一道模擬試題的解法探究與變式

甘肅省武威市涼州區(qū)東關(guān)小學(xué) 顧興德

1 引言

好的考試題凝集著命題老師的智慧，體現(xiàn)著課改要求和命題導(dǎo)向．這些試題往往給考生較大的發(fā)揮空間，可以較為公正地檢測考生的學(xué)習(xí)成績．在平時的學(xué)習(xí)中，深入探討這些試題的多種解法，可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的深刻性、靈活性；對這些題目進行變式探究，可以加強知識間聯(lián)系，實現(xiàn)方法和技能的融會貫通，從而提高解題能力，并促進創(chuàng)新精神和探究意識的發(fā)展．本文以一道中考模擬試題為例進行多向探究，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.

2 題目呈現(xiàn)

(2021湖北黃石中考模擬)如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC, ∠DCB=75°, 以CD為一邊的等邊△DCE的另一頂點E在腰AB上.

圖1

(1)求∠ADE的度數(shù)；

(2)求證：AB=BC；

3 解法探究

本題以特殊而常見的幾何基本圖形：直角梯形和等邊三角形組合創(chuàng)設(shè)問題，探求其中的特殊角、相等的線段．題目設(shè)置了具有層次的三個問題，由淺入深，引導(dǎo)同學(xué)們探究，有利于增強解決問題的信心．關(guān)注了學(xué)生的個體差異，體現(xiàn)了課標中“以人為本”的理念．第(1)問較簡單，只要根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求出∠DEC=60°=∠ECD，則∠BEC=75°,便知∠ADE=∠AED=45°，由此知道AE=AD．第(2)問在前問的基礎(chǔ)上，繼續(xù)觀察、分析這個基本圖形，要證AB=BC，只須說明∠BAC=45°，因此輔助線的作法是：連接AC，至此易看出△AEC≌△ADC(SSS)，問題得以解決．本題的難點在第(3)問，雖然猜測到DF=CF，但怎樣將已知條件與結(jié)論進行有效轉(zhuǎn)化，不少同學(xué)望“題”興嘆．下面重點對它作詳細的分析探究.

思路一：注意到∠FBC=30°且AD∥BC，可構(gòu)造新的三角形與△BFC全等來求解.

解法1：如圖2，延長AD，BF交于點G.

圖2

因為AD∥BC，∠FBC=30°,由兩直線平行，內(nèi)錯角相等知∠G=30°.

在含30°角的Rt△ABG中，

①

又∠BFC=∠BCF=75°，得

BF=BC=AB

②

解法2：如圖3，連接AF，分別延長AD，BF交于點G.

圖3

思路二：注意到圖形中隱藏著另一個等邊三角形ABF，可構(gòu)造出新的三角形與△ADF(或△BCF)全等.

解法3：如圖4，連接AF，在BC上截取BM=AD，連接FM.

圖4

由已知條件知∠ABF=60°，又AB=BC=BF，則△ABF為等邊三角形.根據(jù)對稱性∠DAF=∠FBC=30°，易證△ADF≌△BMF(SAS)．再由全等性質(zhì)知DF=FM，∠FMB=∠ADF=105°,則∠FMC=75°=∠BCD，即FC=FM.

解法4：如圖5，連接AF，延長AD到點N，使AN=BC，連接NF.

圖5

思路三：要證F為CD中點，根據(jù)平行線分線段成比例定理逆向思考，只須構(gòu)造平行線即可.

解法5：如圖6，分別過點D，F(xiàn)作BC的垂線，垂足分別為點H，G，則DH∥FG.

圖6

圖7

思路四：三角函數(shù)法．在直角梯形內(nèi)構(gòu)造垂線，在直角三角形中，用等角的三角函數(shù)值表示CF，CD.

解法7：過點D，F(xiàn)作BC的垂線，垂足分別為點H，G(如圖6所示) ，易知∠HDC=∠GFC.

又DH=AB=BC=BF=2FG，

即DH∶FG=2∶1.

思路五：構(gòu)造平行線，由三角形的中位線的逆定理求解.

解法8：如圖8，過點F作FM∥DE交EC于點M，連接BM.

圖8

思路六：構(gòu)造平行線，由梯形中位線的逆定理求解.

解法9：如圖9，過點F作FH∥BC交AB于點H，連接AF.

圖9

解法10：如圖10 ，過點F分別作AB，BC的垂線，垂足為H，G.

圖10

思路七：圖形中存在多條線段與CD相等，又含有30°的特殊角，通過構(gòu)造直角三角形，利用三角形相似得出邊之間的關(guān)系求解.

解法11：如圖11 ，過點F作FH⊥BC于點H.

圖11

解法12：如圖12， 過點C作CG⊥BF于點G.

圖12

思路八：由△CDE是等邊三角形，要證F為CD中點，只要證EF是高即可.因此，進一步只要證∠FEC=30°即可.

圖13

思路九：由直角梯形一組鄰邊AB=BC想到補成一個正方形，再只要證FG為Rt△CDG的斜邊CD上的中線即可.

解法14：如圖14，過點C作直線AD的垂線，垂足為點G，連接AF，F(xiàn)G.

圖14

易證△ABF是等邊三角形，則AF=BF，因此點F在AB的中垂線上.而四邊形ABCG是正方形，則點F也在CG的中垂線上，所以

CF=GF

①

得∠FGC=∠FCG=15°，因此∠DGF=75°.又∠FDG=∠DCB=75°，所以∠DGF=∠FDG，可得

DF=FG

②

4 變式探究

(1)條件與結(jié)論互換，建立原命題的逆命題.

建立并討論幾何命題的逆命題，是幾何命題教學(xué)中最為常見的一種演變方法.

變式1把原題目中的條件“∠FBC=30°”與結(jié)論“DF=FC”互換后，命題仍然成立.

其證明過程可類比上面的14種方法進行，此處略.

(2)變更部分條件后的結(jié)論探究.

原題目是以等邊三角形進行探討，若換成等腰直角三角形會怎樣呢？

變式2如圖15，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,E是AB上一點，△CDE是等腰直角三角形，∠CED=90°,F是CD的中點． 求證：△ABF是等腰直角三角形.

圖15

變式3把“變式2”中的條件“F是CD的中點”與結(jié)論“△ABF是等腰直角三角形”互換，命題成立.

(3)減少條件后的結(jié)論探究.

如果適當(dāng)減少原題的一些條件，所得的圖形中又蘊藏著什么特性呢?

變式4如圖16，在直角梯形中，∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=10,點M在邊BC上，使得△ADM為正三角形.

圖16

(1)△CDM與△ABM的面積和是______；(2009年上海新知杯數(shù)學(xué)競賽題)

(2)S△CDM∶S△ABM=______.(2010年四川省初中數(shù)學(xué)競賽題)

圖17

(2)DM2=x2+x2，AM2=102+(10-x)2.

說明：如果把“變式4”中的“AB=BC=10”換成“AB=BC=a”，其他的條件、所求的問題都不變，怎樣解答？同學(xué)們試一試.

5 結(jié)語

好題普遍具有思維廣、內(nèi)涵深的特征,它們通常人口寬,生成性強,適合開放性教學(xué).本題中的梯形，等邊三角形是學(xué)生常見的圖形,如何利用富有創(chuàng)意的好題，生成新的知識生長點,促進學(xué)生思維的開發(fā),值得一線教師深人思考與實踐.解題教學(xué)中,教師應(yīng)放手讓學(xué)生參與探究,一題多解、一題多思，有助于學(xué)生開闊思維視角,形成發(fā)散性思維,提高問題研究的敏銳性.