楊曉倩，李 琦，韓壯志，李豪欣

（1.河北工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300401；2.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)電子與光學(xué)工程系，石家莊 050003）

0 引言

MIMO（Multiple-Input Multiple-Output）雷達(dá)作為一項(xiàng)新興的探測技術(shù)［1］，與傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)相比，可以提高抗截獲和探測弱目標(biāo)的能力，因此，受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。

近年來，智能優(yōu)化算法成為研究熱點(diǎn)并逐漸用來解決各種優(yōu)化問題，吸引國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了廣泛研究，優(yōu)化設(shè)計(jì)相關(guān)性能良好［2］的MIMO 雷達(dá)相位編碼信號(hào)集就是其中之一。董潔等利用遺傳算法對MIMO 雷達(dá)波形進(jìn)行優(yōu)化，以降低MIMO 雷達(dá)的旁瓣電平，但因遺傳算法收斂能力較差，使得旁瓣電平優(yōu)化能力受限［3］。Hong S 等采用自適應(yīng)克隆選擇算法對混沌相位編碼波形進(jìn)行優(yōu)化，獲得較低的峰值旁瓣電平［4］。梁浩等提出一種改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法，增加獲得全局最優(yōu)解的概率［5］。

混沌（Chaos）［6-7］是一種由確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的類似隨機(jī)且極其復(fù)雜的狀態(tài)，是一種非線性動(dòng)力系統(tǒng)。因其具有很強(qiáng)的初值敏感性，只要改變初值，就會(huì)產(chǎn)生具有一定正交性且不同的序列［8］，操作簡單，因此，混沌越來越多地應(yīng)用于雷達(dá)波形相位編碼信號(hào)集設(shè)計(jì)。申東等基于混沌序列設(shè)計(jì)了MIMO雷達(dá)互補(bǔ)相位編碼波形，有效地抑制高脈沖壓縮輸出旁瓣，提高了MIMO 雷達(dá)的相關(guān)性能［9］。周云等聯(lián)合調(diào)頻、調(diào)相的混沌雷達(dá)信號(hào)得到了低的自相關(guān)旁瓣峰值，與單一的調(diào)頻或調(diào)相信號(hào)相比，其相關(guān)性能有所提高［10］。

以上研究成果雖然得到的信號(hào)集相關(guān)性能良好，但自相關(guān)旁瓣和互相關(guān)峰值仍然較高。本文基于混沌序列，提出了一種混沌-鯨魚優(yōu)化算法，針對此算法提出了兩種改進(jìn)策略，通過采用Chebyshev 映射［11］、Logistic 映射［12］、Tent 映射［13］3 種離散映射產(chǎn)生混沌序列替代隨機(jī)方法進(jìn)行初始化，增加種群數(shù)量，擴(kuò)大搜索范圍；并在鯨魚優(yōu)化算法中引入了慣性權(quán)重［14］改變自適應(yīng)更新方程，提高收斂精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文混沌-鯨魚優(yōu)化算法在收斂速度和收斂精度上均有明顯提高，與現(xiàn)有成果相比，采用混沌-鯨魚優(yōu)化算法優(yōu)化生成的準(zhǔn)正交信號(hào)相關(guān)性能較好。

1 MIMO 雷達(dá)相位編碼信號(hào)集設(shè)計(jì)原理

若MIMO 雷達(dá)有P 個(gè)信號(hào)序列，每個(gè)信號(hào)序列長度為L，則信號(hào)集S 為：

信號(hào)長度為L，信號(hào)序列為P 的信號(hào)集S，可以表示為一個(gè)P×L 的相位矩陣：

正交信號(hào)的非周期相關(guān)函數(shù)需滿足以下要求：

MIMO 雷達(dá)相位編碼信號(hào)集要求具有良好的相關(guān)性能，而信號(hào)集優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)換為代價(jià)函數(shù)最小化問題。因此，本文采取的代價(jià)函數(shù)E 由自相關(guān)旁瓣峰值（Auto-correlation Sidelobe Peak，ASP）、互相關(guān)峰值（Cross-correlation Peak，CP）、自相關(guān)旁瓣峰值總能量和互相關(guān)峰值總能量組成。

2 混沌-鯨魚優(yōu)化算法

2.1 鯨魚優(yōu)化算法

鯨魚優(yōu)化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）［15］通過對座頭鯨的捕食行為進(jìn)行模擬，構(gòu)造出包圍、追捕和攻擊獵物等理論模型，對目標(biāo)問題的尋優(yōu)，包含包圍獵物、氣泡網(wǎng)狩獵以及獵物搜索3個(gè)階段。WOA 算法具有結(jié)構(gòu)簡單、易于理解、參數(shù)少、尋優(yōu)能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)［16］，并且此算法在水資源優(yōu)化配置、桁架設(shè)計(jì)、故障診斷、光伏電池參數(shù)估計(jì)等方面都有廣泛應(yīng)用。

2.1.1 包圍獵物

鯨魚在捕食獵物時(shí)，需要提前找到獵物的位置才能對獵物進(jìn)行包圍，但是獵物的位置一般是未知的，此時(shí)，WOA 算法假設(shè)種群個(gè)體中適應(yīng)度值最小的解為獵物的位置或最接近獵物的位置，再根據(jù)此最優(yōu)解來更新其他搜索個(gè)體的位置。更新公式如下：

其中，X 為搜索體的位置向量，X*表示當(dāng)前最優(yōu)解的位置向量。參數(shù)A 用于調(diào)節(jié)算法全局探索和局部搜索能力，D 為當(dāng)前最優(yōu)解與搜索體的距離向量，兩個(gè)參數(shù)的計(jì)算公式如下：

其中，a 隨迭代次數(shù)由2 線性遞減為0，公式如下：

t 為當(dāng)前迭代次數(shù)，T 為最大迭代次數(shù)，r 為［0，1］內(nèi)的隨機(jī)向量，C 為系數(shù)向量，公式如下：

2.1.2 氣泡網(wǎng)狩獵

WOA 算法根據(jù)鯨魚氣泡網(wǎng)狩獵的行為設(shè)計(jì)了兩種位置更新策略，分別為收縮包圍和螺旋位置更新。其中，收縮包圍通過減小式（10）中的收斂因子a的值實(shí)現(xiàn)，此時(shí)A 為［-a，a］的隨機(jī)數(shù)。當(dāng)|A|≤1 時(shí)，更新位置后的個(gè)體由原來位置向目標(biāo)位置靠近，根據(jù)式（13）進(jìn)行收縮包圍。而螺旋位置更新則是模擬鯨魚螺旋運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，公式如下：

其中，b 是定義對數(shù)螺旋形狀的常量系數(shù)，l 表示區(qū)間［-1，1］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

由于鯨魚在螺旋位置更新的同時(shí)縮小包圍圈，為了模擬這種同步過程，WOA 算法選擇用概率p 來確定是進(jìn)行收縮包圍還是螺旋位置更新，公式為：

2.1.3 獵物搜索

當(dāng)|A|＞1 時(shí)，WOA 算法不再通過目標(biāo)位置來更新其他個(gè)體的位置，而是在種群中隨機(jī)尋找一個(gè)搜索體的位置來代替目標(biāo)位置，以便增強(qiáng)算法的全局搜索能力，更新公式如下：

其中，Xrand表示當(dāng)前種群中隨機(jī)一個(gè)搜索體所在的位置。

2.2 混沌-鯨魚優(yōu)化算法

WOA 算法在迭代過程中存在易早熟收斂的問題，而混沌具有遍歷性和隨機(jī)性，因此，本文將混沌思想引入算法當(dāng)中，提出了混沌-WOA 算法。

2.2.1 混沌初始化

初始種群質(zhì)量影響智能優(yōu)化算法的收斂速度和解的質(zhì)量，初始種群的多樣性程度較高有利于提高算法的尋優(yōu)性能。鯨魚優(yōu)化算法采用隨機(jī)方式初始化種群，無法做到種群在整個(gè)搜索空間中均勻分布，導(dǎo)致在搜索過程中算法收斂精度降低。混沌映射具有遍歷性和隨機(jī)性的特點(diǎn)，能在一定范圍內(nèi)更全面地探索搜索空間。

本文將采用3 種離散混沌映射來產(chǎn)生原始混沌序列，分別為Chebyshev 映射、Logistic 映射和Tent 映射，其產(chǎn)生法則如下：

1）Chebyshev 映射定義為：

本文以四階Chebyshev 映射進(jìn)行研究，即ω=4，其中，ω 為Chebyshev 映射的階數(shù)，n 為時(shí)間序列，x∈［0，1］。

2）Logistic 映射是應(yīng)用比較廣泛的一種映射，其數(shù)學(xué)表示形式非常簡單，定義為：

其中，μ∈［0，4］為控制參數(shù)，x∈［0，1］。

3）Tent 映射也是使用較為廣泛的一種混沌映射，其在混沌擴(kuò)頻碼的產(chǎn)生、混沌加密系統(tǒng)構(gòu)造和混沌優(yōu)選算法的實(shí)現(xiàn)等領(lǐng)域中都有廣泛應(yīng)用。定義為：

其中，Mc為編碼相數(shù)，ceil 為取整函數(shù)。

步驟4 根據(jù)式（2）產(chǎn)生MIMO 雷達(dá)混沌相位編碼信號(hào)集。

通過上述4 個(gè)步驟，只需設(shè)置不同的初始值，就可以在短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生任意數(shù)量、任意長度的混沌相位編碼信號(hào)集，具有良好的相關(guān)性能。

2.2.2 設(shè)計(jì)慣性權(quán)重

WOA 算法在迭代后期容易陷入局部最優(yōu)，而慣性權(quán)重在平衡算法全局搜索和局部搜索中起到重要的作用，因此，本文在WOA 位置更新方程中引入權(quán)重思想來提高收斂精度，并經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)得出，在當(dāng)前迭代次數(shù)大于最大迭代次數(shù)的1/3 時(shí)，采用慣性權(quán)重可以更好地均衡全局搜索和局部搜索，即：

其中，t 為當(dāng)前迭代次數(shù)；T 為最大迭代次數(shù)。改進(jìn)后的位置更新公式如下：

當(dāng)|A|≤1，

當(dāng)|A|＞1，

其中，ω（t）為慣性權(quán)重。

2.2.3 混沌-WOA 算法流程

本文混沌-WOA 算法流程圖如圖1 所示，具體步驟如下：

圖1 混沌-WOA 算法流程圖

步驟1 利用混沌映射進(jìn)行初始化：對參數(shù)進(jìn)行初始化，確定參數(shù)信號(hào)序列P、序列長度L、種群規(guī)模N 以及最大迭代次數(shù)T，并通過式（18）～式（20）產(chǎn)生N 個(gè)維度為P×L 的相位矩陣X。

步驟2 計(jì)算適應(yīng)度值：根據(jù)式（8）計(jì)算個(gè)體的適應(yīng)度值并進(jìn)行排序，將適應(yīng)度值最小的個(gè)體保存下來作為個(gè)體的最優(yōu)位置。

步驟3 更新每個(gè)搜索代理的參數(shù)：根據(jù)式（10）～式（13）更新搜索代理的參數(shù)A、C、D。

步驟4 更新個(gè)體位置：設(shè)計(jì)慣性權(quán)重ω，用改進(jìn)的式（24）～式（26）在空間位置區(qū)域進(jìn)行優(yōu)化搜索，并根據(jù)參數(shù)A 和概率p 產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)判斷是進(jìn)行包圍獵物、氣泡網(wǎng)狩獵以及獵物搜索這3 個(gè)階段中的哪一個(gè)階段。

步驟5 輸出最優(yōu)解：更新后返回繼續(xù)執(zhí)行步驟2～步驟4，直到滿足終止條件，即，找到適應(yīng)度值最小的位置，并輸出最優(yōu)解。

3 MIMO 雷達(dá)相位編碼信號(hào)集設(shè)計(jì)

根據(jù)上節(jié)所敘述的步驟，采用混沌-WOA 算法對所得信號(hào)集進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置如下：發(fā)射信號(hào)序列數(shù)P=4，序列長度L=40，相數(shù)為4，算法最大更新次數(shù)為2 000。在迭代2 000 次后，采用混沌-WOA 算法生成的正交相位編碼信號(hào)集的ASP 值如表1 所示。

表1 所得平均ASP 值

為了進(jìn)一步體現(xiàn)算法的適用性，在其他參數(shù)不變的情況下，本文還做了序列長度L=100 的實(shí)驗(yàn)。在迭代2 000 次后，也得到了較低的ASP 值，生成的正交相位編碼信號(hào)集的ASP 值如下頁表2 所示。

從表1、表2 中的數(shù)據(jù)可以看出，通過混沌-WOA 算法所得信號(hào)集的ASP 值較低，能夠滿足MIMO 雷達(dá)相位編碼信號(hào)集的設(shè)計(jì)要求。

表2 所得平均ASP 值

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

在實(shí)驗(yàn)參數(shù)相同的情況下，將本文混沌-WOA算法所得結(jié)果分別于沒有添加慣性權(quán)重的混沌-WOA 算法和基本W(wǎng)OA 算法所得結(jié)果進(jìn)行對比分析，表3 為本文信號(hào)集與沒有添加慣性權(quán)重的混沌-WOA 算法和基本W(wǎng)OA 算法所得信號(hào)集在平均ASP 上的對比結(jié)果。

表3 3 種算法的平均ASP 值對比結(jié)果

由表3 可知，混沌-WOA 算法得到信號(hào)集的平均ASP 值均低于沒有添加慣性權(quán)重的混沌-WOA算法和基本W(wǎng)OA 算法所得結(jié)果，由此說明，采用混沌-WOA 算法設(shè)計(jì)的MIMO 雷達(dá)相位編碼信號(hào)集具有更加優(yōu)良的相關(guān)性能。

本文還分別對混沌-WOA 算法、混沌-WOA算法（無權(quán)重）、WOA、模擬退火（Simulate Anneal，SA）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比分析。由于本文采用3 種映射所得平均ASP 曲線非常接近，為更加清晰地看出算法的優(yōu)越性，本文采用3 種映射中結(jié)果較好的Tent-WOA 算法進(jìn)行對比，圖2 分別為4 種算法的平均ASP 值隨更新次數(shù)變化曲線。

圖2 平均ASP 值變化曲線

從圖2 中可以看出，在更新次數(shù)均為2 000 的情況下，與其他3 種算法相比，在前500 次迭代中可以清晰地看出，混沌-WOA 算法在收斂速度方面要快于基本W(wǎng)OA、未加權(quán)重的混沌-WOA 以及SA。在收斂精度方面，SA 算法曲線沒有收斂，而未加權(quán)重的混沌-WOA 算法和基本W(wǎng)OA 算法雖然最終收斂于某一個(gè)較小的值，但平均ASP 值相對較高，均高于混沌-WOA 算法。因此，混沌-WOA 算法能夠在最短時(shí)間內(nèi)取得最低的ASP 值，具有比較理想的收斂速度和收斂精度。

最后，選取實(shí)驗(yàn)參數(shù)相同的文獻(xiàn)，將其結(jié)果與本文混沌-WOA 算法的結(jié)果進(jìn)行對比分析，表4 為本文信號(hào)集與文獻(xiàn)［17-20］所得信號(hào)集在平均ASP上的對比結(jié)果。

表4 本文方法與其他文獻(xiàn)平均ASP 值比較

表4 表明：與其他文獻(xiàn)相比，本文混沌-WOA算法得到信號(hào)集的平均ASP 值較低，由此說明，采用混沌-WOA 算法設(shè)計(jì)的MIMO 雷達(dá)相位編碼信號(hào)集具有更加優(yōu)良的相關(guān)性能。

5 結(jié)論

通過引入混沌思想，基于鯨魚優(yōu)化算法提出了兩種改進(jìn)策略，一是采用混沌初始化，提高種群解的質(zhì)量，增加種群數(shù)量；二是在鯨魚優(yōu)化算法更新位置方程中引入慣性權(quán)重，并應(yīng)用到MIMO 雷達(dá)相位編碼信號(hào)集優(yōu)化設(shè)計(jì)中。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：與其他智能優(yōu)化算法相比，優(yōu)化設(shè)計(jì)出的MIMO 雷達(dá)相位編碼信號(hào)集相關(guān)性能良好，滿足相位編碼信號(hào)集設(shè)計(jì)要求，而且混沌-WOA 算法在算法的收斂速度和收斂精度上均有明顯提高。