特殊四邊形最值問(wèn)題

文／陳新合

特殊四邊形是中考中重要的知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，常與直角三角形、等腰三角形和勾股定理等知識(shí)搭配。最值問(wèn)題是中考的?？碱}型，以特殊四邊形為背景的最值問(wèn)題是近兩年中考考查的熱點(diǎn)。下面，老師結(jié)合中考題，總結(jié)歸納一些求最值的題型，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考。

一、菱形中的最值問(wèn)題

例1（2021·四川眉山）如圖1，在菱形ABCD中，AB=AC=10，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且AM=3，點(diǎn)P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP+PB的最小值是______。

圖1

解：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E。

圖2

∵四邊形ABCD是菱形，AB=AC=10，

∴AB=BC=AC=10，∠ABD=∠CBD，

二、矩形中的最值問(wèn)題

例2（2021·四川內(nèi)江）如圖3，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上。當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離為 。

圖3

解：如圖4，取AD的中點(diǎn)H，連接CH，OH。

圖4

∵在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，

∴CD=AB=1，AD=BC=2。

∵點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，

∴AH=DH=1，

∵∠AOD=90°，點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，

在△OCH中，CO＜OH+CH，當(dāng)點(diǎn)H在OC上時(shí)，CO=OH+CH，

∴CO的最大值為OH+CH=+1。

三、正方形中的最值問(wèn)題

例3（2021·山東威海）如圖5，在正方形ABCD中，AB=2，E為邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)。連接DE和AF交于點(diǎn)G，連接BG。若AE=BF，則BG的最小值為 。

圖5

解：如圖6，取AD的中點(diǎn)T，連接BT、GT。

圖6

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB=2，∠DAE=∠ABF=90°，

在△DAE和△ABF中，