以學生動手實踐為載體，發(fā)展學生綜合能力
——以綜合實踐課“巧算乘法”為例

?珠海市第七中學 于 焱 ?珠海市梅華中學 吳森雄

1 引言

“綜合與實踐”是《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》的課程內(nèi)容之一，也是數(shù)學課程中學生理解數(shù)學與運用數(shù)學能力的重要載體.推進“綜合與實踐”課程的理解與研究，能加速數(shù)學新課標的落實、數(shù)學新課程的發(fā)展和新評價方式的轉變.下面以新人教版八年級上冊第122頁的數(shù)學活動課和數(shù)學課程標準附錄1中“例66 代數(shù)推理”為例，與同行交流、探討.

2 教學過程

師：今天我們上一節(jié)與眾不同的數(shù)學課，首先請完成表格1與表格2.

表格1

表格2

教學分析：利用知識鋪墊，從學生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，喚醒學生潛能，啟發(fā)思考，為學生學習搭建適切的階梯，建構向上攀爬的腳手架.課堂的重點是符號表示并推導規(guī)律；難點是如何割補圖形并平移到合適的位置，利用幾何圖形證明公式的實際意義.因此設計了2個表格，旨在讓學生掌握重點、突破難點.

活動一：速算比賽.

15×15 =？

25×25 =？

35×35 =？

65×65 =？

…………

教學分析：新課探究采取知識競賽的形式，通過游戲環(huán)節(jié)快速入題，迅速調(diào)動學生的學習情緒，提升課堂氣氛.學生有口算的，也有動筆計算的，甚至小組合作，迅速完成了以上題目，有效激發(fā)了學生學習興趣和探究欲望.動筆計算的同學非常好奇為什么有的同學可以迅速完成？主動請教那些口算順利完成的同學.

活動二：探究一般規(guī)律.

師：你能夠按照以上題目結構給身邊的同學出題嗎？

教學分析：學生先獨立思考后互相出題，然后計算答案，組長檢查組員的題目結構是否符合例題特征，結果是否正確.目的是讓學生認真觀察算式結構，了解算式特征，理解計算規(guī)律.

師：同學們都能夠眼動觀察、腦動思考、嘴動交流，且能通過小組互相合作完成上述活動.如果加大難度，請問125×125結果是多少？

教學分析：學生陷入短暫的寂靜后議論紛紛，很好奇這道題也能口算嗎？設置這個環(huán)節(jié)的目的是利用學生的認知沖突，激發(fā)學生的興趣，讓學生帶著問題思考.

師：讓我們學完這節(jié)課再來解決125×125等于多少這個問題.先觀察活動一中的算式及結果，請說出結果與算式本身具有什么關系？

生1：等號的左邊都是兩個相同的數(shù)相乘，可以寫成兩位數(shù)的平方，且這個兩位數(shù)的個位都等于5.

生2：等號右邊的結果的個位是5，十位是2，末尾兩位數(shù)是25.

師：問題的關鍵是左邊算式兩位數(shù)的十位上的數(shù)字和結果中的百位數(shù)字或千位數(shù)字之間有什么關系？

生3：由15×15 =225可得結果中的百位數(shù)的2=1×2，由25×25 =625可得結果中的百位數(shù)的6=2×3，由35×35 =1 225可得結果中的百位和千位上的12=3×4，所以猜想結果中百位數(shù)字或千位數(shù)字可以由原十位上的數(shù)字加1再與自身相乘得到.

生4：根據(jù)前面同學的總結可得，15×15 =1×2×100+25=225，25×25 =2×3×100+25=625，35×35 =3×4×100+25=1 225，所以猜想原十位上的數(shù)字加1再與自身相乘得到的結果乘100，再加上25，就是個位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)的結果.

師：非常棒!觀察細致入微，思維清晰，邏輯縝密，歸納有理有據(jù).請同學們結合所學的整式知識，用符號表示出剛才得到的一般性的規(guī)律.

活動三：用符號表示一般性規(guī)律.

教學分析：由數(shù)到字母的轉換和用字母表示數(shù)是本節(jié)課的難點，這時候適當引導遇到困難的學生回歸課堂開始部分的知識鋪墊表格，凸顯了課堂的引入設計非常必要及時，不僅喚醒學生對知識的理解，而且是本節(jié)課難點的有意分解，設計知識的腳手架使學生順利解決問題.大部分學生對比表格1的獨立思考后大膽猜想，小組成員對猜想結果進行分析、研討，并總結與反思猜想過程，最后小組之間交流展示.

生5：(10a+5)(10a+5)=100a(a+1)+25.

師：請再舉幾個具有這樣特征的例子，并用上述方法驗證其正確性.

生6：85×85=8×9×100+25=7 225，根據(jù)上面猜想的規(guī)律得到的結果驗算正確.

師：請大家利用本章所學知識推導證明生5給出的規(guī)律.

生7：從左邊往右邊證明，(10a+5)(10a+5)=100a2+100a+25=100a(a+1)+25.

生8：從右邊往左邊證明，100a(a+1)+25=100a2+100a+25=(10a+5)(10a+5).

生9：可以分別化簡左右兩邊的算式，左邊=100a2+100a+25，右邊=100a2+100a+25，左邊=右邊，所以猜想成立.

師：非常棒！三種不同的證法體現(xiàn)了三種思考問題的方式，由左往右證明體現(xiàn)了正向思維，由右往左證明體現(xiàn)了逆向思維，第三種則是正常的整式化簡，三種方法均閃耀著智慧的光芒.

師：同學們已經(jīng)學習了利用圖形的面積證明平方差公式和完全平方公式，你能用類似的方法通過圖形面積說明以上規(guī)律嗎？

活動四：每小組均有彩色卡紙，組長組織本小組同學研討交流，畫圖后通過圖形分割—平移—組合等步驟進行證明.

(活動目的：學生經(jīng)歷動手操作，了解公式的幾何意義，發(fā)展數(shù)學抽象和模型思維能力.)

生10：根據(jù)前面學過的完全平方公式，可知等式的左邊可以表示為一個邊長為(10a+5)的正方形的面積，至于從左到右的證明暫時還沒有思路.

師：正方形的面積是邊長的平方，由數(shù)的平方聯(lián)想到正方形的面積，其他同學有補充嗎？

生11：由平方差公式的幾何證明得到啟發(fā)，通過切割—平移—組合圖形后即可證明.等號右邊100a×(a+1)+25可化成100a(a+1)+5×5，可以猜想5×5是一個正方形的面積，100a(a+1)是一個長方形的面積.所以我們小組將其中一個長為5，寬為10a的小長方形平移到如圖1所示的位置，組成一個長為10a，寬為(10a+10)的長方形和邊長為5的正方形，新長方形的面積為10a(10a+10)=100a2+100a=100a(a+1)，正方形面積為5×5，證明完畢.

圖1

師：思路清晰，思維縝密.

教學分析：在數(shù)學學習中，利用數(shù)形結合能有效啟發(fā)思路，理解題意，分析思考，判斷反饋.這個環(huán)節(jié)利用圖形面積將幾何問題與整式問題結合起來，“以形助數(shù)，用數(shù)解形”.整式乘法中不管是單項式相乘、多項式相乘還是公式中的平方差、完全平方都具有“數(shù)的特征”和“形的特征”兩重性.因此，可以從數(shù)形結合的角度理解、掌握知識的本質(zhì)屬性.數(shù)形結合讓這節(jié)綜合與實踐課形象起來，并使學生運用數(shù)形結合思想去思考問題.其實，本節(jié)課到底是先通過乘法公式推導規(guī)律還是先利用幾何圖形證明規(guī)律，筆者在不同班級授課均有嘗試，兩種方法都各有優(yōu)劣.

師：請同學們在小組長的組織下按照以下活動清單完成自主探究活動五，時間15分鐘.

活動五：

(1)速算比賽.

53×57 =；

38×32 =；

84×86 =；

71×79 =.

請舉類似例子：×=……

(2)觀察上述每一個算式及結果，你能發(fā)現(xiàn)這些結果與算式本身具有什么關系嗎？

(3)猜想：以所學的整式知識，用符號表示出剛才得到的一般性規(guī)律.

規(guī)律： ______________________________________

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(4)驗證：根據(jù)本章學習的知識推導出你得到的規(guī)律.

(5)你能利用學過的圖形面積說明以上規(guī)律嗎？

教學分析：活動五和活動一的流程基本相同，所以把活動五交由小組自主探究，教師負責調(diào)控小組活動進程.學生在小組長的帶領下根據(jù)問題串展開觀察、猜想、歸納、研討、驗證、操作實驗等課堂活動，教師組織有困難的小組去觀摩學習，最后組織各小組進行學習成果展示.

課堂結束時，學生基本上都能獨立或在小組長的幫扶下順利掌握以下計算：

(1)95×95； (2)93×97；

(3)125×125； (4)114×116．

3 教學反思

(1)注重學生的參與與體驗感

本節(jié)課中教師精心設計問題，以問題串為線，讓學生親歷觀察、猜想、推理、抽象、歸納、驗證和實驗操作等多樣性課堂活動，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，提出問題、分析、解決問題的過程.在課堂中，教師設計競賽、游戲和實驗操作等多樣性活動，讓學生動腦思考問題，動口交流問題，讓學生在交流表達中促進對內(nèi)容的理解，增強知識的遷移能力，提高分析問題的能力.引導學生經(jīng)歷項目式學習的全過程，學生通過小組合作或獨立思考，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的過程.但由于各種原因或慣性使然，學生在提出問題方面的能力需要加強.

(2)注重培養(yǎng)學生的動手操作能力

手是思維的工具和鏡子，在教學中盡可能設置與教學內(nèi)容相關的動手操作實驗，能夠有效減少學習障礙，降低學習難度，提升學習興趣.學生在動手的過程中理解知識、掌握方法、學會思考和交流、獲得情感態(tài)度的體驗，變被動學習為主動、自覺地自主探究.

(3)注重幾何直觀的推廣

數(shù)學家希爾伯特認為：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結果.”本節(jié)課教師根據(jù)教學內(nèi)容嘗試訓練學生借助幾何圖形解釋整式乘法運算的活動，以發(fā)展學生的幾何直觀能力、數(shù)形結合意識.這樣的活動從不同角度推導出了公式，有利于學生鞏固并理解公式，也讓學生體會代數(shù)運算的幾何背景，問題解決過程則讓學生嘗試借助圖形分析解釋代數(shù)運算.教師往往只在幾何內(nèi)容的教學中重視幾何直觀，新課標對幾何直觀提出了更高的要求，需要站在整個初中數(shù)學角度重視幾何直觀，學會結合圖形思考問題是學習數(shù)學的基本能力.學生在體驗想圖、作圖、讀圖、解圖、釋圖的過程中，真正做到心中有圖，圖中有數(shù)，利用數(shù)形結合思想簡明答題，做到學以致用.

(4)注重代數(shù)推理的滲透

新課標中新增了代數(shù)推理內(nèi)容，本節(jié)課是引導學生在代數(shù)推理歸納的過程中發(fā)現(xiàn)事物變化規(guī)律的方法.學生在經(jīng)歷試錯、糾錯、釋錯的過程中體驗由特殊數(shù)值計算到一般符號公式表達的活動，感受從特殊到一般的思維過程.學生經(jīng)歷“觀察—猜想—證明”的項目式學習過程，在數(shù)學競賽實際情境中發(fā)現(xiàn)計算規(guī)律問題，提出解決計算規(guī)律問題的思路，根據(jù)問題條件和預期結論分析，構建這類計算規(guī)律的式模和圖模，體驗用合情猜想發(fā)現(xiàn)結論、用演繹推理證明結論的代數(shù)推理過程，在這個過程中理解數(shù)學、應用數(shù)學，能夠有效提升學生邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng).代數(shù)推理重視學生提出猜想、修正完善、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和證明結論的過程.

(5)注重建模思想的培養(yǎng)

本節(jié)課學生從現(xiàn)實生活的具體競賽情境中抽象出數(shù)學問題，然后用整式建立公式表示數(shù)學問題中的變化規(guī)律，這一環(huán)節(jié)學生經(jīng)歷觀察、分析、猜想、抽象、概括判斷等數(shù)學活動，完成抽象，得到式模和圖模.最后利用幾何圖形解釋模型的意義，反思模型的合理性，通過模型去求解具體問題.其過程如圖2所示.

圖2

4 結語

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》強化了“綜合與實踐”的地位，要求教師設置實踐、探究、體驗、反思、合作和交流學習活動，學生利用項目式學習的方式，以問題解決為導向，整合數(shù)學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數(shù)學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活以及科學技術中遇到的現(xiàn)實問題.因此，教師在每學期均應選擇適量的課題，設計內(nèi)容豐富多彩的“綜合與實踐”課，讓學生充分自主地參與數(shù)學活動，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).