毛慧俊，周自強

（1.常熟理工學(xué)院機械工程學(xué)院，江蘇 常熟 215500；2.蘇州大學(xué)機電工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215000；3.江蘇省機電產(chǎn)品循環(huán)利用技術(shù)重點建設(shè)實驗室，江蘇 常熟 215500）

1 引言

電梯導(dǎo)軌在使用時會由于過載、沖擊等原因發(fā)生塑性變形，影響電梯運行的平穩(wěn)性，此時就需要更換新導(dǎo)軌或?qū)?dǎo)軌進(jìn)行再制造使其使其恢復(fù)使用前狀態(tài)即可繼續(xù)使用。目前主要針對加工過程的電梯導(dǎo)軌進(jìn)行校直與殘余應(yīng)力研究，不考慮導(dǎo)軌的初始應(yīng)力狀態(tài)，文獻(xiàn)[1?2]利用仿真數(shù)據(jù)建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對校直行程進(jìn)行預(yù)測，并對導(dǎo)軌多段校直進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[3]推導(dǎo)導(dǎo)軌校直后截面的殘余應(yīng)力分布公式；文獻(xiàn)[4]利用ANSYS軟件對電梯導(dǎo)軌輥式矯直后的殘余應(yīng)力進(jìn)行了仿真研究。在導(dǎo)軌再制造的校直過程中，除了需要考慮初始撓度外，還需要考慮初始?xì)堄鄳?yīng)力對校直過程的影響，目前也有一些針對初始?xì)堄鄳?yīng)力情況下的校直研究，文獻(xiàn)[5?7]對輥式矯直中理想彈塑性材料的二次反彎特性進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[8?9]推導(dǎo)了輥式矯直中二次彎曲的M?C特性，并研究了初次彎曲歷史對二次彎曲的影響。但這些研究通常針對矩形截面進(jìn)行理論推導(dǎo)，目前還沒有針對T型導(dǎo)軌在考慮初始?xì)堄鄳?yīng)力情況下的校直理論研究。

為研究初始?xì)堄鄳?yīng)力對導(dǎo)軌校直的影響，并將其用于自動化校直設(shè)備的參數(shù)控制，以側(cè)彎導(dǎo)軌的三點反彎校直為例，將其分為兩個過程：彈塑性彎曲變形過程和反彎校直過程。側(cè)彎變形過程基于三點彎曲理論模型，對導(dǎo)軌在使用過程中產(chǎn)生的塑性變形及殘余應(yīng)力進(jìn)行分析，而反彎校直過程則是對具有初始?xì)堄鄳?yīng)力的導(dǎo)軌校直進(jìn)行彈塑性理論分析，確定初始?xì)堄鄳?yīng)力對導(dǎo)軌校直的影響程度。

2 電梯導(dǎo)軌側(cè)彎變形的殘余應(yīng)力計算

2.1 彈塑性力學(xué)分析的基本假設(shè)

電梯導(dǎo)軌的彎曲變形是一個彈塑性過程，符合彈塑性力學(xué)原理，在進(jìn)行理論分析前做出以下假設(shè)：

（1）材料模型假設(shè)：導(dǎo)軌的材料模型為線性強化模型。

（2）單向應(yīng)力假設(shè)：認(rèn)為在彎曲變形過程中截面只受到彎曲正應(yīng)力，而忽略其他應(yīng)力的影響。

（3）無初始變形及殘余應(yīng)力假設(shè)：認(rèn)為電梯導(dǎo)軌在使用前不存在初始?xì)堄鄳?yīng)力，在使用過程中由于過載等情況造成導(dǎo)軌彎曲變形。

（4）不考慮包辛格效應(yīng)的影響。

2.2 參數(shù)設(shè)定

電梯導(dǎo)軌一般由軌頭、軌腰和底板三部分組成，其截面參數(shù)，如圖1所示。

圖1 電梯導(dǎo)軌截面參數(shù)及應(yīng)力分布Fig.1 Sectional Parameters and Stress Distribution of Elevator Guide Rail

在進(jìn)行彈塑性力學(xué)分析時，通常為了簡化理論模型而采用無量綱參數(shù)。設(shè)定彈性極限彎矩為Me，彈性極限曲率為Ce，截面彈性區(qū)高度為He，截面所受彎矩為M，彎曲曲率為CM。定義量綱一化后的參數(shù)如下：塑彎比彎曲曲率比C=CM Ce=1ξ；相對高度z=2h H，h為纖維層距中性層的高度，取值范圍為[?1，1]。

2.3 側(cè)彎變形過程的加載和殘余應(yīng)力分布

由于導(dǎo)軌初始狀態(tài)的殘余應(yīng)力為0，此過程為簡單彈塑性彎曲過程。電梯導(dǎo)軌在側(cè)彎過程中截面關(guān)于中性層對稱，應(yīng)力分布也關(guān)于中性層對稱，由線性強化材料模型可知截面應(yīng)力分布，如圖1所示。

設(shè)材料的彈性模量為E，屈服強度為σs，強化系數(shù)為λ，則導(dǎo)軌彎曲變形的加載應(yīng)力分布方程為：

式中：z—相對高度；C1—彎曲變形時的曲率比。

針對小變形導(dǎo)軌，塑性變形一般不會發(fā)生在導(dǎo)軌的軌腰和軌頭位置，而只會發(fā)生在導(dǎo)軌的底板部位，根據(jù)文獻(xiàn)[10]可知，導(dǎo)軌的加載彎矩表達(dá)式為：

側(cè)彎變形過程的塑彎比為：

彎曲曲率比C1=1ξ1，則彎曲變形過程中的?C1關(guān)系為：

電梯導(dǎo)軌的回彈過程是一個彈性過程，相當(dāng)于在截面上施加了一個?M1大小的彎矩。其卸載后的殘余應(yīng)力應(yīng)視為加載應(yīng)力σ1與回彈應(yīng)力σr1的線性疊加，即：

回彈應(yīng)力σr1是由?M1大小的彎矩形成的彈性應(yīng)力，其分布函數(shù)為：

卸載后截面的殘余應(yīng)力分布函數(shù)為：

彎曲過程的加載應(yīng)力分布和卸載后的殘余應(yīng)力分布，如圖2所示。

圖2 彎曲變形的截面加載應(yīng)力和殘余應(yīng)力分布Fig.2 Loading Stress and Residual Stress Distribution in Section of Bending Deformation

2.4 側(cè)彎變形過程撓度的數(shù)值求解

在三點反彎校直中，一般采用位移控制法控制校直壓頭的下壓行程達(dá)到校直的目的，避免測量曲率帶來的誤差。若側(cè)彎變形時彎曲曲率CM1=C1Ce，其中彈性極限曲率Ce為：

代入后得CM1為：

設(shè)導(dǎo)軌長度為L，彎曲變形時的撓度曲線為u（1x），（0 ≤x≤L），導(dǎo)軌回彈后的殘余撓度曲線為uc（1x），截面x處的所受彎矩為M（1x），曲率比為C（1x），由彈塑性力學(xué)中的曲率微分方程可知，彈性段撓度曲線微分方程為：

塑性段撓度曲線微分方程為：

式中：u（1x）和uc（1x）—彎曲曲率比C（1x）的函數(shù)，一般通過直接積分法或數(shù)值法求解微分方程組，由于直接積分法計算困難，可通過數(shù)值差分法求解方程得到u（1x）和uc（1x），并計算u1（L/2）和uc（1L/2）得到加載撓度u1和殘余撓度uc1。

3 考慮初始?xì)堄鄳?yīng)力的反彎校直分析

在電梯導(dǎo)軌存在初始?xì)堄鄳?yīng)力的情況下，截面的應(yīng)力分布不再滿足簡單彈塑性彎曲過程的應(yīng)力關(guān)系，屬于復(fù)雜彈塑性彎曲過程。令反彎校直的初始撓度u0=uc1，初始?xì)堄鄳?yīng)力σ0=σc1。

3.1 初始?xì)堄鄳?yīng)力條件下的二次加載應(yīng)力分布

設(shè)反彎校直時截面所受彎矩為M2，反彎曲率比為C2，則反彎校直時截面的加載應(yīng)力分布為初始?xì)堄鄳?yīng)力σ0與反彎校直的彎曲應(yīng)力σM2的線性疊加。由于彎曲變形過程與反彎校直過程的加載方向相反，故：

反彎校直過程中的加載應(yīng)力分布函數(shù)為：

（1）當(dāng)ξ2≥ξ1時，為1類應(yīng)力分布：

根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性條件，求得ξ2為：

反彎校直的彎矩M2為：

由于不考慮包辛格效應(yīng)的影響，反彎校直時彈性極限彎矩Me不變，此時截面的塑彎比=M2/Me。

（2）當(dāng)ξ2<ξ1時，為2類應(yīng)力分布：

根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性條件，求得ξ2為：

此時反彎校直彎矩M2為：

可以看到，不管反彎校直時截面應(yīng)力分布σ2屬于哪種情況，此時ξ2不再是簡單彈塑性彎曲過程與C2成反比的關(guān)系，而是受到歷史彎曲的影響，是C1和C2的函數(shù)，則彎矩比也是C1和C2的函數(shù)。

（3）應(yīng)力分布邊界

當(dāng)ξ2=ξ1時，即為兩種應(yīng)力分布情況的邊界條件。此時ξ2既滿足情況1），又滿足情況2），則：

求得C2與C1的關(guān)系為：

可以明顯的看出，若截面要達(dá)到2類應(yīng)力分布條件，反彎曲率比C2要大于彎曲變形曲率比C1。

3.2 初始?xì)堄鄳?yīng)力條件下卸載后的殘余應(yīng)力分布

反彎校直卸載后的殘余應(yīng)力與側(cè)彎變形時的殘余應(yīng)力相似，由于反彎校直卸載時回彈應(yīng)力σr2方向與σ1相同，則截面的殘余應(yīng)力σc2為：

反彎校直過程截面的加載應(yīng)力分布和殘余應(yīng)力分布，如圖3所示。

圖3 反彎校直截面的加載應(yīng)力和殘余應(yīng)力分布Fig.3 Loading Stress and Residual Stress Distribution in Section of Bending Straightening

3.3 反彎校直過程的M-C與u-C關(guān)系

為研究反彎校直過程的M?C關(guān)系與u?C曲線，首先需要確定C2與C1的關(guān)系，進(jìn)而確定反彎校直的應(yīng)力分布情況。若反彎曲率比C2=C1，則截面的彎曲曲率CM2=CM1，由此可得u2=u1，此時應(yīng)力分布函數(shù)為1類應(yīng)力分布，可以得出在[?ξ，ξ]區(qū)間內(nèi)加載應(yīng)力σ2<σ1，則反彎彎矩M2uc1。

若要達(dá)到校直目的，C2滿足的條件為：uc2=u0，又因為u0=uc1，故uc2=uc1。因此，反彎校直需滿足C2

設(shè)導(dǎo)軌反彎校直時加載撓度曲線為u（2x），卸載撓度曲線為uc（2x），u（2x）與uc（2x）建立的微分方程組也可通過數(shù)值差分法求解，進(jìn)而得到反彎校直行程u2和殘余撓度uc2。

4 基于有限元的算例對比與分析

以T75導(dǎo)軌為例，對上述理論殘余應(yīng)力分布、M?C模型和u?C數(shù)值求解模型進(jìn)行分析，并通過有限元仿真驗證理論模型。設(shè)導(dǎo)軌長L=500mm，截面參數(shù)為：B1=8，B2=24，B3=30，H=75，H1=8，H2=10，彈性模量E=205GPa，屈服強度σs=235MPa，線性強化系數(shù)λ=0.0173。

4.1 理論殘余應(yīng)力分布和有限元仿真模型的對比

設(shè)定彎曲曲率比C1=4.79，反彎曲率比C2=4.79，求得塑彎比：

在ABAQUS 仿真軟件中建立導(dǎo)軌的三維模型，首先模擬導(dǎo)軌的彎曲變形過程：在導(dǎo)軌中點處加載u1后卸載；然后模擬反彎校直過程在導(dǎo)軌中點處反向加載u2后卸載，得到反彎校直的殘余應(yīng)力場。導(dǎo)軌中點處截面應(yīng)力分布圖，如圖4所示。

將理論殘余應(yīng)力分布與有限元模型進(jìn)行對比，如圖5所示。

圖5 有限元模型和理論模型的殘余應(yīng)力對比Fig.5 Residual Stress Comparison between Finite Element Model and Theoretical Model

可以看到，理論模型的側(cè)彎最大殘余應(yīng)力約150Mpa，校直后最大殘余應(yīng)力約100MPa，與有限元模型結(jié)果基本一致。同時，可以看出在考慮初始?xì)堄鄳?yīng)力的情況下校直后殘余應(yīng)力更小。

4.2 反彎校直過程的2 ?C2與u-C曲線

圖6 反彎校直的?C2曲線Fig.6 2 ?C2 Curve of Reverse Bending Straightening

當(dāng)C1=1時，彎曲變形過程未進(jìn)入塑性，彎曲變形歷史將不對反彎校直過程產(chǎn)生影響，此時的曲線一致。 當(dāng)值和 應(yīng) 力分 布 邊 界對應(yīng) 的C2值，如表1所示。

表1 側(cè)彎變形的截面-C1值

表1 側(cè)彎變形的截面-C1值

C1 M 1應(yīng)力分布邊界的C2 4.791.598.06 5.861.6310.19 7.291.6913.02 8.111.7114.65

反彎校直過程的uc2?C2曲線，如圖7所示。其反映了截面的殘余撓度和曲率比的關(guān)系。

圖7 反彎校直的uc2?C2曲線

當(dāng)C1=1時，uc2?C2曲線與uc1?C1曲線一致，當(dāng)C1>1時，隨著C1的增大，相同C2下對應(yīng)的uc2更大，因此，應(yīng)該減小反彎校直時的曲率比C2和校直行程u2。

在ABAQUS 中對導(dǎo)軌進(jìn)行彎曲變形和反彎校直仿真，并計算u1、uc1、u2和uc2，將其與理論值進(jìn)行對比，如表2所示。

表2 u1、uc1、u2、uc2的理論值和仿真值Tab.2 Theoretical and Simulated Values of u1，uc1，u2 and uc2

從表中可以看出，理論模型比仿真值略大，但在合理誤差范圍內(nèi)。

4.3 反彎校直曲率比C2和校直行程u2的求解

由以上結(jié)論可知，若彎曲變形曲率比為C1，為滿足校直要求，需滿足uc2=uc1。由此求得C2?C1曲線，如圖8所示。

圖8 反彎校直的C2?C1曲線Fig.8 C2?C1 Curve of Reverse Bending Straightening

從圖8中可以看出，若要達(dá)到校直目的，C2與C1基本成線性關(guān)系。

由于彎曲變形與反彎校直實際上是相反的過程，若初始彎曲撓度u0=uc1，在不考慮初始?xì)堄鄳?yīng)力時校直行程u=u1，在考慮初始?xì)堄鄷r校直行程u=u2，且滿足uc2=uc1。理論校直行程u1、u2和仿真結(jié)果，如圖9所示。可以看到，u2的理論和仿真值均比u1小0.1mm左右。

圖9 反彎校直的u?u0曲線Fig.9 u?u0 Curve of Reverse Bending Straightening

5 結(jié)論

（1）若要達(dá)到校直目的，則曲率比C2