江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 周 濤

1 引言

二次函數(shù)與角度問題屬于典型問題，通常以拋物線為背景，引入幾何圖形構(gòu)建幾何角，問題解法較為特殊，具體探究如下.

2 引例探究，分步突破

2.1 引例呈現(xiàn)

圖1

(1)求b的值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)將直線AB向下平移，得到過點(diǎn)M的直線y=mx+n，且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，取點(diǎn)D(2，0)，連接DM，求證：∠ADM-∠ACM=45°；

(3)點(diǎn)E是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，線段EF的延長(zhǎng)線與線段OM交于點(diǎn)G.當(dāng)∠BEF=2∠BAO時(shí)，是否存在點(diǎn)E，使得3GF=4EF？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.2 分步突破

第一步——突破角度差.

第(2)問對(duì)直線AB進(jìn)行了向下平移，然后設(shè)定點(diǎn)C，通過連線形成了幾何角∠ADM、∠ACM.基于問題構(gòu)建的過程，可分兩階段來(lái)證明：第一階段，確定平移后的直線的解析式；第二階段，確定∠ADM與∠ACM的角度關(guān)系，可進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化，將角度差化為具體的角.

研究表明，當(dāng)構(gòu)造活動(dòng)期烴源巖壓力封存箱已形成時(shí)，如此時(shí)發(fā)生構(gòu)造運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致封存箱蓋層破裂，則實(shí)現(xiàn)了壓力封存箱與外界儲(chǔ)層的溝通。這種溝通一旦實(shí)現(xiàn)，地下的巖層就像一個(gè)泵把流體由較深的部位抽出來(lái)，然后將其向淺處或上方壓力較小的地層中排驅(qū)，迅速完成烴源巖的排烴和聚集成藏過程。構(gòu)造活動(dòng)期后，隨著流體排出和壓力降低，裂隙逐漸封閉，開始新的能量積累、壓力釋放和排烴過程。因此，只要有深大斷裂貫穿鹽膏層，在地層壓力下就可形成流體運(yùn)移通道，導(dǎo)致鹽水上涌形成鹽水層。

階段二：∠ADM可視為△CDM的一個(gè)外角，則∠ADM-∠ACM=∠DMC.只需確定∠DMC的大小即可，可將其放置在三角形中.

圖2

第二步——突破倍角關(guān)系.

第(3)問有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)——點(diǎn)E和F，分析∠BEF=2∠BAO時(shí)，是否存在點(diǎn)E，使得3GF=4EF，可歸結(jié)為與倍角相關(guān)的線段關(guān)系存在性問題.采用假設(shè)順推的方式，第一階段處理其中的倍角關(guān)系，分析幾何性質(zhì)；第二階段構(gòu)建線段關(guān)系，論證點(diǎn)E是否存在.

階段一：假設(shè)存在點(diǎn)E滿足3GF=4EF.分別過點(diǎn)G和E作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)H和K，如圖3所示.

圖3

因?yàn)椤螧EF=2∠BAO，由∠BEF=∠BAO+∠EFA，可得∠EFA=∠BAO，即△EFA為等腰三角形，進(jìn)一步可得∠EFA=∠GFH.

3 過程分析，方法總結(jié)

上述考題的第(2)(3)問是關(guān)于二次函數(shù)與幾何角的問題，處理其中的角度問題與條件是突破的關(guān)鍵.下面深入分析思考過程，并總結(jié)方法.

3.1 過程評(píng)析

第(2)問屬于角度和差問題.上述解析中采用等角代換的策略，將角度和差變換為具體的幾何角，后續(xù)再探究該角的大小.由于問題的條件中沒有設(shè)定具體角度，故由幾何性質(zhì)來(lái)提取特殊圖形，確定特殊角.而第(3)問涉及倍角關(guān)系，充分利用了三角形的外角性質(zhì)，結(jié)合倍角條件推導(dǎo)出了等角關(guān)系，進(jìn)而提取了等腰三角形，實(shí)現(xiàn)了倍角條件向特殊圖形的轉(zhuǎn)化.

3.2 方法總結(jié)

上述第(2)問和第(3)問是關(guān)于角的數(shù)量關(guān)系問題，依托拋物線的同時(shí)，賦予了角度“數(shù)”的特性，這是該類問題的特殊所在.問題解析時(shí)，需要建立幾何特性與二次函數(shù)間的關(guān)聯(lián)，數(shù)形結(jié)合突破.下面總結(jié)兩大問題的解析方法.

角度和差問題：角度和差涉及角度之間的加減運(yùn)算，基本策略是利用幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為具體的角，去除運(yùn)算符號(hào).可利用三角形內(nèi)角和定理、外角定理等進(jìn)行角度換算.

倍角關(guān)系問題：倍角關(guān)系問題雖引入了角度系數(shù)，但本質(zhì)上還是關(guān)于角度關(guān)系的推理.可利用幾何中與倍角相關(guān)的定理，如角平分線的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)，或構(gòu)建對(duì)稱關(guān)系，引入輔助圓來(lái)分析轉(zhuǎn)化.

3.3 關(guān)聯(lián)拓展

實(shí)際上，角的數(shù)量關(guān)系問題可分為三大類，除了上述所涉及的角度和差、倍角關(guān)系問題，還有等角問題.該類問題的突破同樣需要借助特殊的幾何性質(zhì)，如全等特性和相似特性，可構(gòu)造圓，利用圓周角性質(zhì)轉(zhuǎn)化角度關(guān)系.下面以一個(gè)實(shí)例進(jìn)行探究.

例題已知拋物線y=ax2-2ax+c過點(diǎn)A(-1，0)和C(0，3)，與x軸的另一交點(diǎn)為B，其頂點(diǎn)為D.

(1)求拋物線的解析式，以及點(diǎn)D的坐標(biāo).

(2)如圖4，點(diǎn)E是線段BC上方的拋物線上一點(diǎn)，且EF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，EM垂直于x軸，垂足為點(diǎn)M，與BC的交點(diǎn)為G.當(dāng)BG=CF時(shí)，求△EFG的面積.

圖4

(3)如圖5，AC與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，分析在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得∠OPB=∠AHB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖5

解析：第(1)(2)問解答略.下面主要探究第(3)問等角關(guān)系問題.

圖6

過點(diǎn)P作x軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)R.在x軸上取點(diǎn)S，使得RS=PR，則∠RSP=45°.設(shè)P(n，-n2+2n+3)，則S(-n2+3n+3，0).

評(píng)析：上述第(3)問是關(guān)于二次函數(shù)與等角關(guān)系的問題，所涉角中其中一角為定角，可直接由幾何性質(zhì)確定為特殊的45°角，后續(xù)圍繞點(diǎn)P構(gòu)建特殊的等腰直角三角形，并借助三角形相似的性質(zhì)確定動(dòng)點(diǎn)P的位置.整個(gè)過程思路明確，按照“角度確認(rèn)→圖形構(gòu)造→特性定點(diǎn)”的思路整合信息，構(gòu)形求坐標(biāo).

4 解后反思，教學(xué)建議

4.1 歸類題型，總結(jié)方法

二次函數(shù)與幾何角問題屬于初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)問題.根據(jù)角度條件，可將角度關(guān)系分為三類，包括等角問題、倍角問題和角度和差問題.上述結(jié)合實(shí)例對(duì)其加以探究，并總結(jié)了思路構(gòu)建的基本策略，有助于學(xué)生后續(xù)突破類型問題.復(fù)習(xí)教學(xué)中，建議參考該種模式，引導(dǎo)學(xué)生定位問題類型，全面歸納題型，總結(jié)破題的基本策略.必要時(shí)，可開展對(duì)比探究，引導(dǎo)學(xué)生探究不同題型的特征、解法特點(diǎn)，從根本上掌握解題方法.

4.2 過程探究，思維培養(yǎng)

過程探究是解題教學(xué)的重要環(huán)節(jié).過程探究中，可引導(dǎo)學(xué)生充分體驗(yàn)讀題、審題、條件轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)建、關(guān)聯(lián)提取、思路形成、問題解答等重要過程，培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)解題的良好習(xí)慣，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展[1].以上述問題探究為例，確定問題屬性，根據(jù)條件及問題進(jìn)行分步解題，然后構(gòu)圖建模，串聯(lián)條件形成思路.教學(xué)中，需關(guān)注兩點(diǎn)：一是學(xué)生的思維活動(dòng)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思考，可采用設(shè)問引導(dǎo)的方式；二是數(shù)形結(jié)合的過程，直觀呈現(xiàn)問題，降低思維的難度，培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣.

4.3 滲透思想，素養(yǎng)提升

解題教學(xué)還需注重?cái)?shù)學(xué)思想培養(yǎng)，即教學(xué)中合理滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在解題中掌握方法，感悟思想精髓，逐步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)[2].二次函數(shù)與角度類問題常涉及數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、方程思想、數(shù)學(xué)建模、分類討論等，教學(xué)中，可立足具體的內(nèi)容開展思想方法教學(xué)，感知思想方法在解題中的具體運(yùn)用.如函數(shù)與圖象內(nèi)容滲透數(shù)形結(jié)合，二元一次方法組內(nèi)容滲透方程思想，等等，將無(wú)形的思想滲透到具體的內(nèi)容中，逐步提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).