遺傳算法下弧齒錐齒輪齒面接觸特性優(yōu)化

姜志宏，王興衛(wèi)，池漢佳，趙小濤

（江西理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 江西贛州 341000）

弧齒錐齒輪副的傳動性能表現(xiàn)在齒面接觸跡線的角度、接觸區(qū)的大小及傳動誤差，可通過調(diào)整機(jī)床初始加工參數(shù)進(jìn)行修正[1]。Argyris等[2]采用集成的計(jì)算機(jī)優(yōu)化方法，對弧齒錐齒輪輪齒間的應(yīng)力進(jìn)行分析。Artoni等[3-4]提出一種自動程序來優(yōu)化加載情況下的齒面接觸區(qū)域，該程序能夠識別接觸區(qū)圖案的形狀并對其進(jìn)行優(yōu)化。嚴(yán)宏志等[5]定義出最佳齒面修形量，以最小化LTE和降低接觸壓力，同時(shí)將加載的接觸區(qū)約束在齒面規(guī)定的區(qū)域內(nèi)，可避免任何邊緣或角接觸。Samani等[6]提出了生成最佳弧齒錐齒輪齒面的方法。楊林和劉大鵬[7]通過對小輪控制參數(shù)的不斷調(diào)整，使實(shí)際接觸區(qū)域和傳動誤差達(dá)到較為理想的狀態(tài)。王琪等[8]研究了弧齒錐齒輪齒面加載性能多目標(biāo)優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的建立及求解。張衛(wèi)青等[9]提出基于共軛差曲面的弧齒錐齒輪接觸特性的控制方法。劉衛(wèi)平等[10]基于機(jī)器視覺技術(shù)快速獲得弧齒錐齒輪的齒面接觸區(qū)，并通過計(jì)算齒面接觸區(qū)偏離齒面型心的程度及齒面接觸區(qū)的二維分形維數(shù)達(dá)到評價(jià)齒輪質(zhì)量的目的。周凱紅等[11]通過點(diǎn)嚙合齒面加載接觸的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立了點(diǎn)嚙合齒面整體優(yōu)化設(shè)計(jì)的變分不等式模型。

本文通過一種基于遺傳算法的弧齒錐齒輪齒面接觸區(qū)和傳動誤差曲線的全局優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，以提高擺輾機(jī)弧齒錐齒輪性能。

1 控制參數(shù)及優(yōu)化目標(biāo)的確定

傳統(tǒng)的TCA技術(shù)僅是在輕載的情況下對齒面進(jìn)行接觸分析，不合理地修改大輪和小輪的機(jī)床調(diào)整參數(shù)會導(dǎo)致各種類型的傳動誤差曲線，包括直線形誤差到“S”形誤差，對稱的誤差到不對稱的誤差；計(jì)算弧齒錐齒輪刀具參數(shù)和機(jī)床調(diào)整的傳統(tǒng)方法只能控制計(jì)算點(diǎn)的法向量和曲率，而不能保證整個(gè)齒面接觸，使齒面接觸區(qū)的位置、大小和形狀出現(xiàn)如對角接觸、菱形接觸、魚尾形等不良接觸[12]。

1.1 控制參數(shù)的確定

小輪的螺旋角 βP、小輪的節(jié)錐角 Γp、小輪的節(jié)錐距Rp、齒高方向的法曲率Ap、齒長方向的法曲率Bp和短程撓率Cp都可以作為優(yōu)化問題的控制參數(shù)。然而，前3個(gè)參數(shù)只與大輪輪坯有關(guān)，而與齒形無關(guān)。小輪在節(jié)點(diǎn)P（小輪節(jié)錐與大輪節(jié)錐的切點(diǎn)）處齒高方向的法曲率Ap、齒長方向的法曲率Bp和短程撓率Cp是確定小輪切齒節(jié)錐的主要因素。因此選Ap、Bp、Cp作為優(yōu)化問題的控制參數(shù)，符合嚙合特性主要由齒面曲率決定的原則[13]。

1.2 確定優(yōu)化目標(biāo)

齒面接觸區(qū)和傳動誤差曲線存在多種缺陷形式，采用盡量少的優(yōu)化目標(biāo)，限制盡量多的缺陷種類，選擇瞬時(shí)接觸橢圓長半軸、接觸跡線方向角及傳動誤差曲線交叉點(diǎn)縱坐標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)。

1.2.1 瞬時(shí)接觸橢圓長半軸l

瞬時(shí)橢圓長半軸l可以控制接觸區(qū)域的大小，防止接觸區(qū)出現(xiàn)寬接觸、窄接觸、長接觸和短接觸等不良現(xiàn)象。瞬時(shí)接觸橢圓長半軸最優(yōu)值為

式中：F為齒長接觸系數(shù)；b為 齒寬；β為螺旋角。

由于嚙合周期內(nèi)有無數(shù)的瞬時(shí)接觸橢圓，且每個(gè)橢圓長半軸的長度是不一樣的，因此瞬時(shí)接觸橢圓長半軸l可用平均值表示，即

式中：lk為第k個(gè)瞬時(shí)橢圓長半軸最優(yōu)值；n為嚙合周期內(nèi)瞬時(shí)橢圓的數(shù)量。

1.2.2 接觸跡線方向角γ

方向角 γ為接觸跡線與根錐母線夾角。當(dāng)大輪齒面為凸面且 γ <0時(shí)，傳動誤差曲線不相交；當(dāng)γ>0時(shí)，傳動誤差曲線的重疊部分隨著 γ的增大而增多，這表明齒輪傳動的接觸比在不斷增大，但是過大的 γ將會導(dǎo)致接觸區(qū)出現(xiàn)嚴(yán)重的內(nèi)對角接觸現(xiàn)象，同時(shí)對齒輪副安裝精度要求極高。而當(dāng)大輪齒面為凹面，情況與上述正好相反。因此 γ的最優(yōu)值為：

可以看出：γ可同時(shí)影響著接觸區(qū)域和轉(zhuǎn)動誤差曲線。雖然 γ可以防止轉(zhuǎn)動誤差曲線出現(xiàn)不重疊的現(xiàn)象，但是不能有效地防止傳動誤差曲線出現(xiàn)不相交的現(xiàn)象。將接觸跡線上的接觸點(diǎn)進(jìn)行線性擬，即

式中 ：Pax和Pay分 別為 接觸 點(diǎn)在x軸和y軸 的位 置；ci為第i個(gè)接觸跡線函數(shù)擬合系數(shù)。

因此接觸跡線方向角 γ可表示為

1.2.3 傳動誤差曲線交叉點(diǎn)縱坐標(biāo)δ

δ可避免轉(zhuǎn)動誤差曲線形狀出現(xiàn)向上彎曲、不重疊、不相交等現(xiàn)象。 δ應(yīng)為負(fù)且絕對值盡可能小，使實(shí)際傳動比接近理論值。但 δ絕對值過小將導(dǎo)致轉(zhuǎn)動誤差曲線出現(xiàn)彎曲向上的現(xiàn)象。因此 δ的最優(yōu)值δOPT∈ [?6×10?5?4×10?5]。

采用多項(xiàng)式函數(shù)表示傳動誤差曲線，即

式中：cj為傳動誤差曲線擬合系數(shù)； ψg為大輪齒面上任意接觸點(diǎn)從機(jī)床調(diào)整位置到接觸位置所需旋轉(zhuǎn)的角度。

可求解得到轉(zhuǎn)動誤差曲線交叉點(diǎn)縱坐標(biāo) δ為

式中Ng為接觸點(diǎn)M在大輪上的法向矢量。

2 設(shè)計(jì)優(yōu)化算法

理想的齒面接觸效果應(yīng)使接觸軌跡線為近似垂直于根錐的直線，毎個(gè)瞬時(shí)接觸橢圓的長軸應(yīng)大致相等，傳動誤差曲線應(yīng)向下彎曲且能夠相交，交點(diǎn)盡量靠近橫坐標(biāo)等[14-15]。

2.1 建立目標(biāo)函數(shù)

有3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)：lOPT、 γOPT和 δOPT。顯然，要實(shí)現(xiàn)總體優(yōu)化目標(biāo)，l、γ和 δ應(yīng)分別達(dá)到目標(biāo)值。因此全局優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)設(shè)置如下：

式中： Δ ε為優(yōu)化精度；當(dāng)f(l,γ,δ)=3Δε時(shí)表明優(yōu)化目標(biāo)得到了總體優(yōu)化。

2.2 約束條件

接觸點(diǎn)M的位置應(yīng)在大輪和小輪的齒面范圍內(nèi)。接觸點(diǎn)接觸點(diǎn)位置如圖1所示。

圖1 接觸點(diǎn)位置

假設(shè)大輪和小輪的齒面在軸截面內(nèi)的面積分別是 ΔSg和 ΔSP，則：

式中： ΔStop為接觸點(diǎn)M和齒高線劃分的三角區(qū)域 ；ΔStoe為接觸點(diǎn)M和齒面小端劃分的三角形區(qū)域；ΔSroot為接觸點(diǎn)M和齒根線劃分的三角形區(qū)域；ΔSheel為接觸點(diǎn)M和齒面大端劃分的三角形區(qū)域。

若接觸點(diǎn)M超出大齒輪齒面的范圍（見圖1b)），則

若接觸點(diǎn)M超出小齒輪齒面的范圍（見圖1b)），則

2.3 優(yōu)化方程的求解

采用二進(jìn)制編碼的方法對控制變量進(jìn)行編碼；適應(yīng)度函數(shù)fitvalue(l,γ,δ)= ?lg(f(l,γ,δ))； 選擇操作中采用“輪盤賭法”的方法，種群中每個(gè)個(gè)體被選中進(jìn)入下一代的概率為Pi，計(jì)算公式為

設(shè)置遺傳算法參數(shù)為：種群m=30，種群內(nèi)交叉概率Pc=0.6，種群內(nèi)變異概Pm=0.09，選擇最大代數(shù)m作 為終止準(zhǔn)則，終止迭代數(shù)為 2 50。齒面接觸區(qū)域和傳動誤差曲線優(yōu)化方程的求解過程如圖2所示，優(yōu)化結(jié)果如圖3所示。

圖2 齒面接觸區(qū)域和傳動誤差曲線優(yōu)化方程的求解過程

圖3 基于遺傳算法的齒面接觸區(qū)及傳動誤差曲線優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化目標(biāo)lOPT=3.0036mm，γOPT=59.9693°，和δOPT=?5.00077×10?5rad ，計(jì)算精度Δ ε=0.001，曲率參數(shù)AP=?0.0026、BP=0.031988和CP=?0.01723，其優(yōu)化后小輪機(jī)床加工參數(shù)修正量如表1所示。迭代具有良好的收斂性，這表明優(yōu)化目標(biāo)、控制參數(shù)和優(yōu)化算法是匹配的。

表1 優(yōu)化后小輪機(jī)床加工參數(shù)修正量

3 優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

3.1 有限元模型的構(gòu)建

建立優(yōu)化后擺輾機(jī)弧齒錐齒輪傳動有限元模型，重合度 ε =1.6134，簡化成兩對齒嚙合，見圖4。選用ANSYS對整體模型進(jìn)行面映射網(wǎng)格劃分，對其中一對接觸齒面進(jìn)行局部網(wǎng)格細(xì)化，見圖5。

圖4 擺輾機(jī)弧齒錐齒輪簡化模型圖

圖5 小輪接觸齒面局部網(wǎng)格細(xì)化

3.2 大輪齒面接觸區(qū)

圖6是負(fù)載扭矩Tg對大輪凸面接觸區(qū)的影響。

圖6 負(fù)載情況下大輪凸面接觸區(qū)

從圖6中可以發(fā)現(xiàn)：

1）當(dāng)Tg=100Nm時(shí)，齒面載荷由齒面中心部位最大值 2 41.9MPa向四周擴(kuò)散，并有向齒根處發(fā)展趨勢，其數(shù)值逐漸減小至 2.016MPa ；2）當(dāng)Tg=200Nm時(shí)，齒面載荷由齒面中心部位最大值 3 18.3MPa向四周擴(kuò)散，擴(kuò)散到齒根處，在該部位的齒面載荷載荷為7.959Nm，但其接觸區(qū)的面積和接觸跡線長度有明顯增加，接觸跡線方向角γ 明顯減小；3）當(dāng)Tg=400Nm時(shí)，齒面載荷由齒面中心部位最大值 3 18.3MPa向四周擴(kuò)散，擴(kuò)散到齒根處，在該部位的齒面載荷增大到14.93MPa，但其接觸區(qū)面積和接觸跡線長度繼續(xù)增加，接觸跡線方向角 γ繼續(xù)減小。

結(jié)果表明，齒面載荷分布均勻，變化平穩(wěn)，齒面接觸區(qū)基本呈橢圓形分布在大輪凸面中心區(qū)域，與優(yōu)化結(jié)果（Tg=0）一致，驗(yàn)證該優(yōu)化方法的正確性。對于齒面接觸區(qū)面積、接觸跡線長度及其方向角變化，說明接觸區(qū)隨著負(fù)載扭矩的增加，逐漸向齒根部位擴(kuò)展，而不向齒面小端擴(kuò)展。在實(shí)際應(yīng)用中，可充分利用整個(gè)齒面的承載能力，齒輪傳動裝置的安裝位置應(yīng)到達(dá)靠近齒面小端的輕載接觸區(qū)域。

3.3 傳動誤差曲線

負(fù)載情況下齒輪傳動的傳動誤差曲線及瞬時(shí)傳動比如圖7所示。

圖7 負(fù)載情況下齒輪傳動的傳動誤差曲線及瞬時(shí)傳動比

由圖7a）知：傳動誤差曲線為理論值時(shí)，傳動誤差最大值為? 4.64×10?11rad，最小值為? 5.743×10?5rad，波動值為 5.743×10?5rad，呈周期性變化。

Tg=100Nm時(shí)，傳動誤差最大值為3.055×10?8rad，最小值為 ? 2.351×10?5rad，波動幅值相比理論值增大到 2.3541×10?5rad，其曲線在一個(gè)運(yùn)動周期中有3個(gè)波動區(qū)域，表示齒輪傳動的嚙合狀態(tài)為單齒嚙合與雙齒嚙合之間不斷切換。Tg=200Nm時(shí)，傳動誤差最大值為? 2.973×10?8rad ，最小值為? 3.279×10?5rad，波動幅值相比理論值增大到 3.260×10?5rad，其曲線在一個(gè)運(yùn)動周期內(nèi)也有3個(gè)波動區(qū)域。Tg=400Nm時(shí)，傳動誤差最大值為 ? 2.053×10?7rad，最小值為?5.431×10?5rad，波動幅值相比理論曲線增大到5.4105×10?5rad，曲線在一個(gè)運(yùn)動周期內(nèi)不包含明顯的波動區(qū)域，運(yùn)動躍遷變得更平滑，是因?yàn)閲Ш蠣顟B(tài)變?yōu)殡p齒嚙合或三齒嚙合，其小輪工作轉(zhuǎn)角的取值、工作齒面嚙合位置和輪齒間載荷分配發(fā)生了變化。

當(dāng)Δi=ΔψP/Δψg在理論值2.083附近波動（圖7b)）。Tg=100Nm時(shí) ， Δi=0.006； 當(dāng)Tg=200Nm 時(shí) ， Δi=0.006；Tg=400Nm時(shí) ， Δi=0.009。說明，當(dāng)Tg增加到一定值， Δi振幅會隨著Tg的增加而增加，這意味著齒輪傳動的穩(wěn)定性降低。

4 結(jié)論

1）提出以瞬時(shí)接觸橢圓長半軸、接觸線方向角和傳動誤差曲線交點(diǎn)縱坐標(biāo)為優(yōu)化目標(biāo)，基于遺傳算法的擺輾機(jī)弧齒錐齒輪齒面接觸區(qū)和傳動誤差曲線全局優(yōu)化算法，并得出優(yōu)化后的齒面接觸跡線方向、齒面接觸區(qū)大小和傳動誤差曲線交叉點(diǎn)位置數(shù)值均在合理范圍內(nèi)。

2）通過建立優(yōu)化后弧齒錐齒輪副系統(tǒng)有限元模型，并對負(fù)載下瞬態(tài)接觸特性進(jìn)行分析，齒面載荷分布均勻、變化平穩(wěn)，齒面接觸區(qū)基本呈橢圓形分布，其傳動誤差曲線的整體變化趨勢與優(yōu)化后的理論傳動誤差曲線基本保持一致。