王之岳，陳灶灶，朱利民，張鑫泉

（上海交通大學 機械與動力工程學院，上海200240）

1 引 言

微透鏡陣列是將單顆透鏡作為陣列單元，排列在一個基板上的一種透鏡應用。微透鏡陣列可以進行聚光和散光，廣泛應用于光束投影儀、光通信器件和照明設備等［1］。注塑和壓印是實現(xiàn)塑料微透鏡陣列大規(guī)模生產(chǎn)的關鍵技術，該技術需要高精度微透鏡陣列模芯。目前，高精度微透鏡陣列模芯的加工方法有超精密加工［2-3］、光刻［4］和激光加工等［5-7］。隨著微透鏡陣列模芯精度和尺度的不斷提高，需要研究更高精度的加工解決方案［8］。

現(xiàn)階段微透鏡陣列的機械加工方法主要包括超精密銑削與車削。與慢刀伺服車削相比，銑削逐顆加工透鏡陣列的加工一致性更好，且銑刀刀具壽命更長。然而，銑削加工表面存在不規(guī)則刀痕和底部尖點缺陷，且銑削加工后的面形精度難以控制在亞微米水平。在加工大口徑透鏡陣列時，銑削加工單顆透鏡耗時長，加工效率低。當單顆透鏡的口徑大于2 mm、陣列數(shù)量大于100顆時，慢刀伺服的加工效率遠高于銑削，而且不會出現(xiàn)銑削加工產(chǎn)生的不規(guī)則刀痕、底部尖點缺陷等問題。因此，在超精密加工實踐中，嘗試使用慢刀伺服車削整體加工大口徑透鏡陣列。然而，慢刀伺服加工高精度的微透鏡陣列依然存在挑戰(zhàn)［8］，加工出的透鏡面形精度差，加工表面會產(chǎn)生規(guī)則刀痕，并在邊緣處發(fā)生過切。

目前，慢刀伺服車削加工微透鏡陣列存在以下兩方面難點：一是刀具干涉過切，加工時在某些切削位置，受切表面局部方向與刀面不垂直，刀具產(chǎn)生等效傾斜角而導致過切，另外機床位置控制系統(tǒng)存在的2 ms左右時延也會導致過切，因此加工出的透鏡面形精度與一致性差；二是微透鏡陣列的加工誤差補償，由于刀具的幾何參數(shù)、刀具坐標系及工件裝夾無法做到絕對準確，因而加工出的微透鏡陣列存在一定的偏差，需要進行補償加工［9］。此外，相比于銑削加工，車刀的使用壽命更短，且會在加工表面留下螺旋狀的規(guī)則刀痕。

針對慢刀伺服加工透鏡陣列面形精度與一致性差的問題，本文提出了慢刀伺服切削微透鏡陣列的加工誤差理論預測模型，通過與實際加工測量結果進行對比，驗證了該預測模型的準確性；并開發(fā)了一套微透鏡陣列慢刀伺服切削補償系統(tǒng)，將預測的加工誤差預補償?shù)郊庸こ绦蛑?，從而提高慢刀伺服加工微透鏡陣列的面形精度與一致性。

2 模型建立

2.1 法曲率

假設空間中曲面上一點的坐標（x，y，z）是兩個獨立變量u，v的函數(shù)，用參數(shù)方程表示為：

用向量形式表示為：

當參數(shù)（u，v）變成（u+du，v+dv）時，曲面上的點r=r（x，y，z）在du，dv的一階無窮小范圍內，變?yōu)閞+dr=（x+dx，y+dy，z+dz），其中：

這兩個點之間距離的平方為：

其中：E=r u·r u，F(xiàn)=r u·r v，G=r v·r v；ds2為曲面的線素。右側是du，dv的二次形式，稱第一基本形式，3個系數(shù)E，F(xiàn)，G稱為第一基本量。

在曲面r=r（u，v）上的一點（u，v）處，做曲面的兩個切向量r u和r v，假定r u×r v≠0，則曲面在該點的法向量n滿足：

法向量對于所有切線滿足：

在曲面r=r（u，v）上的一點（u，v）處，做曲面的切平面，從其臨近點（u+du，v+dv）做該切平面的垂線，那么這個垂直距離是du，dv的二階無窮小量，其主部定義為第二基本形式φ，帶入式（6）有：

式中：

在曲面r（u，v）上的一點（u，v）處，其法曲率kn滿足［10］：

2.2 慢刀伺服切削面形誤差理論模型

將微透鏡陣列加工等效為自由曲面加工，慢刀伺服切削面形誤差理論模型中，根據(jù)切削點處的法曲率，計算出該點的局部曲率半徑，記為RC；再由刀具等效傾斜角模型，計算出由于該點實際切削產(chǎn)生等效傾斜角而導致的刀具過切量Δz1；最后由機床加工時延模型計算出刀具過切量Δz2，Δz1+Δz2作為慢刀伺服切削面形誤差的預測值。

如圖1（a）～1（c）所示，刀具沿螺線上的一點P切削自由曲面，刀面與切削平面垂直，記垂直于切削方向的向量為u→，沿切削方向的向量為v→，它們在自由曲面上的投影為P＇，u→＇，v→＇。如圖1（a）所示，在垂直于切削方向的截面上，單晶金剛石車刀沿著點P＇切削。如圖1（b）所示，自由曲面在該點的曲率半徑RC等于在該點沿向量v→＇的法曲率kn的倒數(shù)，即有：

機床加工時延模型如圖1（d）所示。由于機床z軸與x，y軸之間存在控制時延Δt，當加工程序控制機床的x，y軸到達t位置時，z軸仍在t-Δt位置，因而產(chǎn)生刀具過切量Δz2。由于機床z軸時延不易直接測量，需要先進行一組加工實驗，標定得到機床加工時延Δt，再由實驗標定得到的Δt預測第二組不同曲率半徑球面透鏡陣列的加工誤差，模型預測值與實際測量值進行比較，檢驗模型的正確性。

圖1 慢刀伺服切削面形誤差模型示意圖Fig.1 Model of slow slide servo cutting error

刀具的等效傾斜角模型如圖2所示。如圖2（b）所示，在切削過程中，待加工表面的斜率沿加工軌跡變化，導致前刀面與加工表面不垂直，產(chǎn)生一個等效傾斜角t。如圖2（c）所示，刀具在等效傾斜角t的作用下，刀刃方程變化為：

刀具在y方向上產(chǎn)生的Δy為：

如圖2（d）所示，將刀前點作為參考點，切點與刀前點在z方向上的距離記作Δz。記切點處的傾斜角為α，刀刃方程的導函數(shù)為f（x）=z＇1（x），可以得到切點的x p坐標為：

從而進一步得到：

如圖2（e）和2（f）所示，加工程序控制的刀前點位置不變，刀具傾斜t會使刀具產(chǎn)生過切量Δz1。計算過程中，將切削點鄰域的待加工曲面近似為球面，球面半徑由式（10）計算。由于RC?Δz，θ→90°，因此得到Δz1的近似表達式為：

圖2 刀具等效傾斜角模型示意圖Fig.2 Model of tool equivalent tilt angle

3 實驗及結果分析

3.1 實驗設計

為驗證本文所提出方法的有效性，進行了微透鏡陣列切削實驗。實驗中設計的微透鏡陣列如圖3所示，詳細設計參數(shù)如表1所示。透鏡陣列上的單元透鏡為曲率半徑為6 mm或8 mm的球面，第一組加工曲率半徑為6 mm的球面透鏡陣列，第二組加工曲率半徑為8 mm的球面透鏡陣列。使用摩爾Nanotech 650 FG機床，半徑為0.498 mm的單晶金剛石車刀，并采用慢刀伺服的方式沿螺旋線軌跡進行加工。

圖3 透鏡陣列加工實驗示意圖Fig.3 Schematic diagram of micro-lens array machining experiment

表1 微透鏡陣列設計參數(shù)Tab.1 Design parameters of freeform surface array

如圖4所示，每組實驗加工完畢后，使用共聚焦傳感器（控制器型號micro-epsilon IFC 2471，測頭型號IFS 2405）進行原位測量和分析，采集到原始測量數(shù)據(jù)點。根據(jù)面形公稱值，得到實際測量的面形誤差值。

圖4 共聚焦傳感器原位測量示意圖Fig.4 In situ measurement using chromatic confocal sensor

本文所提出的機床加工時延模型需要一組實際加工結果校正。第一組實驗加工出的PV用于機床時延Δt的標定，使用機床加工時延模型預測第二組實驗加工出的PV，將誤差模型的預測值與實際測量值進行比較。

補償加工的方法是用補償面形來間接補償機床加工時延。將誤差面形預先補償?shù)絻山M實驗的加工程序中，使用補償后的加工程序重新加工，加工完畢后使用原位測量得到補償后的誤差面形，評價補償效果。

3.2 結果分析

3.2.1 誤差模型預測結果

圖5展示了標定機床加工時延的結果，圖5（a）展示了第一組實驗中誤差面形的測量值，9顆透鏡的峰谷（Peak to Valley，PV）值記錄在表2。除去處在中心位置的5號透鏡，其余透鏡的PV平均值為5.349μm。根據(jù)圖5（b）所示的誤差PV-機床加工時延標定結果，得到機床加工z軸時延Δt=2.15 ms。

表2 第一組實驗透鏡陣列的加工誤差Tab.2 Lens array residuals of Group 1 （μm）

圖5 機床加工時延標定實驗結果Fig.5 Result of lathe delay calibration experiment

如圖6（a）所示，采用本文提出的刀具等效傾斜角模型計算出刀具在z方向上的過切量在百納米量級，對加工誤差產(chǎn)生次要影響。如圖6（b）所示，利用第一組實驗標定的機床加工z軸時延Δt=2.15 ms，可以得到第二組實驗面形誤差的理論預測值，其預測的過切量PV值為4μm，對加工誤差產(chǎn)生主要影響。

第二組實驗使用原位測量，得到的誤差面形如圖7（a）所示。對比圖6（a）和圖7（a），理論預測和實際測得的誤差面形，兩者的PV趨勢一致，體現(xiàn)了關于陣列單元所在位置的對稱性，中心區(qū)域的5號透鏡誤差最小，其余區(qū)域的誤差面形與加工軌跡具有強相關性。在數(shù)值上，理論模型預測的誤差面形偏差為［-0.7μm，0.3μm］，理論預測與實際測量偏差在1μm以內。然而，理論預測對角線方向上的1，3，7，9號透鏡的PV值是軸線方向上2，4，6，8號透鏡PV值的1.5倍，這一點在實際測量出的誤差面形中沒有體現(xiàn)。理論預測的誤差面形PV值顯著大于實際測量值，推測第一組實驗中有其他因素導致標定的機床時延偏大。

圖6 誤差模型預測結果Fig.6 Predicted results of surface residual model

圖7 第二組實驗測量透鏡陣列誤差面形Fig.7 Measured results of micro-lens array surface residual of Group 2

3.2.2 加工補償結果

這里使用補償面形來間接補償機床的加工時延。將誤差面形預先補償?shù)絻山M實驗的加工程序中，使用補償后的加工程序重新加工，加工完畢后原位測量得到補償后的誤差面形。補償效果如圖8所示，其中5號位置在中心位置，補償前PV值最小。從圖中可以看出，加工程序修正后透鏡的PV值顯著降低，第一組實驗透鏡陣列的PV值從補償前的5.4μm降低到補償后的0.6μm；第二組實驗透鏡陣列PV值從補償前的2.4μm降低到補償后的0.3μm。由此證明了本文基于理論誤差預測值的補償方法的有效性。

圖8 補償前后陣列PV對比Fig.8 Comparison of PV before and after compensation

4 結 論

本文通過建立慢刀伺服切削模型有效預測了誤差面形，提出了基于理論誤差面形的補償加工方法。計算了待加工曲面在每一個切削點處沿切削方向的曲率半徑，并結合刀具等效傾斜角模型和機床加工時延模型，實驗確定刀具等效傾斜角模型效應對于誤差面形的影響可以忽略，并標定出機床z軸時延2.15 ms，進一步得到了慢刀伺服切削微透鏡陣列時的理論誤差面形。將誤差理論計算值與實際加工測量值進行比較，兩者偏差為［-0.7μm，0.3μm］。將理論計算的誤差值預補償?shù)郊庸こ绦蛑?，補償加工后的PV值顯著減小，從補償前的5.4μm降低到補償后的0.6μm。本文所提的加工補償方法可有效提高慢刀伺服加工微透鏡陣列的加工精度和一致性。