ABC為正三棱錐，底面三角形ABC的邊長(zhǎng)為b，側(cè)棱長(zhǎng)為a，求其內(nèi)切球半徑r.第一步：如圖2，取AB中點(diǎn)D，連接PD，CD.設(shè)點(diǎn)E,H分別為球與平面APD和平面ACD的切點(diǎn)，圓O為截面圓.3 培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想在研究正三棱錐內(nèi)切球的

1.如圖1，在三棱錐P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=3，PA，BC的公垂線ED=2，求三棱錐P-ABC體積.解：我們無(wú)法直接運(yùn)用公式求出三棱錐P-ABC的體積，于是采用割補(bǔ)法，通過(guò)添加輔助線，將三棱錐P-ABC分割為兩個(gè)直三棱錐B-APD和C-APD，再根據(jù)直三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.例2.解：幾何體A1-EBFD1為不規(guī)則幾何體，需運(yùn)用割補(bǔ)法，把該幾何體分割為三棱錐B-A1EF和三棱錐D1-A1EF，然后根據(jù)錐體的體積公式求出兩個(gè)三棱錐的體積，

個(gè)難點(diǎn).2 正三棱錐的內(nèi)切球與外接球半徑圖1(1)求正三棱錐的外接球半徑已知正三棱錐P-ABC，底面三角形ABC的邊長(zhǎng)為b，側(cè)棱長(zhǎng)為a，PF⊥面ABC，F(xiàn)為垂足，求其外接球半徑R.(2)求正三棱錐的內(nèi)切球半徑圖2已知三棱錐P-ABC為正三棱錐，底面三角形ABC的邊長(zhǎng)為b，側(cè)棱長(zhǎng)為a，求其內(nèi)切球半徑r.第一步：如圖2，取AB中點(diǎn)D，連接PD，CD.設(shè)點(diǎn)E,H分別為球與平面APD和平面ACD的切點(diǎn)，圓O為截面圓.3 培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想在研究正三棱錐內(nèi)切球的

球的考題大多與三棱錐結(jié)合，考查三棱錐的外接球及其變式.因此筆者由2019年的高考真題出發(fā)，就三棱錐外接球知識(shí)展開(kāi)了微專(zhuān)題復(fù)習(xí)，借助學(xué)生熟悉的長(zhǎng)方體為背景層層變式，對(duì)三棱錐外接球考題從尋找球心位置這一本源角度出發(fā)進(jìn)行了分類(lèi)探究，通過(guò)例題及其層層變式，提升學(xué)生應(yīng)對(duì)外接球考題的策略和能力.一、母題的選取及分析【母題】(2019·全國(guó)卷Ⅰ理·12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,F分別是PA,AB的

見(jiàn)的幾何體，如三棱錐、四棱錐、五棱錐等．有些棱錐的高很難找到或求得，此時(shí)我們可以將棱錐補(bǔ)成棱柱，如將正三棱錐補(bǔ)為正方體，將對(duì)棱的長(zhǎng)相等的三棱錐補(bǔ)為長(zhǎng)方體，再根據(jù)正方體、長(zhǎng)方體的性質(zhì)，便能快速求得三棱錐的邊、角的大小，從而使問(wèn)題順利獲解，例1．如圖1所示，三棱錐S-ABCD的所有棱長(zhǎng)都為√2，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積為（）．我們僅根據(jù)三棱錐的特征，很難確定其外接球的球心，為了便于計(jì)算，需采用補(bǔ)形法，將正三棱錐補(bǔ)形為正方體，那么正方體的中心即為三棱錐

系列教學(xué)片段“三棱錐”為例進(jìn)行說(shuō)明.2.1 教學(xué)框架人教A 版《數(shù)學(xué)2》(必修) 第八章“立體幾何初步”中,“基本立體圖形”“立體圖形的直觀圖”“簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積”“空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”“空間直線、平面的平行”和“空間直線、平面的垂直”等六小節(jié)中都有以三棱錐為載體的教學(xué)內(nèi)容,可以分解出5 個(gè)跨課時(shí)的系列教學(xué)片段,分別是:三棱錐的結(jié)構(gòu)、三棱錐的直觀圖、三棱錐的表面積和體積、三棱錐與球體的切接問(wèn)題、三棱錐中的平行與垂直關(guān)系.這些教學(xué)片段的

得最大值時(shí),該三棱錐的外接球表面積為_(kāi)___.解析 方法一(坐標(biāo)法)在ΔACD中, 由余弦定理可得:cos ∠CAD=因?yàn)椤螩AD ∈(0,π), 所以∠CAD=在ΔABC中, 由余弦定理可得:cos ∠CAB=因?yàn)椤螩AB ∈(0,π),所以∠CAB=,所以∠BAD=,又因?yàn)锳B=AD=所以ΔABD為等腰三角形,BD= 2,設(shè)AC、BD交于點(diǎn)F,因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中,AB=AD,CB=CD,所以AC ⊥BD,則AF=BF=DF=D′F=1,因?yàn)锳C=4

補(bǔ)體法例1 若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且長(zhǎng)度分別為：1，2，3，則此三棱錐外接球的表面積為_(kāi)___.分析共點(diǎn)的三條線兩兩垂直，讓我們想到了長(zhǎng)方體的一個(gè)角.據(jù)此我們把此三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體.如圖1,則三棱錐A′-AB′D′的外接球和長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′的外接球相同，因此原問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)方體的外接球問(wèn)題，大大降低了題目的難度.圖1=14π.變式在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC.若AB=2,BC=3,PA=4，求該三棱錐外接球的

.例1.已知正三棱錐P—ABC的4個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上且PA= ，AB=2.求球O的半徑.解析：本題主要考查了正三棱錐的定義與性質(zhì)以及正三棱錐外接球半徑的求法. 一般地，若正棱錐底面外接圓的半徑為r，高為P =h，其外接球的球心為O、半徑為R，由正棱錐的性質(zhì)可得O點(diǎn)在射線P 上，則 .我們可以利用該思路來(lái)解題. 解：如圖1，分別取BC、AC的中點(diǎn)D、E，連接AD、BE交于 ?，則 為正三角形ABC的外心，連接P .P—ABC是正三棱錐，由正棱錐的性質(zhì)和射影

柱的外接球，正三棱錐的外接球和內(nèi)切球，正四面體的外接球和內(nèi)切球等都是常見(jiàn)的模型.1.長(zhǎng)方體的外接球圖1 2.正方體的外接球和內(nèi)球球3.正三棱柱的外接球設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1的高為h,底面邊長(zhǎng)為a,如圖2，D 和D1分別為上下底面的中心，則球心必落在高DD1的中點(diǎn)O 上，圖2 4.對(duì)棱相等的三棱錐（等腰四面體）的外接球?qū)庀嗟鹊?span id="j5i0abt0b" class="hl">三棱錐（等腰四面體）S-ABC 中，SA=BC=a,SC=AB=b,SB=AC=c,則三棱錐S-ABC外接球半徑R=證明：構(gòu)

詞“說(shuō)數(shù)學(xué)”;三棱錐;教學(xué)方法中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2020）12-0202-01充分發(fā)揮“說(shuō)數(shù)學(xué)”在教學(xué)中的作用，讓學(xué)生在積極地探索中不僅學(xué)會(huì)做數(shù)學(xué)，而且善于說(shuō)數(shù)學(xué)，充分發(fā)揮“說(shuō)數(shù)學(xué)”在教學(xué)中的作用，使學(xué)生的知識(shí)水平、能力結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)習(xí)慣在說(shuō)數(shù)學(xué)的過(guò)程中得到充分的成長(zhǎng)、發(fā)展和延伸。一、以三棱錐為研究對(duì)象下面以三棱錐為研究對(duì)象，為評(píng)價(jià)其線面關(guān)系、計(jì)算等的學(xué)習(xí)效果，故采用“說(shuō)數(shù)學(xué)”和全班參與的方式進(jìn)行教學(xué)效果檢驗(yàn)。

解決三角形以及三棱錐的邊的線段定比分點(diǎn)問(wèn)題.二、在平面中求解線段的比例例1如圖1,在?ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn),且DC=2BD,點(diǎn)E為AC上一點(diǎn),且AE=3EC,連接AD與BE,設(shè)交點(diǎn)為F,求的值.圖1分析該問(wèn)題可以通過(guò)構(gòu)造向量求解,也可通過(guò)構(gòu)造輔助線利用三角形相似求解,但難度都較大,且不容易推廣.接下來(lái),本文就通過(guò)上文中的找重心的方法求解.解析通過(guò)給A,B,C三點(diǎn)處賦予質(zhì)量(連接的線段沒(méi)有質(zhì)量),使得點(diǎn)F為?ABC

的重點(diǎn)內(nèi)容,而三棱錐作為空間中最簡(jiǎn)單的多面體,一直備受命題者的青睞,尤其是以三棱錐為載體求外接球的表面積和體積等問(wèn)題,這類(lèi)題目抽象,解法靈活多變,對(duì)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及運(yùn)算求解能力要求較高,常令許多學(xué)生陷入困境.本文結(jié)合實(shí)例,根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中三棱錐的特點(diǎn),談?wù)劷鉀Q三棱錐外接球半徑的幾種方法,以期對(duì)一線教師的教學(xué)提供參考.方法一 利用長(zhǎng)方體求三棱錐外接球半徑根據(jù)球的幾何性質(zhì),到幾何體各個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)即為其外接球球心,因此,長(zhǎng)方體的兩條體對(duì)角

球問(wèn)題，特別是三棱錐的外接球問(wèn)題，是高中各類(lèi)考試中的常見(jiàn)題型，此類(lèi)題型主要考查三棱錐外接球的體積或表面積的求解.解決這類(lèi)題的關(guān)鍵在于求出三棱錐外接球的半徑，即找到球心所在的位置.筆者下面以一道2019年全國(guó)高考試題為例，探究三棱錐外接球問(wèn)題的解法，供大家參考.一、題目 (2019年高考新課標(biāo)Ⅰ卷理)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為()

情況下大都結(jié)合三棱錐考察外接球問(wèn)題.怎樣才能更好地解決和突破外接球問(wèn)題,成為了老師和學(xué)生所渴望得到的答案.通過(guò)大量題目的分析,發(fā)現(xiàn)解決三棱錐的外接球問(wèn)題的方法一般有兩個(gè).第一個(gè)方法是補(bǔ)形,第二個(gè)方法是構(gòu)造直角三角形.以下將對(duì)上述兩個(gè)方法逐一進(jìn)行討論.一 利用補(bǔ)形法解決三棱錐的外接球問(wèn)題《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)立體幾何初步的學(xué)習(xí)提出了基本要求:“在立體幾何初步部分,學(xué)生將先從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手,認(rèn)識(shí)空間圖形;再以長(zhǎng)方體為載體,直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)

積轉(zhuǎn)換法當(dāng)所給三棱錐的體積不便計(jì)算時(shí)，如能依據(jù)題設(shè)條件，細(xì)察幾何體的特征，合理地轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)和底面，往往有利于解決問(wèn)題.變換圖形是處理體積問(wèn)題最常用的策略.例1 如圖1，在正方體ABCD-A1BlClDl中，AA1=2，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)，求三棱錐F-A1ED1的體積.分析 本題求三棱錐F-A1ED1的體積.顯然，無(wú)論把該三棱錐的哪一個(gè)面當(dāng)做底面，其底面積與高都不易求，于是我們可以考慮轉(zhuǎn)化底面或頂點(diǎn)，使問(wèn)題獲解.二、分割法如果給出的幾何體比較復(fù)雜，

、選擇題1.正三棱錐的正視圖如圖l所示，則側(cè)視圖的面積為（）。2.某三棱錐的三視圖如圖2所示，則該三棱錐的體積是（）。3.如圖3，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（）。4.某空間幾何體的三視圖如圖4所示，則該幾何體的外接球的體積為（）。5.如圖5所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，圖5畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）。

明。使不等式在三棱錐中適用，實(shí)現(xiàn)了在立體空間內(nèi)的應(yīng)用，在對(duì)不等式的不斷探索中學(xué)習(xí)到許多前人對(duì)這個(gè)不等式的加強(qiáng)，并為我對(duì)不等式的探索打開(kāi)了新的世界。關(guān)鍵詞：不等式;面積法;均值不等式;三棱錐一、不等式的證明不等式是由數(shù)學(xué)家于1935年提出的，1937年，Louis Joel Mordell 和D.F. Barrow給出了這個(gè)不等式的證明，之后，后人又給出了許多更加簡(jiǎn)單的證明方法，而這個(gè)不等式是由和Louis JoelMordell這兩位數(shù)學(xué)家的名字命名的。定

方體解析因?yàn)檎?span id="j5i0abt0b" class="hl">三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩互相垂直,所以可以把該正三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體(如圖), 正三棱錐P-ABC的外接球即為以PA,PB,PC為棱的正方體的外接球, 球心為正方體的中心，正方體的體對(duì)角線為正三棱錐外接球的直徑.點(diǎn)評(píng)該題若直接利用三棱錐來(lái)考慮不易入手，且難度較大.但若能注意到條件中的三條棱兩兩互相垂直,把正三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體來(lái)考慮，利用正方體的體對(duì)角線為該正三棱錐外接球的直徑，并找到球心是破解此題的關(guān)鍵.例2 如圖，在等腰梯

主要分兩類(lèi)——三棱錐與球，三棱錐與球，于是，相應(yīng)的復(fù)習(xí)關(guān)注也就是這兩類(lèi)關(guān)系.1 三棱錐與球1.1 三棱錐四個(gè)面直角三角形的個(gè)數(shù)與球的模型（2）四個(gè)直角三角形（圖3、4）：球心是最長(zhǎng)邊的中點(diǎn).（3）兩個(gè)直角三角形（圖5、6）：有線面垂直的條件，補(bǔ)為直三棱柱，球心在兩底面外心連線中點(diǎn)，兩個(gè)直角三角形（圖7、8）：沒(méi)有線面垂直的條件（如圖矩形沿對(duì)角線翻折成三棱錐），球心是公共斜邊中點(diǎn).（4）一個(gè)直角三角形：其余三個(gè)三角形無(wú)等腰等特殊性，計(jì)算很繁瑣，沒(méi)有研究?jī)r(jià)值.

學(xué)們的易錯(cuò)點(diǎn),三棱錐的外接球考查尤為常見(jiàn),錯(cuò)誤率也很高,其實(shí)球的接切問(wèn)題是有規(guī)律可循的。下面通過(guò)一些例題來(lái)具體講解:一、規(guī)則幾何體外接球的常見(jiàn)結(jié)論1.正方體與球。設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a。2.長(zhǎng)方體的外接球。長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上,故長(zhǎng)方體存在外接球。設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為a,b,c,其體對(duì)角線為l,球的半徑為3.正四面體的外接球與內(nèi)切球。正四面體作為一個(gè)規(guī)則的幾何體,它既存在外接球,也存在內(nèi)切球,并且兩心合一,利用這點(diǎn)可順利解決球的半徑與正四面體的棱長(zhǎng)關(guān)系。設(shè)正

參與。1.一個(gè)三棱錐的正視圖和俯視圖如圖1所示,則該三棱錐的側(cè)視圖可能為( )。圖12.某四棱錐的三視圖如圖2所示,則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為( )。A.3B.2C.2D.2圖23.如圖3,在三棱錐D-ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分別是棱DC,AB的中點(diǎn),則EF和AC所成的角等于( )。圖3A.30° B.45°C.60° D.90°4.如圖4所示,已知正方體ABCDA1B1C1D1,點(diǎn)P,Q,R分別是線段B1B,AB和A1C上的動(dòng)點(diǎn),觀察直

不鮮，尤其是以三棱錐作為背景設(shè)置外接球問(wèn)題較多，三棱錐外接球問(wèn)題靈活多變，確定球心的位置是解決此類(lèi)問(wèn)題的切入點(diǎn)，也是解題的難點(diǎn)，本文從三個(gè)視角探究三棱錐外接球問(wèn)題的求解方法，以供參考.視角一底面外心沿垂線方向確定球心位置由外接球性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，三棱錐外接球的球心在底面投影即為底面三角形的外心，由此可知，球心位置可在底面三角形的外心沿垂線方向來(lái)確定.類(lèi)型1底面特殊三角形外心沿垂線方向確定球心位置例1正四面體P-ABC邊長(zhǎng)為a，求其外接球的表面積為

： 如下圖，在三棱錐中，且，試求三棱錐外接球的表面面積。分析：因?yàn)?span id="j5i0abt0b" class="hl">三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，由此可得過(guò)三棱錐的一個(gè)頂點(diǎn)有三條棱兩兩垂直（稱(chēng)為“共點(diǎn)三垂直”），此時(shí)可將此三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，此三棱錐的外接球即正方體的外接球。解：如上圖把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，其棱長(zhǎng)為，由此正方體的外接球就是三棱錐的外接球。設(shè)其外接球的半徑為；則有?！?。故其表面積。小結(jié)： 一般地，若三棱錐在同一頂點(diǎn)處的三條側(cè)棱兩兩垂直（既出現(xiàn)共點(diǎn)三垂直），且其長(zhǎng)度分別為a、b、c，則可以將這

】本文針對(duì)已知三棱錐的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度及其相互夾角大小的情況，對(duì)三棱錐進(jìn)行了綜合探究，探究出了該條件下三棱錐的體積式，并將其用于證明了奔馳定理在空間中的類(lèi)推式。在此基礎(chǔ)上，本文引出了一種求物體高度與線面角的方法，并探究出了該已知條件下三棱錐的內(nèi)接球半徑式與外接球半徑式?！娟P(guān)鍵詞】三棱錐 體積式 奔馳定理 內(nèi)接球半徑式 外接球半徑式【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）07-0142-03引言在許多

的值最大時(shí)，則三棱錐B1-ADD1的高為_(kāi)_________.解析：如圖所示，設(shè)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的半徑為R，|AB|=a,|AD|=b,|AA1|=c.由4πR2=4π，解得R=1.由長(zhǎng)方體外接球的球心為體對(duì)角線AC1的中點(diǎn)O，得|AC1|=2R=2，則a2+b2+c2=4.當(dāng)且僅當(dāng)a2=b2+c2時(shí)等號(hào)成立，又a2+b2+c2=4，而三棱錐B1-ADD1的高B1A1的長(zhǎng)|B1A1|=|AB|=a,二、補(bǔ)形法對(duì)于一些比較特殊的多面體

本方法。在解決三棱錐的外接球問(wèn)題時(shí)，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，有的可以補(bǔ)形成長(zhǎng)方體或正方體或三棱柱解決；有的可以通過(guò)軸截面尋找底面外接圓半徑和球心到該底面的距離，利用勾股定理解決；有的可以通過(guò)截面挖出三角形解決；有的可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法解決?！娟P(guān)鍵詞】 轉(zhuǎn)化與化歸 三棱錐 外接球 方法研究【中圖分類(lèi)號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2018）05-006-020

鈍角三角形.直三棱錐可補(bǔ)形成直三棱柱，其外接球球心與對(duì)應(yīng)的直三棱柱相同.例1(2009全國(guó)Ⅰ卷理科) 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于____.題源變式可變?yōu)橹?span id="j5i0abt0b" class="hl">三棱錐A1-ABC，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠CAB=60°或90°或120°，求外接球表面積；二、直四棱柱及其補(bǔ)形體在實(shí)際解題中，通常還考查正方體、長(zhǎng)方體及其補(bǔ)形體的外接球問(wèn)題，常見(jiàn)的有四類(lèi)幾何體可通過(guò)補(bǔ)形成正

長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三棱錐，我們都可以將之補(bǔ)成長(zhǎng)方體，從而快速解題.那么由長(zhǎng)方體頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐究竟有哪些類(lèi)型呢？模型1：（三棱互垂型）棱面垂直，底面是直角三角形如圖1，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是直角三角形，PA=a，△ABC兩直角邊分別為b，c，則其外接球的半例 1.在四面體SABC中，SA⊥平面 ABC,∠ABC=90°，SA=AC=2，AB=1，則其外接球的表面積為_(kāi)________。解析：如圖2，這個(gè)三棱錐互垂的三棱分別為SA

414000)三棱錐是常見(jiàn)的最簡(jiǎn)單的幾何體，也是高考對(duì)幾何體考查常常青睞的背景對(duì)象. 許多三棱錐問(wèn)題直接解決比較困難，但如果將三棱錐還原成一個(gè)長(zhǎng)方體，問(wèn)題往往就迎刃而解.一、棱長(zhǎng)都相等的三棱錐?正方體圖1 圖2圖3解析此題情境設(shè)置簡(jiǎn)潔，解決方法也多，通?？梢钥紤]作出對(duì)棱的公垂線段再轉(zhuǎn)化為直角三角形求解. 不過(guò)若能意識(shí)到把這個(gè)正四面體置于一個(gè)正方體結(jié)構(gòu)中(如圖2)，則瞬間得到結(jié)果，所求距離就是該正方體的棱長(zhǎng)，為1，選A.點(diǎn)評(píng)正四面體的可以通過(guò)正方體切割得到，

墻角錐若在一個(gè)三棱錐中,共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直,那么我們可以把它補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體.例1 三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,三_個(gè)側(cè)面的面積分別是則該三棱錐的外接球的體積是( )圖1(二)三對(duì)對(duì)棱分別相等的四面體若一個(gè)三棱錐的三對(duì)對(duì)棱分別相等,那么我們可以把這個(gè)三棱錐看成是由一個(gè)長(zhǎng)方體的六個(gè)面對(duì)角線構(gòu)成的.例2 在三棱錐A-BCD中,則三棱錐A-BCD外接球的半徑為_(kāi)__.分析如圖2,易得a=1,b=1,c=2,所以圖2(三)四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐利

考查比較多的是三棱錐的外接球，那么具有什么結(jié)構(gòu)特征的三棱錐可以補(bǔ)為長(zhǎng)方體呢？從長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)構(gòu)成三棱錐，這樣的三棱錐有什么結(jié)構(gòu)特征，反過(guò)來(lái)說(shuō)，具有這種結(jié)構(gòu)特征的三棱錐就可以補(bǔ)為長(zhǎng)方體。為了能夠快速、全面地找見(jiàn)符合條件的三棱錐，可以按照一個(gè)表面上取的點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)分類(lèi)：1.當(dāng)面ABCD內(nèi)取三個(gè)點(diǎn)：比如A，B，D時(shí)，第四個(gè)點(diǎn)只能從面A1B1C1D1中來(lái)取。①當(dāng)取點(diǎn)A1時(shí)，三棱錐A-A1BD的四個(gè)面中的△A1AB，△A1AD，△BAD皆為直角三角形，直角

樣一個(gè)問(wèn)題：在三棱錐P-ABC中，若PA=PB=PC，則頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)△ABC的（ ）心。在9班上課時(shí)，我們過(guò)P做平面ABC的垂線記垂足為O，然后證明△POA≌△POB≌△POC，從而得到O為△ABC的外心，學(xué)生沒(méi)有任何異議；而在5班上課時(shí)，5班學(xué)生思維很活躍，呂同學(xué)就問(wèn)：”老師，這個(gè)三棱錐是不是正三棱錐？”很多同學(xué)直覺(jué)認(rèn)為該三棱錐一定是個(gè)正三棱錐；于是呂同學(xué)又問(wèn)：“那么正三角形四心合一，這道題不是答案不唯一么？”張同學(xué)也說(shuō)：“如果是正三棱錐，則O是

A1的中點(diǎn)。設(shè)三棱錐F-A D E的體積為V1,三棱柱A1B1C1-A B C的體積為V2,則V1∶V2=。解法1:注意三棱錐和三棱柱它們的底面和高之間的關(guān)系,可用公式法求體積比。設(shè)三棱錐F-A D E的高為h,則解法2:構(gòu)造輔助的三棱錐。連接A1C,AB,則V=V,而VV,所11A1-ABCA1-ABC2以V=V。12解法3:特殊化處理。若三棱柱A1B1C1-A B C為正三棱柱,設(shè)A B=2,A A1=2,則V2=S h=×22×2=2,V1××1=,

簡(jiǎn)單的多面體即三棱錐與四棱柱的關(guān)系。首先，我們追究一下三棱錐的概念：一個(gè)底面是三角形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做三棱錐。再看四棱柱，一個(gè)四棱柱（長(zhǎng)方體是特殊四棱柱）可以分割成三個(gè)三棱錐，從這一點(diǎn)可以看出，三棱錐可以由四棱柱分割而來(lái)，可以看出三棱錐與四棱柱之間的關(guān)系，也就是說(shuō)，三棱錐與四棱柱還是有著緊密的聯(lián)系的，正因?yàn)檫@種緊密的聯(lián)系，才讓三棱錐的外接球問(wèn)題可以嘗試著用四棱柱去解。是否可以由此遷移，其他多面體外接球問(wèn)題也可以

個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐,分別稱(chēng)為陽(yáng)馬和鱉臑,它們的體積之比為2∶1(如圖1)．圖1由此解釋可知,陽(yáng)馬是底面為矩形,且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．如底面為直角三角形,還有一條不經(jīng)過(guò)底面直角頂點(diǎn)的棱垂直底面,則這樣的三棱錐是鱉臑(如圖2),誠(chéng)如劉徽所注:中破陽(yáng)馬,得兩鱉臑．圖2但在《九章算術(shù)》又是這樣定義鱉臑的:四面都是直角三角形的三棱錐．因此,不免讓我們對(duì)這兩種說(shuō)法對(duì)應(yīng)的幾何體形狀是否一致產(chǎn)生疑問(wèn)．下面先就此問(wèn)題展開(kāi)探究:記p為:三棱錐的底面為直角三角形,且

棱CC1上，則三棱錐P-ABA1的體積為_(kāi)_____.解析：考慮到棱柱中CC1∥平面ABA1，所以P到平面ABA1的距離與C到平面ABA1的距離相等，這樣就把三棱錐P-ABA1的體積轉(zhuǎn)化成三棱錐C-ABA1的體積.圖1 圖2 例2 如圖2，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，則三棱錐D1-A1BD的體積為_(kāi)_______cm3.解析：直接求D1到平面A1BD的距離有相當(dāng)大的難度.因?yàn)榇棺悴灰渍?，所以可以換個(gè)角度求三棱錐B-

) 魏正清突破三棱錐外接球半徑的六種策略*甘肅臨澤一中(734200) 魏正清三棱錐的外接球問(wèn)題中,如何以三棱錐為載體求解外接球半徑,解法靈活多變,對(duì)空間能力想象的要求非常高.若能利用長(zhǎng)方體、三棱錐的性質(zhì)、三棱錐底面外心或側(cè)面外心、過(guò)三棱錐的底面上一邊作對(duì)棱的截面,則可極大的簡(jiǎn)化運(yùn)算,巧妙探索外接球球心或半徑.三棱錐,外接球,半徑,策略三棱錐的外接球問(wèn)題,可較好的考查學(xué)生的空間想象能力,邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,它既是教學(xué)的難點(diǎn),也是高考經(jīng)久不衰的熱點(diǎn).

簡(jiǎn)單的多面體即三棱錐與四棱柱的關(guān)系。首先，我們追究一下三棱錐的概念：一個(gè)底面是三角形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做三棱錐。再看四棱柱，一個(gè)四棱柱（長(zhǎng)方體是特殊四棱柱）可以分割成三個(gè)三棱錐，從這一點(diǎn)可以看出，三棱錐可以由四棱柱分割而來(lái)，可以看出三棱錐與四棱柱之間的關(guān)系，也就是說(shuō)，三棱錐與四棱柱還是有著緊密的聯(lián)系的，正因?yàn)檫@種緊密的聯(lián)系，才讓三棱錐的外接球問(wèn)題可以嘗試著用四棱柱去解。是否可以由此遷移，其他多面體外接球問(wèn)題也可以

棱兩兩垂直的正三棱錐的俯視圖如圖2所示，那么此三棱錐的體積是_________，左視圖的面積是_____________.圖2解法1：（常規(guī)解答）設(shè)三棱錐為S-ABC（如圖3所示），CD為三角形ABC的中線，作三棱錐的高SM，易知點(diǎn)M在CD上，且點(diǎn)M為三角形ABC的重心.圖3因?yàn)槿切蜛BC為等邊三角形且邊長(zhǎng)為2，所以三角形ABC的高，其面積為解法2：（還原策略）根據(jù)題目條件可知該三棱錐為正方體的一個(gè)角，如圖4所示.所以圖4評(píng)注：通過(guò)以上兩種解法的對(duì)比，其

9))如圖1，三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求證：CD⊥平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1，M為AD中點(diǎn)，求三棱錐A-MBC的體積.解析1 (1)∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，又∵CD⊥BD,∴CD⊥平面ABD.(2)若以△MBC為底面求三棱錐A-MBC的體積，不僅ΔMBC的面積不好計(jì)算，而且A點(diǎn)到平面MBC的距離即三棱錐A-MBC的高更不好計(jì)算，所以考慮換底：選擇以MAB為底面的話(huà)，CD就是三棱錐的高

陶 ——基于“三棱錐”模式的美術(shù)核心素養(yǎng)的提升策略圖、文 /張曉蓉 朱國(guó)華原“聽(tīng)紋”繪畫(huà)嘗試后，學(xué)生欣賞彩陶的生活與藝術(shù)現(xiàn)“聽(tīng)紋”繪畫(huà)嘗試后，學(xué)生欣賞彩陶的生活與藝術(shù)圖像解構(gòu)彩陶的結(jié)構(gòu)與藝術(shù)表現(xiàn)一、教學(xué)片斷的比較研究：2015年8月《少兒美術(shù)》雜志曾發(fā)表“‘朱·紅色’杭州現(xiàn)代美術(shù)教育研究名師工作室”的教學(xué)案例《中國(guó)彩陶》，時(shí)隔一年，我又在朱國(guó)華老師的指導(dǎo)下重上這一課。再建課程，又見(jiàn)彩陶，此時(shí)再建的意義在于推翻后的重構(gòu)，重構(gòu)的思路與方向是教師對(duì)教學(xué)理解的提升

到平面的距離；三棱錐；平面平行在立體幾何中，點(diǎn)到平面的距離是常考知識(shí)點(diǎn)也是難點(diǎn)，尤其在文科數(shù)學(xué)中更是高頻考點(diǎn)，例如，我們?cè)谇箦F體體積時(shí)，常會(huì)求點(diǎn)到平面的距離，即作出高，證明高的存在性，或者運(yùn)用等體積法去求高，從而求出點(diǎn)到平面的距離，運(yùn)用等體積法時(shí)有時(shí)運(yùn)算量比較大，這里著重介紹另外一種方法，即過(guò)該點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)與之平面平行的平面，求兩個(gè)平行平面之間的距離.分析 法二是借助于過(guò)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)平面與已知的平面平行，通過(guò)求平行面之間的距離求得點(diǎn)到平面的距離，這樣比等體積法

)摘要：微角錐三棱錐作為一種良好的逆反射器件已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于回復(fù)反射器。對(duì)微角錐三棱錐反射單元和微角錐三棱錐陣列的工作原理進(jìn)行闡述,并推導(dǎo)了微角錐三棱錐陣列反射率的理論表達(dá)式。利用幾何光學(xué)軟件仿真了由微角錐三棱錐陣列組成的光學(xué)系統(tǒng)的反光效果、反射率、反光能量等性能。理論及仿真結(jié)果表明,微角錐三棱錐可有效擴(kuò)大回復(fù)反射器的有效反射面積,提高其反射效率。關(guān)鍵詞：三棱錐; 微結(jié)構(gòu)角錐棱鏡; 逆反射; 反射系數(shù)引言眾所周知,夜間道路行駛存在著較大的安全隱患。據(jù)調(diào)查統(tǒng)

手無(wú)策.下面以三棱錐的三視圖為例，談一談三視圖問(wèn)題的解法.首先，看三棱錐的俯視圖.作三棱錐的俯視圖，關(guān)鍵是確定頂點(diǎn)在底面上的投影位置.根據(jù)三棱錐的側(cè)棱與底面是否垂直，其俯視圖大致有如下幾種情形，如圖1～4所示.總之，在解決三棱錐等類(lèi)型的三視圖問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以分三步走：①定型.先由俯視圖確定側(cè)棱（側(cè)面）與底面的位置關(guān)系，然后畫(huà)出示意圖.②定量.結(jié)合正視圖與俯視圖確定各棱長(zhǎng)與高.③計(jì)算.（責(zé)任編校？筑周峰）

，經(jīng)常遇到求解三棱錐外接球體半徑的問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題往往球心的位置難以找到。我們知道，棱錐是柱體的一部分，因此，在求三棱錐外接球體的半徑時(shí)，通過(guò)“補(bǔ)形”，將錐體還原成柱體，有時(shí)能起到柳暗花明的效果。常見(jiàn)的“補(bǔ)形”方法有下列幾種.例1. 已知三棱錐P-ABC 中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，且PA=3，PB=4，PC=5.則其外接球體的表面積為_(kāi)_______.思路：補(bǔ)成“長(zhǎng)方體”解析：三棱錐P-ABC（圖1）可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，且它們擁有相同的外接球體（圖

創(chuàng)新.正方體和三棱錐是關(guān)于三視圖試題中的兩個(gè)重要的模型，結(jié)合這兩個(gè)模型構(gòu)造、設(shè)計(jì)出了很多新穎別致的試題.比如：（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理））一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），若畫(huà)該四面體的三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為（ ）.通過(guò)對(duì)該試題的解答，會(huì)產(chǎn)生哪些啟發(fā)和聯(lián)想呢？2 問(wèn)題解答首先，根據(jù)題意在空間直角坐標(biāo)系中

相交于DE，求三棱錐B-B1DE的體積.分析本題有助于提高空間想象能力，棱錐B-B1DE的位置不利于計(jì)算，利用等底面積等高的錐體體積相等的定理把求該棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求其他棱錐的體積.解直三棱柱各棱長(zhǎng)均為a，∴各側(cè)面是正方形，D、E分別是AB1、CB1的中點(diǎn)，在△AB1C中，S△DB1E=14S△AB1C，棱錐B-AB1C與棱錐B-B1DE等高， ∴VB-DB1E=14VB-AB1C.又∵VB-AB1C=VB1-ABC=13×34a2×a=312a3，∴VB

療服務(wù)購(gòu)買(mǎi)的“三棱錐”模型,并探討各相關(guān)方的利益,以期為促進(jìn)深圳市勞務(wù)工社區(qū)醫(yī)療服務(wù)健康可持續(xù)發(fā)展提供借鑒。1 深圳市勞務(wù)工社區(qū)醫(yī)療服務(wù)購(gòu)買(mǎi)的 “三棱錐”模型的構(gòu)建1.1 勞務(wù)工社區(qū)醫(yī)療服務(wù)購(gòu)買(mǎi) 公共經(jīng)濟(jì)學(xué)上的政府購(gòu)買(mǎi)(governmentpurchase)是指政府按照等價(jià)交換的原則獲取產(chǎn)品和勞務(wù),以便向公眾提供各種公共產(chǎn)品和服務(wù)。購(gòu)買(mǎi)性支出包括兩個(gè)部分:一部分是購(gòu)買(mǎi)各種公共產(chǎn)品和服務(wù),一部分是用于公共投資的支出[1]。社區(qū)衛(wèi)生服務(wù)購(gòu)買(mǎi) (communit

質(zhì)并將其推廣到三棱錐中.命題1 如圖1所示，已知△ABC及其內(nèi)部一點(diǎn)P，若│霜1㏄A擢+λ2㏄B+λ3㏄C=0,λ1，λ2，λ3都是正實(shí)數(shù)，過(guò)點(diǎn)P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且〢M=x〢B擼〢N=y〢C命題2 如圖2所示，已知三棱錐ABCD及其內(nèi)部一點(diǎn)P，若λ1㏄A+λ2㏄B+λ3㏄C+λ4㏄D筆者進(jìn)一步研究后發(fā)現(xiàn)上述兩個(gè)命題的逆命題也成立，現(xiàn)將其敘述并證明如下.命題3 如圖1所示，已知△ABC及其內(nèi)部一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線與AB、AC兩邊分別