中位線在解決平行四邊形問題中的應(yīng)用

文／孫海鋒

三角形的中位線定理是平行四邊形章節(jié)的“壓軸”內(nèi)容，集中體現(xiàn)了兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系。下面，老師結(jié)合平行四邊形與中位線的綜合題進(jìn)行分析，探究解決這類問題的一般方法，供同學(xué)們參考。

一、根據(jù)概念，聯(lián)系性質(zhì)

例1如圖1，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接OE。若OA=1，△AOE的周長等于5，則平行四邊形ABCD的周長等于 。

圖1

【解析】根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可知點(diǎn)O是對角線AC、BD的中點(diǎn)。結(jié)合條件“點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)”，可得OE是△ACD的中位線。結(jié)合中位線的性質(zhì)，得△ACD的周長為10。由條件“OA=1”，可將△ACD的周長轉(zhuǎn)化為兩邊AD、CD的和，從而求出平行四邊形ABCD的周長為16。

【點(diǎn)評(píng)】依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知條件發(fā)現(xiàn)OE是△ACD的中位線是解決問題的關(guān)鍵。

二、結(jié)合條件，構(gòu)造圖形

例2如圖2，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)C在等邊△BEF的邊BF上，點(diǎn)E在AB的延長線上，點(diǎn)G為DE的中點(diǎn)，連接CG。若AD=3，AB=CF=2，則CG的長為 。

圖2

【解析】如圖3，延長DC交EF于點(diǎn)M。根據(jù)平行四邊形與等邊三角形的性質(zhì)，可證△CFM是等邊三角形，EF=BF=BC+CF=5，而CM=MF=CF=2，可得C、G是DM、DE的中點(diǎn)。根據(jù)中位線的性質(zhì)，可得出CG=

圖3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、中位線等知識(shí)點(diǎn)。延長DC交EF于點(diǎn)M，利用平行四邊形、等邊三角形性質(zhì)求出相應(yīng)的線段長，證出CG是△DEM的中位線是解題的關(guān)鍵。

平行四邊形的性質(zhì)比較豐富，其邊、角、對角線等都具有一定的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系。在解決問題時(shí)，首先分析條件是指向邊、角，還是指向?qū)蔷€，然后結(jié)合該元素具有的特征嘗試解決問題。如果條件中給出的中點(diǎn)不止一個(gè)，解題時(shí)應(yīng)有意識(shí)地尋找是否存在中位線；若條件中只有一個(gè)中點(diǎn)，可以嘗試依據(jù)圖形特征構(gòu)造中位線解決問題。