二維不可壓Navier-Stokes-Landau-Lifshitz-Bloch方程的整體弱解的存在性

申會玲

(廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510006)

0 引 言

本文研究不可壓Navier-Stokes-Landau-Lifshitz-Bloch方程：

?tρ+div(ρu)=0

(1)

?t(ρu)+div(ρu?u)+?p=μΔu-λ?·(?d⊙?d)

(2)

?td+u·?d+α1d×Δd=α2Δd-α3(1+|d|2)d

(3)

divu=0

(4)

其中,(x,t)∈Ω×(0,T)，Ω={x=(x1,x2)||xi|0,α1<0;運算符號?是梯度算子;?·是散度算子;?d⊙?d是一個2×2階矩陣?id·?jd(1≤i,j≤2)。

其初始條件：

(ρ,u,d)|t=0=(ρ0,u0,d0)

(5)

在式(1)～(4)中，若d是常向量，則原方程是一個常粘性非齊次不可壓Navier-Stokes方程?，F(xiàn)在對于一般的Navier-Stokes方程組的研究相對成熟，Lions[1]對不可壓Navier-Stokes方程組作了比較系統(tǒng)性的研究,對可壓縮的Navier-Stokes方程組的研究主要見Lions[2]和Feireisl等[3- 4]。但是對于三維Navier-Stokes方程組的弱解的正則性和唯一性問題至今仍未解決。

若取式(1)～(4)中u=0，ρ是一個常數(shù)，并且如果式(3)中α2Δd-α3(1+|d|2)d項是d×(d×Δd)，則式(1)～(4)變?yōu)長andau-Lifshitz方程[5-6]

?td=d×Δd-λd×(d×Δd)

(6)

式(6)無耗散項時為

?td=d×Δd

(7)

對于式(7)，Alouges等[7]和Sulem等[8]討論了在一定條件下該方程的弱解的存在性及唯一性問題；郭柏靈等[6]、Zhou等[9-11]和You等[12]證明了在一維情況下的整體弱解的存在性、非線性初邊值問題整體弱解的存在性，及多維情況下整體弱解的存在性。對于式(6)的解的存在性問題，Guo等[13]在1997年已經(jīng)討論，在文中證明了式(6)局部弱解的存在性，又通過拓展得到整體解的存在性。

當(dāng)不考慮速度和密度時，式(1)～(4)就是Landau-Lifshitz-Bloch方程[14-15]

?td=Δd+d×Δd-λ|d|2d,

對此方程的研究近年有顯著進展：2016年Le[16]證明了方程弱解的存在性,并討論了弱解的正則性；2019年Ayouch等[17]討論了一類含Caputo分數(shù)階弱導(dǎo)數(shù)的時空Landau-Lifshitz-Bloch方程弱解的整體存在性并推導(dǎo)出在一維空間情況下的唯一性；近兩年Jia和Guo等[18-20]研究了m維閉黎曼流形上的Landau-Lifshitz-Bloch方程局部解的存在性、一維可壓縮Landau-Lifshitz-Bloch方程初值問題的整體光滑解的存在唯一性、具有周期初始值的Landau-Lifshitz-Bloch方程在二維和三維空間中其光滑解的存在唯一性。

本文參考Wang等[21]證明二維Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程弱解的存在性的Feado-Galerkin方法，研究二維不可壓Navier-Stokes-Landau-Lifshitz-Bloch方程的整體弱解的存在性。

下面給出本文的主要結(jié)果：

定理1(存在性) 假設(shè)初始數(shù)據(jù)滿足以下條件：

(8)

u0∈L2(Ω), ?d0∈L2(Ω),divu0=0

(9)

則對任意的T>0，式(1)～(4)存在弱解(ρ,u,d)且滿足：

(10)

u∈L∞([0,T];L2(Ω))∩L2([0,T];H1(Ω))

(11)

d∈L∞([0,T];H1(Ω))∩L2([0,T];H2(Ω))

(12)

1 預(yù)備知識

在這里先給出一些符號表示。在本文中C是變常數(shù)；Wk,p和Hs是Sobolev空間，Lp([0,T];Lq(Ω))是帶有時間的Sobolev空間，其中的元素關(guān)于時間變量p次可積，關(guān)于空間變量q次可積。

引理1(Gagliardo-Nirenberg不等式)[22]假設(shè)Ω?Rd(d≥1)是一個有界開集，且滿足?Ω∈C0,1，m∈N,1≤p,q,r≤∞，那么存在常數(shù)C>0使得?u∈Wm,p(Ω)∩Lq(Ω)有

其中,0≤|α|≤m-1，θ=|α|/m且|α|-d/r=θ(m-d/p)-(1-θ)d/q；若m=|α|-d/p?N0,θ∈[|α|/m,1]上述不等式也成立。

引理2(Sobolev嵌入定理)[23]Sobolev空間Wk,p(Rn)，若k>l且1≤p

Wk,p(Rn)?Wl,q(Rn)

并且此嵌入連續(xù)。在k=1且l=0的特殊情況下有

W1,p(Rn)?Lp*(Rn)，

其中,p與p*是Sobolev共軛：1/p*=1/p-1/n.

特別地，由引理1與引理2有下列不等式在n=2的情況下成立，且將在下節(jié)中用到：

若u∈L2(Ω)且?u∈L2(Ω)，則有

(13)

引理3(Aubin-Lions引理)[24]假設(shè)Banach空間X,Y,Z滿足X?Y?Z并且X→→Y，則有

Lq([0,T];X)∩{φ:?tφ∈L1([0,T];Z)}→→Lq([0,T];Y),?1≤q≤∞,

L∞([0,T];X)∩{φ:?tφ∈Lr([0,T];Z)}→→C([0,T];Y),?1≤r≤∞。

2 存在性證明

在本節(jié)中通過構(gòu)造逼近解，說明了其局部存在性，又對逼近解做一致整體的線性估計，從而證明弱解的整體存在性。

首先構(gòu)造一個逼近解序列：

令

V={h∈L2}

(14)

-Δw=λjw,

-Δη=δjη,

對于?m,n，式(1)～(4)有近似解umn和dmn：

(15)

(16)

那么就有

?tρmn+umn·?ρmn=0

(17)

(18)

(19)

ρmn(x,0)=ρ0mn(x),umn(x,0)=u0mn(x),

dmn(x,0)=d0mn(x)

(20)

其中,j=1,2,…m。式(17)～(20)是關(guān)于gjmn和hjmn的常微分系統(tǒng)，根據(jù)常微分方程組存在性理論可以得到?T0>0，使得常微分系統(tǒng)式(17)～(20)有光滑解(gjmn,hjmn)，并且可以將解延拓到區(qū)間[0,T]。

下面對上述的逼近解進行先驗估計。

引理4假設(shè)定理1的條件成立，則式(17)～(20)的解滿足如下估計:

(21)

(22)

證明根據(jù)式(17)由特征線法易證得式(21)，現(xiàn)證式(22)。

在式(18)中選取umn為測試函數(shù)

(23)

在此用到由式(17)得到的一個事實

(ρmnumn·?umn)·umndx。

類似地，式(19)中選取Δdmn為測試函數(shù)

α3|dmn|2|?dmn|2+

(24)

同時又注意到，通過分部積分有

式(23)～(24)的λ倍相加得

(25)

根據(jù)引理4，用Gronwall不等式易得下列推論。

推論1下列不等式成立

‖umn‖L∞([0,T];L2(Ω))+‖umn‖L2([0,T];H1(Ω))≤C

(26)

‖dmn‖L∞([0,T];H1(Ω))+‖dmn‖L2([0,T];H2(Ω))≤C

(27)

引理5下列估計成立

‖?tumn‖L2 ([0,T];H-1(Ω))≤C

(28)

證明由式(18)、式(13)和分部積分可得

|μ|‖?umn‖L2([0,T];L2(Ω))‖?φj‖L2([0,T];L2(Ω))+

c‖umn‖L∞([0,T];L2(Ω))‖?umn‖L2([0,T];L2(Ω))

‖?φj‖L2([0,T];L2(Ω))+c‖?dmn‖L∞([0,T];L2(Ω))

‖Δdmn‖L2([0,T];L2(Ω))‖?φj‖L2([0,T];L2(Ω))，

即‖?tumn‖L2([0,T];H-1(Ω))≤C得證。

引理6

‖?tdmn‖L2([0,T];H-1(Ω))≤C

(29)

證明由式(19)知

通過分部積分可得

因此，

‖umn‖L∞([0,T];L2(Ω))‖dmn‖L2([0,T];L∞(Ω))

‖?ψj‖L2([0,T];L2(Ω))+

|α1|‖dmn‖L2([0,T];L∞(Ω))‖?dmn‖L∞([0,T];L2(Ω))

‖?ψj‖L2([0,T];L2(Ω))+|α2|‖?dmn‖L2([0,T];L2(Ω))

‖?ψj‖L2([0,T];L2(Ω))+

|α3|‖dmn‖L2([0,T];L2(Ω))‖ψj‖L2([0,T];L2(Ω))+

‖ψj‖L2([0,T];L2(Ω))。

由Sobolev嵌入易得

‖?tdmn‖L2([0,T];H-1(Ω))≤C。

上述所有估計的界與m和n無關(guān)，根據(jù)Sobolev嵌入定理和Aubin-Lions引理知可選擇 (ρmn,umn,dmn)的子序列(仍記為(ρmn,umn,dmn))，使得當(dāng)m→∞或n→∞時

umn?u，弱收斂，在L2([0,T];H1(Ω))中

(30)

umn?u，弱*收斂，在L∞([0,T];L2(Ω))中

(31)

umn→u，強收斂，在L2([0,T];L2(Ω))中

(32)

umn→u，幾乎處處收斂，在L2([0,T];L2(Ω))中

(33)

類似可得

dmn→d，弱收斂，在L2([0,T];H2(Ω))中

(34)

dmn→d，弱*收斂，在L∞([0,T];H1(Ω))中

(35)

dmn→d，強收斂，在L2([0,T];H1(Ω))中

(36)

dmn→d，幾乎處處收斂，在L2([0,T];H1(Ω))中

(37)

由上述收斂，易得下列收斂

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

接下來考慮其余非線性項:

因為在L2([0,T];L2(Ω))中，umn→u，強收斂且?guī)缀跆幪幨諗?，且在L2([0,T];H1(Ω))中，umn?u，據(jù)弱收斂引理有下列收斂

(43)

類似地有

(44)

u·?d)·ψjdxdt=

在m→∞或n→∞時，|I1|→0,|I2|→0,即

(45)

類似可得

(46)

ψjdxdt

(47)

因為φj和ψj是單位正交基，所以對?φ∈H,ψ∈V,φ(·,T)=ψ(·,T)=0，下式成立

(48)

(49)

至此，方程(1)～(4)的弱解的整體存在性證明完畢。

3 總結(jié)與展望

本文首先通過經(jīng)典的Faedo-Galerkin方法構(gòu)造出了方程的近似解，接著對近似解進行先驗估計，得到與近似解相關(guān)的一致有界估計，最后由緊性理論有相應(yīng)的收斂性，從而證明整體弱解的存在性。

本文只是該方程的解的適定性的初步研究，僅證明了該方程在二維空間上弱解的存在性，對于弱解的唯一性及正則性等適定性問題還沒有做出相應(yīng)的研究，而且關(guān)于更高維空間里的相應(yīng)問題也是值得研究的。后續(xù)研究將繼續(xù)致力于解決上述問題。

致謝感謝廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教師王光武、蒲學(xué)科對本論文的悉心指導(dǎo)。