小論文型作業(yè)對建構(gòu)高中數(shù)學(xué)知識體系的應(yīng)用研究

王錦熙

(北京師范大學(xué)(珠海)附屬高級中學(xué) 519000)

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，“學(xué)習(xí)不是由教師把知識簡單地傳遞給學(xué)生，而是由學(xué)生自己建構(gòu)知識的過程.學(xué)習(xí)不是被動接受信息刺激，而是主動地建構(gòu)，是學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗背景，對外部信息進(jìn)行主動地選擇、加工和處理，從而獲得自己的意義.學(xué)習(xí)意義的獲得，是每個學(xué)習(xí)者以自己原有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，對新信息重新認(rèn)識和編碼，建構(gòu)自己的理解.”學(xué)生學(xué)習(xí)的知識不單是教師教授掌握的，更重要的是學(xué)生本人主動學(xué)習(xí)，積極探究而理解掌握，從而主動建構(gòu)學(xué)生本人的高中數(shù)學(xué)知識體系.

鑒于高中生的學(xué)習(xí)內(nèi)容和研究能力有限，本文所定義的小論文并不是傳統(tǒng)意義上的學(xué)術(shù)論文，可以是在學(xué)生當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的拓展和深入，也可以是知識梳理性的文章.知識梳理型的小論文，文章可以沒有創(chuàng)新性，但如果能夠圍繞一個知識點，有條理、有邏輯地、系統(tǒng)地對數(shù)學(xué)知識、解題技能、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行梳理，也是一篇優(yōu)秀的文章.學(xué)生在整理和梳理的過程中，也就自己主動地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系.

1 當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)存在的主要問題

1.1 對數(shù)學(xué)知識理解不夠深入

1.2 學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識是離散的

許多高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，往往不得法，上課聽懂了，下課自己一做題就懵，對知識點一知半解，沒有自己的思考.還有一部分學(xué)生沉迷于題海，迷失了方向.在一些學(xué)生心中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是做一道又一道的題，做過的題與題之間是獨立的、離散的，不能從題中分析出題目所考查的知識點，應(yīng)該適用哪種解題策略，更達(dá)不到舉一反三的程度，將知識點或者技能進(jìn)行遷移應(yīng)用.學(xué)生依靠題海戰(zhàn)術(shù)來獲得解題方法、經(jīng)驗，這種方法占用了高中生寶貴的學(xué)習(xí)時間，學(xué)習(xí)效果也可能事倍功半.

1.3 教師布置作業(yè)方式有待進(jìn)一步優(yōu)化

當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教師普遍工作壓力大、工作時間長、工作任務(wù)重，雖然一直強調(diào)教育改革，但是當(dāng)前高中生的作業(yè)布置方式還是比較單一，絕大多數(shù)都是以書本、輔導(dǎo)書的習(xí)題為主.如果教師有時候布置一些形式新穎的作業(yè)，比如讓學(xué)生自己嘗試寫一篇數(shù)學(xué)小論文(對于許多學(xué)生來說，是第一次遇到這種形式的作業(yè))，小組一起合作研究，寫出一篇文章，對學(xué)生來說是非常有成就感的一件事情.

2 小論文型作業(yè)有助于高中數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建

2.1 小論文型作業(yè)有助于高中數(shù)學(xué)知識點的梳理

如何讓學(xué)生從大量又離散的題海中走出來，嘗試讓學(xué)生寫一篇數(shù)學(xué)論文是一種比較有效的方法.學(xué)生要寫出一篇數(shù)學(xué)論文，他首先要通讀教材，把握相應(yīng)知識點，及知識點與知識點之間的聯(lián)系.要站在更高的角度來看問題，知識點可以分成哪幾類，之間有怎樣的邏輯上的聯(lián)系，對應(yīng)考查方式有哪幾類題型，對應(yīng)的題型又有哪幾種解題方法或技巧，運用了哪種數(shù)學(xué)思想方法去解決問題，也就是要形成知識框架結(jié)構(gòu).學(xué)生要弄清楚這些問題，不僅僅需要深入地研究教材，還需要理解課堂上教師講的知識點、題型、方法，還需要翻閱相關(guān)的教輔資料，查找相關(guān)論文，看看歷年高考真題中是如何考查的.

這里以《用向量法解決求空間角度問題》為例進(jìn)行案例說明.學(xué)生在動筆寫論文之前，先要吃透相關(guān)知識點，如向量的定義及表示方法、向量的運算，立體幾何中線線夾角的概念、線面夾角的概念、二面角的概念，利用向量法求解三種夾角的方法.還要理解求空間角問題可以分為三大類，每類夾角問題對應(yīng)的計算公式和解題技巧.掌握知識和技能后，對知識點進(jìn)行梳理、分類，還要精選例題，歸納出解題方法，并分析易錯點.這樣的一篇文章寫出來之后，也就對用向量法解決求空間角度問題進(jìn)行了完整的知識梳理，建構(gòu)了自己的高中數(shù)學(xué)知識體系.

2.2 小論文型作業(yè)有助于提升數(shù)學(xué)思維能力

高中階段，學(xué)生需要理解函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想等數(shù)學(xué)思想方法.這些數(shù)學(xué)思想方法在解決高中數(shù)學(xué)問題中經(jīng)常會運用，如何讓學(xué)生系統(tǒng)地理解和運用呢？也可以讓學(xué)生自己針對一種思想方法專門寫相關(guān)的小論文進(jìn)行歸納整理.

這里以分類討論思想為例進(jìn)行說明.高考?？疾楹瑓?shù)一元二次不等式的解法，如利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值.2017年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷中的第21題也考查了含參數(shù)不等式的解法.含參數(shù)的一元二次不等式如何解呢？關(guān)鍵是分類討論的思想和求解一元二次不等式的通法.在教學(xué)中，對于如何進(jìn)行分類討論，何時進(jìn)行分類討論，學(xué)生經(jīng)常會有困惑、迷茫.下面將對三類典型的含參數(shù)的不等式進(jìn)行分析.

第一類：對一元二次方程的“Δ”進(jìn)行分類討論.例如解關(guān)于x的一元二次不等式x2+2x-a<0.求解一元二次不等式，首先可求出相應(yīng)方程的根，然后根據(jù)相應(yīng)函數(shù)的圖像求出不等式的解.令x2+2x-a=0，此方程的Δ=4+4a，Δ可能為正數(shù)、0、負(fù)數(shù).方程的根的情況未知.因此，對方程的Δ分三類進(jìn)行討論，再結(jié)合函數(shù)y=x2+2x-a的圖象，得到原不等式的解集.

第二類：對一元二次函數(shù)的開口方向進(jìn)行分類討論.例如解x關(guān)于的不等式ax2+(2-a)x-1>0.因為不等式中的x2的系數(shù)含有參數(shù)a，所以由a為零、正數(shù)、負(fù)數(shù)，函數(shù)y=ax2+(2-a)x-1可能為一次函數(shù)、開口向上的二次函數(shù)、開口向下的二次函數(shù).因此，本題需要對x2的系數(shù)進(jìn)行分類討論.

第三類：對一元二次方程的兩根大小進(jìn)行分類討論.例如解關(guān)于x的一元二次不等式ax2+(2-a)x-1>0.令x2-(a+1)x+a=0，此方程的D=(a+1)2-4a=(a-1)2>=0，所以方程一定有兩個實數(shù)根.利用十字相乘法可以解得兩根為a和1，但是a與1的大小不能確定，所以需要對兩根大小進(jìn)行分類討論.

當(dāng)學(xué)生全面地對以上三類含參數(shù)的一元二次不等式進(jìn)行分類討論，并且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、有條理地寫出一篇小論文，那么學(xué)生對于如何進(jìn)行分類討論，何時進(jìn)行分類討論便會有更加清晰的認(rèn)識和理解，提高了學(xué)生對于分類討論數(shù)學(xué)思想方法的理解.

2.3 小論文型作業(yè)有助于培養(yǎng)學(xué)生深入探究的能力

小論文作業(yè)給學(xué)生提供了自身充分表達(dá)自己想法的天地，使學(xué)生開動腦筋，從不同方向，不同角度，不同層次，運用多條思路、多種方案進(jìn)行思考，生動活潑地參與其中，使學(xué)生的思維朝著嚴(yán)謹(jǐn)、深刻、全面的方向發(fā)展，這有利于學(xué)生在解決問題過程中個性和創(chuàng)造能力的發(fā)揮.

當(dāng)學(xué)生著手在某一個知識點寫一篇小論文的時候，學(xué)生一定是對這個知識點特別感興趣，有興趣的地方便會深入思考.而要完整地寫一篇小論文，學(xué)生首先需要理解相關(guān)知識點，還需要拓展閱讀，例如閱讀相關(guān)參考書籍，上網(wǎng)搜索相關(guān)論文資料，在研讀相關(guān)資料的基礎(chǔ)上，深入思考、探究，形成完整的知識梳理，或者得到更加深層次的理解，或者是得到具有創(chuàng)新價值的研究成果.獨立思考、深入探究的能力對于學(xué)習(xí)來說，非常重要.獨立思考、深入探究的能力，也是當(dāng)今科技取得進(jìn)步的法寶.

這里以學(xué)生在學(xué)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)為例進(jìn)行說明.在這一部分，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值的方法.老師可以布置一篇小論文作業(yè)《利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象》.要完成這篇小論文，學(xué)生首先要理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的基本思想方法，然后深入探究三次函數(shù)的系數(shù)對三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)圖象的影響.對函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)=3ax2+2bx+c.

(1)當(dāng)a>0時，①若Δ=b2-3ac≤0時，導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象恒在x軸上方，那么函數(shù)f(x)的圖象單調(diào)遞增，沒有極值.

②若Δ=b2-3ac>0時，導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象開口向上，與x軸有兩個交點，不妨設(shè)交點的橫坐標(biāo)分別為x1,x2(x1

(2)當(dāng)a<0時，①若Δ=b2-3ac≤0時，導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象恒在x軸下方，那么函數(shù)f(x)的圖象單調(diào)遞減，沒有極值.

②若Δ=b2-3ac>0時，導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象開口向下，與x軸有兩個交點，不妨設(shè)交點的橫坐標(biāo)分別為x1,x2(x1

2.4 小論文型作業(yè)有助于培養(yǎng)細(xì)致的能力

簡單的數(shù)學(xué)題，絕大部分學(xué)生都可以拿分，區(qū)分度不大.難題、壓軸題在一份試卷占比較小，而真正有區(qū)分度的在于考查學(xué)生處理事情細(xì)致的程度，特別是全面的細(xì)致程度.例如，不等式化簡過程中，遇到兩邊同時除以x,這時需要細(xì)致地考慮到x的取值范圍，若x為負(fù)數(shù)，不等號會改變方向，是否需要分類進(jìn)行討論.再舉一個常見的例子，在解析幾何中，已知直線l過一個定點(x0,y0)和其他條件，求直線l的方程.這種題型往往需要考慮直線l的斜率存在與否，不能簡單地設(shè)直線l的方程為y-y0=k(x-x0),這樣會漏掉斜率不存在的情況.

雖然現(xiàn)階段高中教師很少會布置小論文型作業(yè)，但如果能夠在恰當(dāng)?shù)臅r機布置小論文作業(yè)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，變被動吸收為主動學(xué)習(xí).學(xué)生通過寫作小論文，建構(gòu)本人的高中數(shù)學(xué)知識體系，提升數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)深入探究的能力，培養(yǎng)細(xì)致的能力.