例談解析幾何中的定值問題

?福建省莆田第六中學(xué) 蘇雪晶

1 引言

定值問題和定點(diǎn)問題是解析幾何高考題中的熱點(diǎn)題型.本研究重點(diǎn)探究定值問題中如何轉(zhuǎn)化，優(yōu)化運(yùn)算，提高解題效率等問題.定值問題一般涉及與曲線上的動點(diǎn)、線系等有關(guān)的定值問題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長、面積、橫(縱)坐標(biāo)、長度比值，掌握了定值求值規(guī)律和技巧，會更好地解決這一類問題，做到由此及彼、觸類旁通.

2 定值問題題型分析

解題過程中，要總結(jié)解題方法，理解解題策略，通過有效的方法來分析，達(dá)到掌握通性通法，面對相關(guān)問題都可以輕松應(yīng)對.在解題時要引入核心變量，將所求表達(dá)式用核心變量表示，通過推理、計(jì)算，消去變量，從而得到定值.定值的確定是解題的根本，也是解題的最終目標(biāo).當(dāng)然實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，我們要深入掌握這類題型的解題方法，必須勤加練習(xí)，積累解題經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化解題過程，不斷調(diào)整解題策略，下面讓我們通過幾個典型例題來小試牛刀.

2.1 題型一：斜率定值問題

(1)求拋物線C的方程；

(2)拋物線C上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)Q(3，-1)的直線與拋物線C交于M，N兩個不同的點(diǎn)(均與點(diǎn)A不重合)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值.

解析：(1)拋物線C的方程為y2=x.(過程略)

(2)因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線C上，且縱坐標(biāo)yA=1，所以A(1，1).

設(shè)過點(diǎn)Q(3，-1)的直線方程為x-3=m(y+1)，即x=my+m+3.

①

式①代入y2=x，得y2-my-m-3=0.

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由韋達(dá)定理得

y1+y2=m，y1y2=-m-3.

因此，k1k2為定值.

反思：解答時要明確解答的思路，這點(diǎn)并不困難，難點(diǎn)在于聯(lián)立方程后結(jié)合條件化簡運(yùn)算.在解題時，不僅要明確題目中的已知數(shù)據(jù)和要求，還要掌握聯(lián)立方程后結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行化簡運(yùn)算，提高計(jì)算能力，掌握計(jì)算技巧.

2.2 題型二：面積定值問題

(1)求雙曲線C的方程；

(2)直線l與x軸正半軸相交于一點(diǎn)D，與雙曲線C右支相切(切點(diǎn)不為右頂點(diǎn))，且l分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N兩點(diǎn)，證明：△OMN的面積為定值，并求出該定值.

(2)因?yàn)橹本€l與雙曲線C右支相切(切點(diǎn)不為右頂點(diǎn))，所以直線l的斜率存在且不為0.

(8-k2)x2-2kmx-m2-8=0.

由直線與雙曲線右支相切得，Δ=4k2m2-4(8-k2)(-m2-8)=0，即8-k2=-m2.

反思：本題考查了雙曲線方程的求解以及直線和雙曲線(或其漸近線)相交時產(chǎn)生的相關(guān)面積定值問題.解答時要注意結(jié)合圖形的幾何特征合理使用公式.本題需要選擇表示三角形面積的最佳路徑，從而將面積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系繼而解答，化簡整理時，運(yùn)算比較繁雜，要十分細(xì)心.

=(λ-1)[fn-1(λ,1)-fn-1(w,1)]+(u-1)[fn-1(u,1)-fn-1(w,1)]+

2.3 題型三：相關(guān)比值定值問題

(1)求橢圓C的方程；

(2)證明：由題意可知，F(xiàn)(1，0)，直線l的方程為y=k(x-1).

(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則

于是直線MN的方程為

反思：解題過程中要明確解題方法和其中包含的數(shù)學(xué)思想.

認(rèn)真審題，分析解題用到的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會借助韋達(dá)定理來表示每一條線段長.當(dāng)解題思路明晰時，會發(fā)現(xiàn)線段長都用核心變量表示出來后就能求出定值.分析時要尋找題目中已經(jīng)給出來的已知信息，判斷不同數(shù)據(jù)之間的邏輯關(guān)系，在推理中把握聯(lián)系，形成客觀性認(rèn)識，明確思路，快速解題.

3 總結(jié)

以上幾種思維策略是高中數(shù)學(xué)中常用方法，對于較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置(如直線斜率不存在或?yàn)?)或者對稱關(guān)系求出定值，進(jìn)而給后面一般情形指明方向；運(yùn)算中盡量利用變量之間關(guān)系(如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等)做到整體代入，設(shè)而不求，簡化運(yùn)算.要想在高考中運(yùn)用自如，需要在平常的解題過程中多加實(shí)踐，不斷理清思路，積累經(jīng)驗(yàn)，提升邏輯思維能力和運(yùn)算能力，最終達(dá)到對此類題型熟能生巧、胸有成竹.