極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的通法探究

廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣

本文通過(guò)2021 年新高考Ⅰ卷、2021 年廣州一模和2021年廣東一模導(dǎo)數(shù)壓軸大題解法分析,列出極值點(diǎn)偏移問(wèn)題在高考中的?？荚O(shè)問(wèn)形式,總結(jié)出極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的通法:構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)法、對(duì)數(shù)平均值不等式法、差值換元法、比值換元法,并得到與函數(shù)F(x)=相關(guān)的極值點(diǎn)偏移的性質(zhì),對(duì)問(wèn)題與一般性結(jié)論的推廣,揭示極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的本質(zhì).

一、經(jīng)典試題展示

二、解法探究

題目1 的解法探究

先證x1+x2>2.構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(2?x)=(2?x)(1?ln(2?x))(x <2),如圖1 虛線所示,下面比較f(x)與g(x)在極值點(diǎn)左側(cè)的大小,令h(x)=f(x)?g(x),(00,故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.則h(x)1,2?x1>1,函數(shù)f(x) 在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故x2>2?x1,即x1+x2>2 得證.

圖1

圖2

題目2 和3 的解法探究

分析2021 年廣州一模第22 題中f(x)=xlnx ?ax2+x(a ∈R)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,實(shí)質(zhì)等價(jià)于2021 年廣東一模第21 題g(x)=lnx ?ax+1 有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,因此本題的題源實(shí)質(zhì)是下面兩個(gè):

圖3

三、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題在高考題中的?？荚O(shè)問(wèn)形式

(一) 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題設(shè)問(wèn)形式

極值點(diǎn)偏移問(wèn)題在高考中的?？嫉脑O(shè)問(wèn)一般有三種形式:函數(shù)含參的變化,要證的不等式的變化,對(duì)x1,x2作進(jìn)一步的范圍限制.如:

(二) 極值點(diǎn)偏移經(jīng)典例題

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=lnx ?ax,函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(x1

四、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的通法

(一)構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)法

利用構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)法解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的步驟:

(1)求出函數(shù)f(x)極值點(diǎn)x0;

(2)利用對(duì)稱性構(gòu)造函數(shù):g(x)=f(2x0?x)(xx0));

(3)證明:f(x)>g(x)(或f(x)

(4) 由單調(diào)性脫f:由f(x1)=f(x2)>g(2x0?x2)(或f(x1)=f(x2)2x0(或x1+x2<2x0).

利用構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)法解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題是將自變量轉(zhuǎn)移在極值點(diǎn)同側(cè),再利用單調(diào)性比較大小.如前文用構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)法解2021 年新高考Ⅰ卷第22 題、2021 年廣州一模第22 題、2021 年廣東一模第21 題.

(二)對(duì)數(shù)平均值不等式法

(三)差值換元法

依據(jù)已知條件f(x1)=f(x2)列方程組,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只含x1,x2的雙變量問(wèn)題,再利用差值換元(即t=x2?x1)解題.

(四)比值換元法

依據(jù)已知條件f(x1)=f(x2)列方程組,當(dāng)原函數(shù)中含有參數(shù)時(shí),通過(guò)兩方程作差或求和可消去參數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只含x1,x2的雙變量問(wèn)題,再利用比值換元(即t=)解題.

五、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的相關(guān)性質(zhì)