粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率模型研究

夏永麒， 鄭 勝， 楊珊珊*， 易 爽

(1.三峽大學(xué)機械與動力學(xué)院， 湖北 宜昌 443002； 2.三峽數(shù)學(xué)研究中心， 湖北 宜昌 443002；3.三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)是一種普遍存在的幾何結(jié)構(gòu)[1-3]，如血管組織、支氣管樹、植物脈絡(luò)、微電子器件散熱通道等等.此前研究表明，具有類樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的多孔介質(zhì)，其微通道具有統(tǒng)計自相似的特性，在一定尺度范圍內(nèi)滿足分形分布.現(xiàn)實生活中多孔介質(zhì)的微通道往往不是光滑規(guī)整的，而是粗糙各異的.由于熱輸運性質(zhì)與微觀結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)，對于樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)，結(jié)合微觀結(jié)構(gòu)來研究粗糙壁面對于其相關(guān)傳熱物理特性的影響，是很有必要的．

Mandelbrot[4]提出分形理論來表征多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)特性；Xu等[5-6]對樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)介質(zhì)的熱輸運性質(zhì)進行了研究，建立了相應(yīng)的分形模型；Wang等[7]提出了嵌套樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的復(fù)合材料有效熱導(dǎo)率的分形模型，分析了分叉網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)對于有效熱導(dǎo)率的影響；Li等[8]對于生物多孔介質(zhì)的熱輸運特性進行了研究并推導(dǎo)了生物多孔介質(zhì)有效熱導(dǎo)率的分布函數(shù).上述關(guān)于分叉網(wǎng)絡(luò)中熱輸運特性的研究為本文所用的分叉網(wǎng)絡(luò)模型奠定了基礎(chǔ)，但未考慮粗糙特性的影響.粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)，在一定程度范圍內(nèi)是滿足分形標度律的.Marjumdar和Bhushan[9-10]的關(guān)于分形理論的研究表明，在一定條件下粗糙微通道粗糙元滿足分形標度律；Chen等[11]利用分形康托集來描述粗糙微通道中粗糙表面的形貌特征，并使用數(shù)值模擬的方法研究粗糙微通道的傳熱特性；Yang等[12]結(jié)合分形幾何理論得到了微通道中相對粗糙度與表面結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的無經(jīng)驗常數(shù)的關(guān)系式.因此，根據(jù)以往研究，使用分形理論來研究粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的熱傳輸特性是可行的．

本文依據(jù)分形幾何理論建立了粗糙壁面的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的分形模型，推導(dǎo)得出了介質(zhì)有效熱導(dǎo)率的分布函數(shù)，并對粗糙特性及樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)對于有效熱導(dǎo)率的影響進行了分析．

1 粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)模型

1.1 粗糙元的分形模型

根據(jù)Marjumdar和Bhushan[9-10]的關(guān)于分形理論的研究，粗糙微通道中壁面粗糙元的分布在一定條件下，也滿足分形分布.由于粗糙壁面的粗糙元形態(tài)復(fù)雜各異，難以計算，以往的研究使用了各種不同形狀的模型去模擬粗糙元的形態(tài)[13-14].為了使模型適用于更多的情況，引入一個幾何因子g來描述不同的粗糙元.g為粗糙元底面積和高的乘積與粗糙元體積的比值，g的取值是可以大于1的，任一形狀粗糙元的體積就可表示為：

V=gSihi.

(1)

本模型假設(shè)粗糙表面的粗糙元是底面直徑為λi，高度為hi的圓錐體，且不同大小的粗糙元的高度直徑比ω=hi/λi是相等的.粗糙元的底面直徑分布滿足分形標度律：

N(L≥λ)=(λmax/λ)Df/2.

(2)

(3)

圖1 粗糙微通道等效模型示意圖Fig.1 Sketch map of rough microchannel equivalent model

1.2 粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)分形模型

假設(shè)粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)中，各個不同的分叉樹結(jié)構(gòu)具有相同的母管長度、長度比、直徑比、分叉角度、分叉級數(shù)及每一級的分叉?zhèn)€數(shù)，但不同分叉樹的母管直徑不同，且服從分形分布.

根據(jù)分叉網(wǎng)絡(luò)模型，可以計算引入粗糙元后模型的相關(guān)幾何參數(shù).根據(jù)樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)，單個光滑壁面樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)單元的總橫截面積[15]為：

(4)

式中，d0為母管的直徑，n為樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)每一級分叉的分支個數(shù)，m為樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的分叉級數(shù)，α=li+1/li為下一級分支與上一級的分支管的長度比，β=di+1/di為下一級分支與上一級的分支管的直徑比.因為分形集合單元內(nèi)樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)母管直徑的分布服從分形標度律，故根據(jù)單個樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的總橫截面積可以積分得到所有樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的總橫截面積[8]為：

(5)

同理，所有樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)母管的總橫截面積為：

(6)

設(shè)介質(zhì)橫截面的孔隙率為φs，根據(jù)孔隙率的定義，整個介質(zhì)橫截面的面積為：

(7)

故該多孔介質(zhì)中樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的面孔隙率為：

(8)

(9)

同時，等效模型中母管直徑的改變也會導(dǎo)致橫截面孔隙率和母管直徑分形維數(shù)的變化，如圖1.依據(jù)孔隙率定義，對于粗糙壁面：

(10)

(11)

故對于具有粗糙壁面的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)，其所有樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的總橫截面積、所有母管的總橫截面積以及面孔隙率分別為：

(12)

(13)

φ′f=(1-ε)2φf.

(14)

上述式(4)～(14)構(gòu)成了本文粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)分形模型的基礎(chǔ)．

2 粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)有效熱導(dǎo)率

2.1 熱傳導(dǎo)熱導(dǎo)率模型

對于光滑壁面類分形樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，可以根據(jù)Xu等[6]提出的串、并聯(lián)模型，計算樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的等效熱阻.根據(jù)傅里葉定律和熱電模擬的方法，單個光滑表面分形樹狀網(wǎng)絡(luò)的等效熱阻rb[16]可以表示為：

(15)

其中，kf為流體的熱導(dǎo)率，其他參數(shù)與式(4)相同.由式(15)可以看出，一個樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的等效熱阻實際上是關(guān)于母管熱阻的等比數(shù)列求和，比例系數(shù)與長度比、直徑比、每一級的分叉?zhèn)€數(shù)以及分叉級數(shù)有關(guān)．

對于粗糙表面的類分形樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)微通道，需考慮粗糙元等效高度對于母管直徑的影響，若忽略流體的流動因素，則具有粗糙壁面的單級母管的等效熱阻為：

(16)

又因樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的長度比α、直徑比β未發(fā)生變化(長度未改變，直徑改變但易證明直徑比不變)，同時分叉結(jié)構(gòu)也未發(fā)生變化(m、n、θ未改變)，故母管的長為l0，直徑為d′0的單個樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的等效熱阻為：

(17)

由于不同母管直徑大小分布符合分形標度律，可得所有樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的熱阻為：

(18)

根據(jù)傅里葉定律及串并聯(lián)模型，在不考慮流體流動及對流換熱的情況下，介質(zhì)的等效熱導(dǎo)率即為熱傳導(dǎo)決定，含有隨機分布的樹狀分叉結(jié)構(gòu)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率[8]可表示為：

(19)

式中，Rm為介質(zhì)基質(zhì)的熱阻，其表達式為：

(20)

L0為單個樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的特征長度，其可以表達為：

(21)

將相關(guān)參數(shù)的表達式代入，可以得到含有隨機分布的粗糙樹狀分叉結(jié)構(gòu)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率[8]表達式為：

kcd=

km[1-(1-ε)2φf]+

(22)

2.2 對流換熱的熱導(dǎo)率模型

樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的熱輸運是一個復(fù)雜的過程，在2.1中，忽略了流體與介質(zhì)基質(zhì)間的對流換熱，但是現(xiàn)實生活和工程實際中，流體與介質(zhì)基質(zhì)間的對流換熱是不可忽視的．

樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)中的傳熱包含了介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)以及流體流動的對流換熱兩部分的貢獻，因此介質(zhì)傳熱的有效熱導(dǎo)率可以表示為：

keff=kcd+kcv=kcd1+kcd2+kcv，

(23)

式中，kcd為熱傳導(dǎo)所貢獻的熱導(dǎo)率，包含介質(zhì)基質(zhì)的熱導(dǎo)率kcd1以及微通道流體的熱導(dǎo)率kcd2兩部分組成，kcv表示粗糙表面樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的對流換熱熱導(dǎo)率．

一個分形集合單元中所有的粗糙元的總底面面積為：

(24)

假設(shè)所有粗糙元具有同樣的高度直徑比，故可以由粗糙元的底面積得到其側(cè)面積，即分形單元中所有粗糙元的換熱面積為：

(25)

無粗糙元覆蓋的光滑部分的面積為：

(26)

則由式(25)和(26)可得單個粗糙壁面母管的熱對流面積為：

(27)

根據(jù)牛頓冷卻公式，單個粗糙壁面母管內(nèi)所有粗糙元的對流換熱量為：

qc=hrScΔT，

(28)

(29)

同一母管在光滑壁面情況下的對流換熱量為：

(30)

因此，由式(29)和(30)可知同一母管在具有粗糙表面情況下與光滑表面情況下的對流換熱量的比值為：

(31)

通過式(31)可知，η大于1，即表示針對同一母管，粗糙表面會使其對流換熱加強，這一比例同粗糙元分布的孔隙率φc，高度直徑比ω以及母管的相對粗糙度ε有關(guān)．

根據(jù)Chen等[17]假設(shè)通過樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的每一個管道是熱充分發(fā)展的層流流動，每一級的Nusselt數(shù)是相同的，根據(jù)樹狀分叉模型網(wǎng)絡(luò)的特點，可以得到關(guān)于對流換熱系數(shù)[8]的表達式：

(32)

hi=h0β-i，

(33)

式中，h0和hi分別是第0級和第i級的對流換熱系數(shù).根據(jù)假設(shè)，分叉網(wǎng)絡(luò)各級之間的溫度差是恒定的，故通過單個光滑樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的對流換熱熱流量為：

(34)

對于粗糙壁面的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)，由于各級微通道相對粗糙度ε是一致的，且易證明其長度比、直徑比等都同光滑表面情況是相等的.故對于粗糙表面的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)，上面的處理方式仍然適用.可以得到粗糙壁面樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的對流換熱量為：

(35)

根據(jù)樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)及粗糙元具有的統(tǒng)計自相似的特性，單個粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的熱對流面積為：

(36)

由此可以得到同一個樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)在粗糙壁面與光滑壁面情況下的對流換熱面積的比值：

(37)

仿照迂曲度的定義，將面積比τ定義為樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的面迂曲度，用來描述粗糙壁面的凹凸不平的程度，面迂曲度越大，表示壁面凹凸不平的程度越高，對流換熱面積越大．

由于多孔介質(zhì)中的不同樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的壁面材質(zhì)相同，在該模型中可以認為同一介質(zhì)中的不同樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)里粗糙元分布的分形維數(shù)Ds和孔隙率φc也是相同的.且由于粗糙元的高度直徑比ω是定值，故樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)中，對于不同的分叉樹，其面迂曲率τ是相等的.因此整個多孔介質(zhì)的管壁對流換熱面積也滿足這一比例關(guān)系.對于光滑壁面的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)，整個介質(zhì)的對流換熱面積及對流換熱量為[8]：

(38)

(39)

故對于粗糙壁面的情況，整個介質(zhì)的對流換熱面積及對流換熱量為：

Ac=τAs=

(40)

(41)

依據(jù)傅里葉定律，流體流動引起的對流換熱的熱導(dǎo)率為：

(42)

根據(jù)母管直徑分形分布的概率密度函數(shù)，可以得到母管的平均直徑為：

(43)

(44)

由式(22)和(44)可得粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率為：

keff=kcd1+kcd2+kcv=km[1-(1-ε)2φf]+

(45)

由式(45)可以看出，在忽略流體流動影響的情況下，粗糙壁面介質(zhì)相比同一光滑壁面介質(zhì)，介質(zhì)基質(zhì)熱傳導(dǎo)增強，流體熱傳導(dǎo)減弱，對流換熱增強．

3 分析與討論

基于得出的有效熱導(dǎo)率表達式，本文計算出了相應(yīng)介質(zhì)的熱導(dǎo)率，并與該類型介質(zhì)的實驗數(shù)據(jù)[19-21]進行比較，相關(guān)參數(shù)的取值見圖例注釋.圖2中對比了不同基質(zhì)熱導(dǎo)率km情況下，粗糙壁面和光滑壁面的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率的關(guān)系.如圖2可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)式(45)提供的有效熱導(dǎo)率模型計算出的粗糙壁面樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率與部分文獻中的實驗結(jié)果數(shù)據(jù)較為吻合，且粗糙壁面有效熱導(dǎo)率要大于同等光滑壁面介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率，圖2取值范圍中，傳熱增強在2.7%～5.8%.圖3中表明了基質(zhì)熱傳導(dǎo)、流體熱傳導(dǎo)以及對流換熱三個部分與介質(zhì)總體有效熱導(dǎo)率的關(guān)系及貢獻比重.圖2和圖3中的參數(shù)為kf=0.5，φf=0.1，ε=0.1，α=0.77，β=0.8，n=2，Nu=4.93，δT=25 μm，d0max=3.7×10-2m，d0min=3.7×10-4m.

圖2 有效熱導(dǎo)率與相關(guān)實驗數(shù)據(jù)[19-21]的比較 圖3 kcd1、kcd2和kcv分布曲線圖 Fig.2 A comparison of effective thermal Fig.3 Distribution curves of kcd1、kcd2 and kcv conductivity with experimental data

φf=0.1，ε=0.1，α=0.77，β=0.8，n=2，Nu=4.93，δT=25 μm，d0max=3.7×10-2 m，d0min=3.7×10-4 m圖4 有效熱導(dǎo)率關(guān)于km/kf分布曲線圖Fig.4 Plot of effective thermal conductivity with respect to km/kf distribution

從圖5中可以得到，介質(zhì)基質(zhì)的熱傳導(dǎo)隨相對粗糙度升高而增強，流體的熱傳導(dǎo)隨相對粗糙度升高而會減弱，而且兩者關(guān)于相對粗糙度的變化都相對平緩.在圖5取值范圍內(nèi)，對流換熱隨相對粗糙度的升高迅速升高，介質(zhì)總體的有效熱導(dǎo)率變化曲線也具有相似的趨勢.這說明了在該條件下，粗糙壁面對于多孔介質(zhì)內(nèi)微通道傳熱的主要影響是體現(xiàn)在對流換熱的增強上，其相對于熱傳導(dǎo)的影響要更為顯著.在相對粗糙度為0.1時，介質(zhì)有效熱導(dǎo)率中，流體熱傳導(dǎo)部分占比45.1%，基質(zhì)熱傳導(dǎo)部分占比7.3%，對流換熱部分占比47.6%；相對粗糙度為0.3時，流體熱傳導(dǎo)部分占比41.6%，基質(zhì)熱傳導(dǎo)部分占比3.9%，對流換熱部分占比54.5%．

km=0.15，kf=0.5，φf=0.1，α=0.77，β=0.8，n=2，Nu=4.93，δT=25 μm，d0max=3.7×10-2 m，d0min=3.7×10-4 m圖5 有效熱導(dǎo)率關(guān)于相對粗糙度的分布曲線圖Fig.5 Plot of effective thermal conductivity with respect to relative roughness

圖6說明介質(zhì)基質(zhì)的熱傳導(dǎo)隨母管孔隙率增大而減弱，流體熱導(dǎo)率隨母管孔隙率增大而增強，對流換熱隨母管孔隙率增大而增強.最終介質(zhì)總體有效熱導(dǎo)率的變化是三者綜合決定的，在圖示條件下，對流換熱占據(jù)主導(dǎo)作用.相比同等光滑介質(zhì)，具有粗糙壁面的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率更大．

km=0.15，kf=0.5，ε=0.1，α=0.77，β=0.8，n=2，Nu=4.93，δT=25 μm，d0max=3.7×10-2 m，d0min=3.7×10-4 m圖6 有效熱導(dǎo)率關(guān)于母管的孔隙率的分布曲線圖Fig.6 Plot of effective thermal conductivity with respect to the porosity of the parent tube

4 總結(jié)

根據(jù)分形理論和傳熱學(xué)定律，建立了粗糙壁面樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的分形模型，通過一系列合理的簡化和假設(shè)，推導(dǎo)出了粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率分布函數(shù).通過分布函數(shù)得出的有效熱導(dǎo)率與之前部分學(xué)者研究的實驗數(shù)據(jù)較為吻合.同時，結(jié)合推導(dǎo)的分布函數(shù)，分析了有效熱導(dǎo)率與相對粗糙度、基質(zhì)(或流體)熱導(dǎo)率、母管直徑孔隙率等參數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，為后續(xù)的實際應(yīng)用和模型完善提供了一定的理論依據(jù)．