張磊，余粟

（1.上海工程技術(shù)大學機械與汽車工程學院上海 201620；2.上海工程技術(shù)大學工程實訓中心，上海 201620）

0 引言

截至2021年8月末，全球新冠肺炎確診病例為2.123 5億，累計死亡高達443萬例。國內(nèi)外研究人員通過對網(wǎng)上發(fā)布的確證病例數(shù)據(jù)進行分析，建立模型預測疫情病例數(shù)量及趨勢，這對醫(yī)療系統(tǒng)調(diào)整各種防疫措施具有重要的指導作用。

目前，主流預測方法包括傳播動力學模型、傳統(tǒng)時間序列模型及BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型。傳播動力學模型包括SIR模型、SEIR模型等，該類模型依托疫情爆發(fā)早期的數(shù)據(jù)對趨勢作出預測。范如國等利用SIR模型和SEIR模型對新冠疫情進行預測，并通過模型分析不同防疫措施對疫情發(fā)展的影響，但該類模型無法根據(jù)疫情發(fā)展過程中的數(shù)據(jù)進行預測，參數(shù)設定相對固定，忽視了參數(shù)以外因素對疫情發(fā)展的影響，局限性較大。傳統(tǒng)時間序列模型主要包括雙指數(shù)平滑模型（Holt）、三指數(shù)平滑模型（Holt-Winter）等。林挺葵等使用Holt模型對粵西地區(qū)疫情進行預測，并針對疫情發(fā)展提出了相關(guān)防疫建議。黃曉亮等使用Holt-Winter模型對疫情期間廣東省住院量進行分析，較為準確地預測了住院人次的變化趨勢。BP神經(jīng)網(wǎng)絡是最常見的人工智能模型，現(xiàn)已被廣泛應用于非線性預測領(lǐng)域。黃琦琦等使用該方法對新冠肺炎疫情進行時間序列預測的效果較好，但BP神經(jīng)網(wǎng)絡易陷入局部最優(yōu)，精度較差。

由于本文實驗數(shù)據(jù)來源于疫情發(fā)展一年多后的近期數(shù)據(jù)，不符合傳播動力學模型的使用條件，故使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡和傳統(tǒng)時間序列模型進行預測。然而，2021年國內(nèi)疫情控制較好，且相當一部分數(shù)據(jù)為境外輸入人員，考慮到數(shù)據(jù)的可用性及時效性，選擇美國公開數(shù)據(jù)進行實驗。為了解決BP神經(jīng)網(wǎng)絡易陷入局部最優(yōu)解的問題，本文提出利用粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡。

1 相關(guān)研究

1.1 指數(shù)平滑法

指數(shù)平滑法是由移動平均法改進而來的時間序列分析方法，現(xiàn)已廣泛應用于預測傳染性疾病。通過對歷史數(shù)據(jù)賦予不同的權(quán)值以針對性的提取數(shù)據(jù)信息，能夠充分體現(xiàn)近期數(shù)據(jù)對預測數(shù)據(jù)的影響。目前，指數(shù)平滑模型主要分為單指數(shù)平滑模型、雙指數(shù)平滑模型（Holt模型）和三指數(shù)平滑模型（Holt-Winter模型）。但由于單指數(shù)平滑模型和三指數(shù)平滑模型適用于季節(jié)性序列，因此本文選用雙指數(shù)平滑模型進行實驗。

1.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡

BP神經(jīng)網(wǎng)絡是一種多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡，主要由輸入層、隱層和輸出層構(gòu)成，如圖1所示。

Fig.1 BPneural network structure圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)

其中，單個隱層神經(jīng)元輸出為：

輸出神經(jīng)元的值為：

在使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型進行實驗前，需對數(shù)據(jù)進行歸一化處理，以減少時間損耗。計算公式如式（3）：

其中，

y

為數(shù)據(jù)輸出值，

x

為原始數(shù)據(jù)輸入，

X

為原始數(shù)據(jù)的最小值，

X

為原始數(shù)據(jù)的最大值。

1.3 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法是應用十分廣泛的最小二乘優(yōu)化算法，其核心思想是將“群體”內(nèi)的“粒子”視為問題的解，每個粒子都具有各自的位置和速度，通過粒子與粒子間及粒子與群體間的信息共享，經(jīng)多次迭代得到最優(yōu)適應度，具體算法描述如下：

假設一個

D

維空間內(nèi)有

N

個粒子，

i

=1，2，...，

N

，其中第

i

個粒子的位置為

X

=(xi，xi，…，xi)，第

i

個粒子的速度為

V

=(vi，vi，…，vi)，當前第

i

個粒子的最優(yōu)值為

P

=(pi，pi，…，pi)，當前群體的最優(yōu)值為

P

=(pi，pi，…，pi)。在迭代的過程中，通過當前適應度值確定個體最優(yōu)值和群體最優(yōu)值，然后根據(jù)式（4）、式（5）計算當前粒子的速度和位置：

式中，

b

、

b

表示學習因子，

v

、

v

為［0，1］內(nèi)的隨機數(shù)，

ω

為慣性權(quán)重。當

ω

較大時，算法全局收斂性較好；當

ω

較小時，算法具有較好的局部搜索特性。

2 PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡

如圖2所示，利用PSO算法先行計算BP神經(jīng)網(wǎng)絡的初始權(quán)值等參數(shù)，可在一定程度上避免BP神經(jīng)網(wǎng)絡易陷入局部最優(yōu)的問題。改進后模型的訓練流程如下：

步驟1：確定BP神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入層、隱層和輸出層的個數(shù)。

步驟2：將BP神經(jīng)網(wǎng)絡各層的連結(jié)參數(shù)輸入PSO算法的適應度函數(shù)中，設定BP神經(jīng)網(wǎng)絡訓練結(jié)果的均方誤差（MSE）為算法適應度值。

步驟3：初始化粒子群個數(shù)、粒子個體的速度、位置和邊界大小。

步驟4：計算各粒子的適應度。

步驟5：計算個體和群體極值，并與當前適應度值進行對比，保留最小值。

步驟6：根據(jù)式（4）、式（5）計算粒子當前的速度和位置并更換當前值。

步驟7：轉(zhuǎn)到步驟4，直至滿足條件后停止。

步驟8：當程序達到預設迭代次數(shù)或找到最佳極值后，將權(quán)值、閥值和偏置參數(shù)賦值于BP神經(jīng)網(wǎng)絡。

步驟9：使用優(yōu)化后的BP神經(jīng)網(wǎng)絡進行訓練，計算模型誤差。

步驟10：反向傳播誤差并獲取各層誤差信號，通過梯度下降法調(diào)整各層間參數(shù)，使誤差達到最小。

步驟11：不斷調(diào)整各層參數(shù)，當達到預設的迭代次數(shù)或滿足誤差條件后停止訓練并輸出結(jié)果。

3 實驗結(jié)果

3.1 數(shù)據(jù)處理

將美國明尼蘇達州2021年7月7日至8月25日共50天的新冠肺炎累計死亡和累計確診人數(shù)作為原始數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于USAFacts（https：//usafacts.org/issues/coronavirus/）?？紤]到數(shù)據(jù)由時間先后順序排列而成，通常利用已有數(shù)據(jù)進行建模以預測未來數(shù)據(jù)，具體操作如下：

假設時間序列為X，i=1，2，3，...，

N

，利用前t個數(shù)據(jù)預測第t+1個數(shù)據(jù)的具體方法如表1所示。經(jīng)多次實驗，當自回歸階數(shù)取4時，即用前4天的數(shù)據(jù)預測第5天的確診人數(shù)預測精度最高。

Table1 Construction method of data set表1 數(shù)據(jù)集構(gòu)造方法

3.2 構(gòu)建模型

本文使用雙指數(shù)平滑模型（Holt）、BP與PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡進行對比。其中，雙指數(shù)平滑模型使用SPSS 26.0軟件進行仿真，選取指數(shù)平滑方法中的HOLT線性趨勢。BP與PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡則使用MATLAB 2016軟件進行建模，粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)設定為：

b

=

b

=1.7，慣性權(quán)重

ω

=0.6，粒子群個數(shù)為20，迭代次數(shù)為200，粒子最大速度

V

為1，最小速度

V

為-1，粒子閥值范圍為［-5，5］。

Fig.2 Flow of PSO-BPmodel圖2 PSO-BP模型流程

3.3 預測結(jié)果

3.3.1 累計死亡人數(shù)

3種模型的預測結(jié)果如表2所示，由于人數(shù)為整數(shù)，因此對實驗預測數(shù)據(jù)進行取整操作。圖3為預測結(jié)果繪趨勢圖。

Table 2 Forecast results of cumulative deaths in Minnesota表2 明尼蘇達州累計死亡人數(shù)預測結(jié)果

Fig.3 Forecasting trend of cumulative deaths in Minnesota圖3 明尼蘇達州累計死亡人數(shù)預測趨勢

由圖3可見，3種模型的預測結(jié)果都較為理想，從趨勢圖中難以分析它們在精度上的差異。為此，根據(jù)式（7）計算模型的平均誤差百分比（MAPE）和最大誤差百分比。其中，Holt模型的MAPE和最大誤差百分比分別為0.031%和0.087%；BP模型分別為0.028%和為0.082%；PSO-BP模型分別為0.021%和0.078%。由此可見，兩種神經(jīng)網(wǎng)絡模型的MAPE和最大誤差百分比均低于Holt模型，且PSO-BP的性能最好，MAPE和最大百分比相較于BP神經(jīng)網(wǎng)絡分別降低了0.007%和0.004%；相較于Hlot分別降低了0.01%和0.009%。整體而言，PSO-BP模型的預測精度最高。

3.3.2 累計確診人數(shù)

同樣使用3種模型對明尼蘇達州累計確診人數(shù)進行預測，具體數(shù)據(jù)如表3所示，趨勢圖如圖4可見。

Fig.4 Estimated cumulative number of confirmed cases in Minnesota圖4 明尼蘇達州累計確診人數(shù)預測結(jié)果

由表3、圖4可知，Holt模型的平均誤差百分比（MAPE）和最大誤差百分比分別為0.082%和0.439%；BP模型分別為0.043%和為0.456%；PSO-BP模型分別為0.033%和0.165%。其中，Holt的最大百分比相較于BP模型更小但差距不大，PSO-BP的平均誤差百分比相較于BP降低了0.01%，相較于Holt降低了0.049%；絕對誤差百分比相較于BP降低了0.291%，相較于Holt降低了0.274%。整體而言，在累計確診人數(shù)的預測上，PSO-BP模型的表現(xiàn)依然優(yōu)于另外兩種模型。

4 結(jié)果分析

4.1 性能評價指標

為進一步對比模型間的性能差異及評價模型的預測效果，采用了平均絕對誤差（MAE）和均方根誤差（RMSE）作為性能評價指標，如式（7）-式（9）所示：

Table3 Estimated cumulative number of confirmed cases in Minnesota表3 明尼蘇達州累計確診人數(shù)預測結(jié)果

4.2 性能分析

表4為使用MAE、RMSE計算明尼蘇達州累計死亡人數(shù)和累計確診人數(shù)預測結(jié)果的偏差情況。由表4可見，在累計死亡人數(shù)預測結(jié)果中，PSO-BP的MAE和RMSE相較于BP模型分別降低了24.634%和19.648%；相較于Holt模型分別降低了34.063%和29.378%。在累計確診人數(shù)預測結(jié)果中，PSO-BP的MAE和RMSE相較于BP模型分別降低了23.648%和39.597%；相較于Holt模型分別降低了59.632%和59.012%。由此可見，PSO-BP模型的性能均為最優(yōu)。為更直觀地對比性能分析結(jié)果，根據(jù)表4構(gòu)建模型性能雷達圖，如圖5所示。

Table4 Minnesota performance index calculation results表4 明尼蘇達州性能指標計算結(jié)果

Fig.5 Minnesota model performance indicator radar chart圖5 明尼蘇達州模型性能指標雷達圖

4.3 適應度分析

為了進一步檢驗模型的精確度和適應性，將3種模型分別用于預測美國亞利桑那州和密歇根州2021年7月11日至8月25日的累計死亡和累計確診人數(shù)，趨勢圖如圖6所示，具體性能指標如表5、表6所示。

由圖6可見，PSO-BP模型對兩地的人數(shù)預測基本都符合實際發(fā)展趨勢。由表5、表6可知，在對亞利桑那州和密歇根州累計和確診人數(shù)的預測中，PSO-BP模型的3項性能指標均為最優(yōu)。其中，MAPE指標相較于BP模型和Holt分別平均降低了0.012%和0.043%；MAE和RMSE相較于BP模型分別平均降低了14.696%和19.850%，相較于Holt分別平均降低了36.826%和28.046%。由此可見，PSO-BP模型的預測精度和適應性最佳。

Fig.6 Minnesota and Michigan forecast results圖6 亞利桑那州和密歇根州預測結(jié)果

Table5 Arizona performance indicator calculation results表5 亞利桑那州性能指標計算結(jié)果

Table6 Michigan performance indicator calculation results表6 密歇根州性能指標計算結(jié)果

5 結(jié)語

針對傳統(tǒng)時間序列模型精度上的不足及傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡易陷入局部最優(yōu)的缺陷，利用粒子群優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型，該模型具有PSO算法的全局收斂性和神經(jīng)網(wǎng)絡的自學習特性。實驗結(jié)果表明，PSO-BP的預測性能優(yōu)于基準模型，預測精度較高、適應度較好。由于本文所用模型需要先使用PSO對BP神經(jīng)網(wǎng)絡的初始權(quán)值和閥值進行計算尋優(yōu)，再使用優(yōu)化后的參數(shù)訓練神經(jīng)網(wǎng)絡，在這個過程中會導致整體迭代次數(shù)增加，當處理體量較大的數(shù)據(jù)時模型迭代時間較長。為此，需要根據(jù)實際情況對模型進行簡化以提升運行的效率。