和諧兩定理 共解高考題

陜西省西安市高新第三中學(xué) 呂二動(dòng) （郵編：710075）

1 定理展現(xiàn)

三余弦定理（又叫最小角定理）

如圖1 所示，設(shè)A為面α上一點(diǎn)，過(guò)A的斜線AO在面α上的射影為AB，AC為面α內(nèi)的一條直線，那么∠OAC,∠OAB,∠BAC三角的余弦關(guān)系為：

圖1

cos ∠OAC=cos ∠BAC·cos ∠OAB.(∠BAC和∠OAB只能是銳角）

證如上圖，自點(diǎn)O作OB⊥AB于點(diǎn)B，過(guò)B作BC⊥AC于C，邊OC，則 易 知△OAC、△ABC、△OAB均為直角三角形.

令∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，∠OAC＝θ，

所以cosθ=cosθ1·cosθ2.

輔助記憶這三個(gè)角中，角θ是最大的，其余弦值最小，等于另外兩個(gè)角的余弦值之積.斜線與平面所成角θ1是斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的角.

通俗點(diǎn)說(shuō)就是，斜線與平面內(nèi)一條直線夾角θ的余弦值=斜線與平面所成角θ1的余弦值×射影與平面內(nèi)直線夾角的余弦值.特別地，當(dāng)∠BAC為零角時(shí)，由于cos 0=1，所以斜線與射影所成的角是斜線與平面內(nèi)的任何直線所成的角中的最小的角.

三正弦定理設(shè)二面角M－AB－N的度數(shù)為α，在平面M上有一條射線AC，它和棱AB所成角為β，和平面N所成的角為γ，則sinγ=sinα·sinβ（如圖2）

圖2

證 明如 圖2，過(guò)C作CO⊥平面N于點(diǎn)O，過(guò)O作直線OB⊥二面角的棱于點(diǎn)B，連OA、CB，則易知△CAO、△CBO、△ABC均為直角三角形.于是sinγ=sinα=sinβ=所以sinγ=sinα·sinβ.

2 定理應(yīng)用

例1在RtΔABC中,∠A=AB=3,AC=4,PA是面ABC的斜線,∠PAB=∠PAC=

(1)求PA與面ABC所成的角的大??；

(2)當(dāng)PA的長(zhǎng)度等于多少時(shí)，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在邊BC上？

圖3

圖4

圖5

因?yàn)橹苯侨切蜛BC的直角平分線長(zhǎng)AD，所以當(dāng)延長(zhǎng)AP到P′時(shí)，AD成為斜線AP′的射影，垂足D恰好落在邊BC上，所以AP′=，即當(dāng)PA的長(zhǎng)度等于時(shí)，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在邊BC上.

例2(1994 年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)23 題) 如圖6，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn).

圖6

(1)證明：AB1∥平面DBC1；

(2)假設(shè)AB1⊥BC1，求以BC1為棱，DBC1與CBC1為面的二面角α的度數(shù).

(1)證明因?yàn)锳1B1C1－ABC是正三棱柱，所以四邊形B1BCC1是矩形.連結(jié)B1C交BC1于E，則B1E=EC，連結(jié)DE.

在△AB1C中，因AD=DC，所以DE∥AB1.

又AB1?平面DBC1，DE?平面DBC1，所以AB1∥平面DBC1.

(2)解取BC中點(diǎn)E，連結(jié)B1E、AE，則B1E是AB1在平面B1BCC1上的射影.

由AB1⊥BC1可得EB1⊥BC1，設(shè)垂足為H，BC=2a，在Rt△BB1E中BE2=EH·EB1，

所以α=450，故二面角α為45°.

例3（2019 年全國(guó)1 卷）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外 一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC、BC的距離均為那么P到平面ABC的距離為_(kāi)_______.

解析如圖7 由對(duì)稱(chēng)性知∠COD=450，由三余弦定理 得cos ∠PCD=cos ∠PCO·cos ∠OCD，即cos ∠PCO=所以PO=OC=

圖7

例4（2017 年全國(guó)3 卷）a、b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所 在直線與a、b都垂 直，斜邊AB以直 線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有以下列結(jié)論：

①當(dāng)直線AB與a成60°角 時(shí)，AB與b成30°角；

②當(dāng)直線AB與a成60°角 時(shí)，AB與b成60°角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°；

④直線AB與a所成角的最大值為60°.

其中正確的是________（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)）

圖8

解析過(guò)點(diǎn)M作b的垂線，則AM與AN所成的角為AM與a所 成的角，由三余弦定理得cos ∠AMN=cos ∠AMC·cos ∠CMN=cos ∠CMN，若所成角為60°，則有cos ∠CMN，則cos ∠CMN=450，CM平分角∠BCE，所以AM與兩直線所成的角都是60°，故②正確，由圖可知③顯然成立，所以正確是②③.

3 跟蹤訓(xùn)練

例4(上海市1986 年高考試題) 已知Rt△ABC的兩直角邊AC=2，BC=3.P為斜邊AB上一點(diǎn)，現(xiàn)沿CP將此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如圖9），當(dāng)AB=時(shí)，求二面角P－AC－B的正弦值.

圖9

解析設(shè)二面角P－AC－B的大小為α.

例5已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠BAD=60°，現(xiàn)沿對(duì)角線BD將此菱形折成直二面角A-BD-C.

圖10

(1)求異面直線AC與BD所成的角；(2)求二面角A-CD-B的正弦值.

解析設(shè)二面角二面角A-CD-B的大小為α.易證AO⊥面BDC，且△AOC為等腰直角三角形，所以∠ACO=450，又知∠DCO=300，

由三余弦定理得cos ∠ACD=cos ∠ACO·cos ∠DCO，即cos ∠ACD=cos 450·cos 300=所以sin ∠ACD=

由三正弦定理，得sin ∠ACO=sin ∠ACD·sinα，解得sinα=