橢圓焦點三角形內(nèi)切圓性質(zhì)與應(yīng)用

杭州外國語學(xué)校(310023) 王金震

橢圓的焦點三角形指的是橢圓上一點與橢圓的兩個焦點所連接成的三角形.橢圓的焦點三角形問題,可以將橢圓定義和性質(zhì)、三角形的幾何性質(zhì)以及解三角形等進行有機結(jié)合[1].圓是平面幾何中非常重要的研究對象,焦點三角形的內(nèi)切圓問題對于問題轉(zhuǎn)化能力、幾何性質(zhì)的應(yīng)用能力、數(shù)形結(jié)合能力提出了更高維度的要求,是解析幾何綜合問題重點考察內(nèi)容之一.

一、橢圓焦點三角形內(nèi)切圓的重要性質(zhì)

如圖1,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1,(a >b >0),F1,F2為橢圓C的左右焦點,P為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點,?PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I與?PF1F2相切于點D,E,H,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0),點I的坐標(biāo)為(xI,yI).則有如下性質(zhì):

圖1

設(shè)?PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r,由內(nèi)切圓性質(zhì)得IH⊥x軸,當(dāng)點P在第一象限時則xI=OH,yI=r.根據(jù)切線長定理,

性質(zhì)1 和性質(zhì)2 的證明采用的是“算兩次”的方法.性質(zhì)1 中對算式(PF1+PF2)?F1F2先利用切線長定理進行化簡,再根據(jù)橢圓定義進行整理,從而構(gòu)造方程并求解.性質(zhì)2 內(nèi)心橫坐標(biāo)利用切線長定理和橢圓焦半徑公式對PF1?PF2算兩次構(gòu)造方程,內(nèi)心縱坐標(biāo)利用焦點三角形面積的兩種表述算兩次求解.

二、橢圓焦點三角形內(nèi)切圓的重要性質(zhì)的應(yīng)用

圖2

(一)定值問題

例2 已知橢圓=1(a>b>0) 的左右焦點為F1,F2,P為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點,I,G分別為?PF1F2的內(nèi)心和重心,當(dāng)IG垂直于x軸時橢圓的離心率為_____.

圖3

分析本題的難點是對重心和內(nèi)心進行綜合考察.因為性質(zhì)2 中內(nèi)心坐標(biāo)和點P坐標(biāo)的關(guān)系是利用離心率e進行刻畫的,所以解決本題的關(guān)鍵是要了解重心和三角形三個頂點之間坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系,結(jié)合性質(zhì)2 構(gòu)造方程求解.

例3 已知橢圓=1左右焦點分別為F1,F2,P為橢圓上一點,?PF1F2的內(nèi)心為I,若內(nèi)切圓半徑為1,則|PI|等于

圖4

分析本題是對內(nèi)心坐標(biāo)和點P坐標(biāo)關(guān)系的直接考察,利用性質(zhì)2 輕松求解.

(二)軌跡問題

圖5

圖6

(三)在雙曲線上的性質(zhì)與應(yīng)用

圓錐曲線的定義、曲線方程、性質(zhì)存在著諸多聯(lián)系,很多性質(zhì)并不是孤立的,所以我們可以試著將橢圓焦點三角形內(nèi)切圓性質(zhì)研究思路應(yīng)用到雙曲線中,得到類似的性質(zhì).

因為IH⊥x軸,所以F1H=F1O+OH=c+xI.由性質(zhì)3 得:F1H=a+c=c+xI,即xI=a,性質(zhì)4 得證.

性質(zhì)3 和性質(zhì)4 的證明邏輯同樣是利用“算兩次”構(gòu)造方程求解.同理可得,P為雙曲線C的左支上異于實軸端點的任意一點,F2D=F2H=a+c,xI=?a.若點P為雙曲線C的上異于實軸端點的動點,?PF1F2內(nèi)心I的軌跡為x=a或x=?a,且0.

三、結(jié)語

解析幾何是數(shù)學(xué)中最有魅力的內(nèi)容之一,方程是描述曲線性質(zhì)的語言,曲線又是方程特征的直觀體現(xiàn).圓錐曲線作為解析幾何的核心內(nèi)容,包含特有的對稱美和統(tǒng)一美,其離心率是圓錐曲線統(tǒng)一美的集中體現(xiàn),隨著離心率的量變,圓錐曲線的形狀也會隨之發(fā)生質(zhì)變[2].本文所研究的橢圓的焦點三角形的內(nèi)心坐標(biāo)和橢圓上點P的坐標(biāo)關(guān)系同樣與離心率相關(guān),展示著圓錐曲線的美妙和神奇.結(jié)合橢圓的焦點三角形的重要性質(zhì)可以解決很多比較棘手的定值問題以及軌跡問題,同樣可以將研究方法進行推廣來探究雙曲線是否也有類似的結(jié)論和性質(zhì).解析幾何的魅力在于本身知識體系的深度、交叉內(nèi)容的廣度以及思想方法的靈活多樣,相信隨著研究的深入可以得到更多有趣且優(yōu)美的結(jié)論.