基于問題的學(xué)生表征能力培養(yǎng)策略探究

陳姍姍

摘 ?要：高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是數(shù)學(xué)對象多元表征的過程，表征能力的培養(yǎng)有利于學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)對象. 而“復(fù)數(shù)的幾何意義”就是復(fù)數(shù)多元表征的體現(xiàn)，通過問題情境設(shè)置問題的基礎(chǔ)性、適應(yīng)性、層次性及開放性探究，培養(yǎng)學(xué)生對復(fù)數(shù)的表征能力.

關(guān)鍵詞：問題;表征能力;復(fù)數(shù);幾何意義

數(shù)學(xué)問題解決的典型特征是解題者對問題生成了適宜的表征. 適宜的表征可以縮減運算量、縮短思維過程. 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是對數(shù)學(xué)對象進行多元表征的過程. 多元表征主要包括語言表征、符號表征和圖形表征. 如果學(xué)生能夠?qū)ν粚ο筮M行不同表征，不僅可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的理解，而且有利于數(shù)學(xué)知識發(fā)生遷移，使學(xué)生在不同的問題情境中均能熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)知識.

“復(fù)數(shù)的幾何意義”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第二冊第7章第7.1.2節(jié)的內(nèi)容，是復(fù)數(shù)的概念的第二節(jié)課，在復(fù)數(shù)內(nèi)容中起著承上啟下的作用，是實現(xiàn)數(shù)與形融合的關(guān)鍵點. 學(xué)生不太了解數(shù)系擴充的“規(guī)則”，也不適應(yīng)復(fù)數(shù)代數(shù)形式是兩項的和，更難理解復(fù)數(shù)的幾何意義. 通過問題設(shè)置幫助學(xué)生對復(fù)數(shù)進行多元表征，幫助學(xué)生從數(shù)與形的角度理解復(fù)數(shù)的概念，實現(xiàn)從數(shù)到形的自然過渡，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)對象多元表征的能力.

一、問題的基礎(chǔ)性：表征能力的起始點

教師提出問題，學(xué)生根據(jù)問題進行思考，避免學(xué)生學(xué)習(xí)思維的盲目性. 作為課堂教學(xué)的第一個問題，問題不能太深，這是培養(yǎng)學(xué)生表征能力的起始問題，要體現(xiàn)基礎(chǔ)性，問題的設(shè)置要在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，要讓大部分學(xué)生都能理解并表征.

復(fù)數(shù)的幾何意義是在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的概念之后的一節(jié)課，先行組織者是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，所以課堂教學(xué)要從復(fù)數(shù)的概念入手，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知前對舊知進行回憶.

問題1：數(shù)系的擴充過程是怎樣的？為什么要引入虛數(shù)單位[i]？

問題2：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是什么？滿足實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件分別是什么？

問題3：兩個復(fù)數(shù)相等的條件是什么？

問題1、問題2和問題3是回憶舊知，吸引學(xué)生的注意力，完善學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)，為新課的學(xué)習(xí)做準備. 問題1幫助學(xué)生從語言表征的角度對數(shù)系的擴充進行梳理，問題2則是幫助學(xué)生從符號表征的角度對復(fù)數(shù)的代數(shù)形式進行回顧. 兩個問題都是基礎(chǔ)問題，目的是讓每名學(xué)生都能解決，為接下來復(fù)數(shù)的幾何意義的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 學(xué)生不僅要會用語言表征復(fù)數(shù)的概念及虛數(shù)單位，還要會用符號表征進行描述. 教師可以根據(jù)學(xué)生的回答在黑板上板書符號表征，讓學(xué)生清楚語言表征與符號表征一一對應(yīng). 部分學(xué)生可能會對第二個問題的后半部分即“滿足實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件分別是什么？”感到困難. 尤其是當一個數(shù)是虛數(shù)時，對虛部含不含虛數(shù)單位[i]經(jīng)常混淆. 其主要原因是學(xué)生對復(fù)數(shù)的符號表征沒有理解透徹. 因此，教師不僅要加強對復(fù)數(shù)的語言表征，也要強調(diào)對復(fù)數(shù)的符號表征. 問題3說明復(fù)數(shù)與有序?qū)崝?shù)對之間是一一對應(yīng)的關(guān)系，為復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點的對應(yīng)做鋪墊.

二、問題的適宜性：表征能力的切入點

舊知回顧的問題設(shè)置基本都很基礎(chǔ)，但是新知探究過程中的每個問題對學(xué)生來說都是新的. 因此，新知探究過程中的問題要尊重學(xué)生的認知規(guī)律，既能引起認知沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的欲望，又不會增加學(xué)生的畏難情緒.

基礎(chǔ)教育階段的學(xué)生既不能快速理解復(fù)數(shù)的幾何意義，又會感覺到虛數(shù)單位的引入有點突兀，再加上復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與學(xué)生之前學(xué)習(xí)過的數(shù)相差甚遠，所以對復(fù)數(shù)進行幾何表征，學(xué)生理解起來非常困難. 因此，新知探究的第一個問題就是學(xué)生對復(fù)數(shù)進行圖形表征的切入點. 要充分考慮到問題的適宜性，必須充分考慮到學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)情緒.

問題4：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一個復(fù)數(shù)[z=][a+bi a，b∈R]都可以由一個有序?qū)崝?shù)對[a，b]唯一確定，反之也對. 由此你能想到復(fù)數(shù)的幾何表示方法嗎？

問題4并不需要學(xué)生具體回答，而是作為一個指引性問題，讓學(xué)生由實數(shù)的幾何表征類比到復(fù)數(shù)的幾何表征，這是復(fù)數(shù)從語言表征、符號表征到幾何表征的切入點. 接著，教師再拋出具體問題激發(fā)學(xué)生的探究興趣，讓學(xué)生帶著問題閱讀教材.

問題5：復(fù)平面是如何定義的？

問題6：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點的關(guān)系如何？

問題5和問題6是學(xué)生自行閱讀教材，類比實數(shù)的幾何表征. 在建立復(fù)平面后，學(xué)生較容易理解復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點之間的關(guān)系. 學(xué)生已經(jīng)具備較豐富的類比活動經(jīng)驗，所以教師拋出問題，通過類比思想讓學(xué)生由對實數(shù)的認知引發(fā)對復(fù)數(shù)的幾何意義的初步思考. 讓學(xué)生帶著問題閱讀教材，既培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，又留足時間讓學(xué)生獨立思考. 把復(fù)數(shù)和有序?qū)崝?shù)對對應(yīng)起來難度不大，因為學(xué)生學(xué)習(xí)過實數(shù)與數(shù)軸上的點之間的關(guān)系. 但是再把復(fù)數(shù)和平面直角坐標系中的點對應(yīng)起來，學(xué)生會有理解困難，教師要多引導(dǎo)學(xué)生通過實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系進行類比.

這兩個問題是復(fù)數(shù)的圖形表征的切入點，用復(fù)平面內(nèi)的點表示復(fù)數(shù)就是復(fù)數(shù)的圖形表征形式之一——幾何表征. 只要學(xué)生能夠接受復(fù)數(shù)的點的表示形式，那么接下來另一種圖形表征——向量表征也就顯得順理成章了.

三、問題的層次性：表征能力的固著點

在用點表示復(fù)數(shù)（也就是復(fù)數(shù)的幾何表征）之后，學(xué)生對復(fù)數(shù)的幾何意義已經(jīng)有了初步的認識，理解了復(fù)數(shù)與實數(shù)一樣也有幾何意義，區(qū)別在于實數(shù)的幾何意義是與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，而復(fù)數(shù)不僅與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)，還與向量一一對應(yīng). 因此，問題的設(shè)置要從數(shù)到點再到向量，這樣具有層次性，也是培養(yǎng)學(xué)生表征能力的知識固著點. 所謂知識固著點，是指對學(xué)習(xí)新知識起支持作用的原有知識，或者說是能使所獲得的新知識被固定在認知結(jié)構(gòu)中某一部位的那些知識.

問題7：在平面直角坐標系中，每個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的. 你能用平面向量來表示復(fù)數(shù)嗎？

通過問題7讓學(xué)生更加清晰地理解復(fù)平面內(nèi)的點與復(fù)數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系. 教學(xué)中，用GeoGebra軟件對點的變化與復(fù)數(shù)的變化進行動態(tài)演示，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 學(xué)生根據(jù)教師的提問一邊作圖一邊思考，可以很自然地發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)與向量之間也是一一對應(yīng)的關(guān)系. 在這一探究過程中，學(xué)生根據(jù)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識“復(fù)數(shù)與點以及點與向量之間的關(guān)系”逐步順應(yīng)、同化復(fù)數(shù)的另一種幾何意義，即復(fù)數(shù)的向量表征. 從復(fù)數(shù)到有序?qū)崝?shù)對再到平面直角坐標系中的點，復(fù)數(shù)問題幾何化逐步呈現(xiàn)，過渡自然，學(xué)生理解起來也不難，教學(xué)過程顯得特別自然. 從問題的層次性入手，找到了培養(yǎng)學(xué)生表征能力的固著點.

四、問題的開放性：表征能力的發(fā)散點

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)之一就是讓知識發(fā)生遷移，學(xué)生能夠以點帶面地解決問題，能夠在不同的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題并解決. 因此，問題的設(shè)置不能太固化，教師要適當設(shè)置開放性問題. 開放性問題對學(xué)生的思維能力要求較高，要求學(xué)生能夠熟練轉(zhuǎn)化語言表征、符號表征和圖形表征，在多元表征中深化對知識的理解. 因此，問題的開放性是表征能力的發(fā)散點，只有在開放性問題中，學(xué)生的思維才會更加活躍，對數(shù)學(xué)對象的表征才會更發(fā)散.

問題8：復(fù)數(shù)的幾何意義是什么？

問題9：通過本節(jié)課你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想？

傳統(tǒng)的課堂小結(jié)要么是羅列知識點，要么是思維導(dǎo)圖. 事實上，學(xué)生通過閱讀教材是可以獲得這樣的小結(jié)的. 而教師的作用則是引導(dǎo)學(xué)生跳出教材看教材. 也就是說，教師要引導(dǎo)學(xué)生讀懂教材背后的數(shù)學(xué)思想. 要提高小結(jié)的教學(xué)立意，教師應(yīng)該圍繞本節(jié)課的內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想方法，以知識的發(fā)生、發(fā)展過程為線索展開，通過小結(jié)使學(xué)生頭腦中形成關(guān)于本節(jié)課內(nèi)容的一個清晰的知識結(jié)構(gòu)（包括相關(guān)知識的聯(lián)系）. 問題8引導(dǎo)學(xué)生對復(fù)數(shù)的三種表征進行歸納，開放程度較高，是學(xué)生表征能力的發(fā)散點. 問題9的開放程度高于問題8，對學(xué)生的思維能力要求更高. 很顯然，本節(jié)課中涉及的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想和類比思想，要通過類比實數(shù)的幾何意義探究復(fù)數(shù)的幾何意義，類比復(fù)數(shù)與點的關(guān)系、點與向量的關(guān)系探究復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系. 另外，從復(fù)數(shù)到點再到向量是一個從數(shù)到形的過程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)過程就是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與復(fù)平面內(nèi)的點、向量之間相互轉(zhuǎn)化的過程，也就是對復(fù)數(shù)進行多元表征的過程. 不同的表征對應(yīng)復(fù)數(shù)的不同研究角度，單一表征不利于學(xué)生對復(fù)數(shù)的理解，也無法使學(xué)生體會到復(fù)數(shù)引入的合理性與必要性. 對此，在學(xué)生一時難以接受多元表征的情況下，教師應(yīng)該基于問題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的表征能力，以達到知識的融會貫通.

參考文獻：

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