鄧青云，郝衛(wèi)峰，葉 茂，鄭 翀，肖 馳，鄢建國，Jean-Pierre Barriot，李 斐,*

1 武漢大學 測繪遙感信息工程國家重點實驗室，武漢 430079

2 武漢大學 中國南極測繪研究中心，武漢 430079

3 中國地震局武漢地震研究所，武漢 430079

0 引 言

月球外部重力場是其內部質量分布的體現，包含了月球內部結構與演化過程的相關信息. 重力場模型則是用于描述這一外部重力場的數學表達. 對重力場模型的分析是目前研究月球（以及其他行星）內部結構最有效的手段之一，相對于其他物理場，月球重力場模型具有全球均勻覆蓋、精度和分辨率持續(xù)提高的特點，因此，重力場模型及其相關測地學參數在月球內部結構研究中發(fā)揮著重要的作用.月震觀測雖然是針對內部結構最直接的探測手段（Nakamura, 1983; Nunn et al., 2020），但阿波羅任務時期開展的月震觀測以正面為主，覆蓋區(qū)域有限，缺乏對月球圈層精細結構約束，并且自1977年以來已經停止工作. 其他遙感手段主要獲取的是月球的表層與次表層信息，如以美國月球軌道勘測器相機（Lunar Reconnaissance Orbiter Camera, LROC）為代表的光學影像（Robinson et al., 2010）、以中國嫦娥（平勁松等，2008；李春來等，2010）、日本SELENE（Haruyama et al., 2008）以及LRO為代表的激光測高（Smith et al., 2010）、SELENE任務獲取的光譜信息（Ohtake et al., 2008）以及雷達探測（Xiao et al., 2015; Zhang et al., 2015, 2020; Li et al., 2019a）等. 然而，雷達探測深度僅限定于月球表面數百米范圍內，難以準確可靠地反映月球內部結構. 除此之外，月球是一個弱磁體（Ravat et al., 2020），月表物質的剩磁也難以對月球深部結構研究產生約束.

月球重力場模型通常由球諧級數的形式表達. 重力場模型的階次代表了該模型的分辨率，早期月球重力場模型階次較低，如阿波羅探測任務給出了16×16階次的月球重力場模型（Lore and Sjogren, 1968; Bills and Ferrari, 1980）. 最新的月球重力場模型解算自美國宇航局（National Aeronautics and Space Administration, NASA）實施的圣杯號（Gravity Recovery and Interior Laboratory,GRAIL）月球探測任務，其發(fā)布的月球重力場模型的球諧系數階次最高達1500階（Park et al.,2015）. 重力場模型階次的提升使得利用重力數據開展的月球內部結構分析也表現出了由深及表，由粗到細的趨勢.

重力場模型中低階次部分反映了深部、大尺度的重力場特征，利用重力場模型位系數中的二階項，結合自轉參數，可以確定星體的極慣性矩，從而對深部結構進行約束. 此外，軌道跟蹤數據解算重力場模型時，可以一并解算二階潮汐勒夫數，這一參數對星體的黏彈性響應較為敏感，可以用于反演內部的密度與黏度結構. 重力場模型中高階次部分反映了淺部、小尺度的重力場特征. 利用短波重力異常與地形的相關性，可以對殼層的密度進行估計.而重力異常與地形的導納關系結合彈性薄板模型還可以對星球殼層的厚度以及巖石圈彈性厚度產生約束.

近年來，我國的嫦娥一號、二號衛(wèi)星成功完成了繞月任務，嫦娥三號、四號任務實現了月面著陸探測，其中嫦娥四號更是實現了人類首次背面軟著陸和巡視勘察（Liu et al., 2019），嫦娥五號任務則攜帶了月球樣品成功返回（Li et al., 2019b）. 嫦娥系列探月任務的成功實施不僅在工程上具有重要意義，其所獲取數據的科學應用也越來越受到重視.以軌道跟蹤數據為基礎解算重力場模型，并利用重力場模型開展月球內部結構研究，是深空探測任務數據科學應用的重要組成部分（Yan et al., 2020;Liu et al., 2021），也將有助于深化中國探月工程的科學產出，為后續(xù)的火星（Zou et al., 2020）、小行星等探測任務提供參考. 基于此，本文主要針對月球重力數據在月球內部研究中的作用、主要研究成果、最新的進展進行綜述，并對應用重力場模型反演月球內部結構研究中尚存在的問題以及后續(xù)月球重力場模型的應用前景進行了展望.

1 重力場在內部結構反演研究中發(fā)揮的作用

1.1 月球淺層結構

月球重力場數據表明，在月表之下的淺層地底，密度表現出橫向的不均勻性（Jansen et al., 2017,2019; Izquierdo et al., 2021）. 隨著重力場模型階次的提高，使得對這些淺層密度橫向不均勻結構的分析成為了可能，對這些潛在密度異常體的假設、建模、結構反演與地質解釋體現了重力場在月球淺層結構研究的作用.

1.1.1 月殼密度與孔隙度

Huang和Wieczorek（2012）以及Wieczorek等（2013）通過重力異常與地形之間的相關性分析，揭示了小尺度、淺層范圍內月殼密度的變化約為250 kg/m3. 這一密度變化可能產生于月殼本身成分的差異或是孔隙度變化的影響. 結合光譜數據獲取的真密度（ρgrain）與重力—地形數據獲取的月殼體密度（ρbulk），就可以對月殼孔隙度（φ，單位為%）的分布進行估計：

月殼體密度的反演通常采用重力—地形相關分析法（Wieczorek et al., 2013），其主要思想為：假設短波部分的重力異常應當主要來自地形引起的重力，結合密度的假設，并且考慮噪聲的特性，就可以對殼層密度進行無偏估計. 相關分析方法可以在空間域內利用球冠諧函數進行局部化處理和計算，也可以在頻率域內計算.

GRAIL重力數據與LRO地形數據的結合使得對月殼密度的估計越來越可靠（Wieczorek et al.,2013; Chuikova et al., 2020; ?prlák et al., 2020; Wahl et al., 2020）. Wieczorek等（2013）與Wahl等（2020）還給出了淺層月殼的孔隙度全球分布. 圖1顯示了Wahl等（2020）得到的月球淺層月殼孔隙度分布結果.

圖1顯示，大型盆地表現出了顯著的徑向孔隙度結構，并且尺寸越大，年齡越年輕的盆地，其孔隙度特征越顯著. 在盆地中央峰環(huán)區(qū)域，孔隙度較低；而在坑緣及其之外的區(qū)域，孔隙度較高. 這表明了撞擊過程會對月殼同時施加破壞作用（增大孔隙度）與壓實作用（減小孔隙度），這一結論與先前的研究結果類似（Milbury et al., 2015; Ding et al.,2018）.

圖1 月球淺層孔隙度分布（修改自Wahl et al., 2020）Fig. 1 Global porosity of the upper crust of the Moon （modified from Wahl et al., 2020）

1.1.2 侵入結構與隱月海

重力場數據可以反演月球侵入體的密度信息和幾何結構（Thorey et al., 2015; Jozwiak et al., 2017），并且對其深度、尺寸和體積進行估計. 某些侵入體尺寸較小，其重力信號通常僅在高階次重力場模型中才能得到體現. Jozwiak等（2017）在其研究中，對GRAIL重力場模型前100階位系數進行了截斷，使用100～600階的重力異常來研究Floor-fractured撞擊坑（Schultz, 1976）之下的侵入體. 這一截斷階次的選擇濾去了大部分長波重力信號，突出了來自月殼內部的重力特征.

月球其他區(qū)域內的高密度侵入體也可以通過重力數據來進行分析. GRAIL的重力梯度數據（Andrews-Hanna et al., 2013）揭示了月球全球分布的線狀重力異常（linear gravity anomalies, LGAs），這些LGAs被認為產生自巖漿上涌過程所遺留下的遠古侵入體（Andrews-Hanna et al., 2013）. 除了全球分布的LGAs，重力梯度數據還揭示了月球風暴洋周圍線狀重力異常的形態(tài)結構和分布模式（圖2）. 如圖2所示，風暴洋區(qū)域位于投影中心，周圍接近于矩形分布的線狀重力特征與風暴洋的撞擊成因假說相矛盾，因此被解釋為巖漿填充的裂谷遺跡或是正面月海的補給巖墻（Andrews-Hanna et al.,2014; 陸天啟等, 2019）. 結合風暴洋克里普地體產熱元素富集的地質背景，重力數據在該區(qū)域的新發(fā)現對風暴洋的起源問題產生了決定性的指示意義，基本上否定了風暴洋的大撞擊假說. 使用GRAIL數據反演得到的風暴洋區(qū)域之下的密度結構，也支持風暴洋形成于巖漿侵入和構造作用的共同作用結果（Wang and Heki, 2017; Deutsch et al., 2019;Chisenga et al., 2020）.

圖2 月球重力梯度圖與地形圖，中央經線附近顯示了風暴洋周圍呈矩形分布的線狀重力梯度異常，重力數據來自GRAIL任務發(fā)布的1 200階布格異常模型（修改自Goossens et al., 2020）；地形數據來自LRO任務激光測高計LOLA載荷發(fā)布的格網形式月球DEM（https://pds-geosciences.wustl.edu/lro/lro-l-lola-3-rdr-v1/lrolol_1xxx/data/lola_gdr/）Fig. 2 Gravity anomaly gradient and topography of linear gradient anomalies in quasi-rectangular pattern around Procellarum region.Gravity gradient is calculated with 1 200-degree GRAIL gravity field model （modified from Goossens et al., 2020）;Topography is from lunar digital elevation model derived from LOLA instruments, which is archived at https://pdsgeosciences.wustl.edu/lro/lro-l-lola-3-rdr-v1/lrolol_1xxx/data/lola_gdr/

隱月海（Cryptomaria）是被撞擊濺射物覆蓋了的遠古月海玄武巖（Head and Wilson, 1992），可以根據地形、粗糙度、反照率、巖石豐度以及光譜特征對其進行識別（Whitten and Head, 2015a,2015b）. 考慮到玄武巖密度通常高于周圍的斜長質月殼，隱月海應當也可以被重力數據所揭示. 重力反演的優(yōu)勢在于，在密度假設的條件下可以獲取隱月海的體積信息，Sori 等（2016）對月球全月面隱月海體積的估計結果為（0.4～4.8）×106km3，Zheng 等（2022）對Balmer-Kapteyn區(qū)域隱月海的體積估計結果為2.3×104km3，這些結果的獲得有助于對月球火山活動歷史和熱演化過程的研究.

1.1.3 盆地關聯結構

月球保有了較多的大型撞擊盆地，盆地形成時，不僅會形成凹陷的地形，通常還會在盆地中心底部形成幔部隆起結構（Melosh, 1989）. 由于幔的密度通常大于殼，盆地的幔部隆起結構會產生正的重力異常. 因此，重力數據不僅可以用來反演質量瘤盆地之下的密度結構（Chisenga et al., 2019; Zhao et al., 2019, 2021），還可以用來發(fā)現某些掩埋撞擊坑或撞擊盆地（Evans et al., 2016; Sood et al., 2017;James et al., 2019）. 圖3顯示了位于月球風暴洋南部的一個掩埋撞擊坑，該撞擊坑被月海掩埋后，僅露出部分構成環(huán)形的坑緣地貌，后續(xù)的撞擊事件在其南部形成了一個小型的顯性撞擊坑. 在GRAIL任務之后，高分辨率的重力數據獲取的地底結構還能用于約束盆地形成過程的數值模擬研究（Johnson et al., 2016, 2018; Lompa et al., 2021）.

圖3 位于月球風暴洋南部的一個部分掩埋的撞擊坑的影像圖與地形圖（修改自Sood et al., 2017）Fig. 3 Image and topography map of a partially buried impact crater of the Moon （modified from Sood et al., 2017）

溢出型火山活動（月海覆蓋）和大型撞擊事件產生的濺射物均會對月表地形地貌產生覆蓋作用，一些早期形成的撞擊坑或撞擊盆地會受到后續(xù)覆蓋作用的影響，導致其形貌消失，難以從數字地形模型或影像中分辨. 盆地的幔部隆起地底結構不易受到外部覆蓋作用的影響，在黏性松弛作用較為微弱的條件下，幔部隆起結構可以保存較長時間（Ding et al., 2021）. 由于溫度和物性都會顯著地影響盆地的黏性松弛過程，重力數據獲取的盆地地底結構還可用于研究盆地形成時月球的溫度狀態(tài)（Miljkovi? et al., 2013, 2021; Trowbridge et al., 2020）.

在對撞擊坑分布的分析中，納入重力數據識別出的掩埋盆地可以獲取更加全面的撞擊坑尺寸—頻率分布結果（Neumann et al., 2015），根據這一結果，結合撞擊模型，可以獲取更為可靠的月球撞擊體的來源，從而對月球撞擊歷史乃至內太陽系的撞擊歷史的研究提供新線索（Conrad et al., 2018;Evans et al., 2018; Nimmo, 2018）.

1.2 導納與巖石圈彈性厚度

在地球物理研究中，導納代表了重力和地形數據之間的統(tǒng)計關系. 如果重力與地形在頻率域內線性相關，那么就可以使用重力和地形的導納函數來反演地球物理參數（Turcotte et al., 1981）. 基于重力—地形導納反演地球物理參數時，通常需要考慮不同巖石圈補償模型，根據理論的導納譜來對觀測導納譜進行最優(yōu)化求解，從而估計待求的參數. 重力—地形導納可以對局部的殼層厚度、殼層密度、載荷深度、載荷比以及巖石圈彈性厚度（鐘振等，2021）等參數進行估計.

Arkani-Hamed（1998）利用早期月球重力場模型和地形數據對月球主要質量瘤盆地區(qū)域的巖石圈有效彈性厚度進行了估計，其結果表明在Imbrium、Serenitatis與Nectaris區(qū)域有效彈性厚度約為50 km，在Crisium區(qū)域為35 km，而在Smythii和Humorum區(qū)域則為30 km，在Orientale區(qū)域為20 km. Sugano和Heki（2004）對月球主要質量瘤盆地區(qū)域的彈性厚度進行了估計，得到的巖石圈彈性厚度為20～60 km，其中Serenitatis盆地的彈性厚度較小，在0～5 km之間，表明其下可能存在溫度異常使得巖石圈彈性厚度變小. Crosby和McKenzie（2005）對正面月殼彈性厚度的估計結果表明，月球正面區(qū)域的彈性厚度由pre-Nectarian時期的～12 km增加至Nectarian時期的大于25 km，這一現象在一定程度上反映了月球的冷卻過程. 李斐等（2009）反演出月球正面4個月海質量瘤區(qū)域的平均彈性厚度為8 km. Huang和Wieczorek（2012）對月球主要地區(qū)的彈性厚度估計結果為5～30 km，但在其研究中，彈性厚度只要大于0均可以擬合所使用的重力與地形數據. Huang 等（2014）還利用GRAIL模型對月球正面盾型火山區(qū)域彈性厚度進行了估計，其估計結果表明彈性厚度非常?。ā? km）. Zhong 等（2014, 2018）使用粒子群算法對月球的彈性厚度進行了估計，其結果表明Grimaldi質量瘤區(qū)域的彈性厚度（～30 km）要小于先前的估計值（～60 km）.在Clavius撞擊坑以及其附近的月球南半球高地區(qū)域，彈性厚度較小，僅有7 km左右（Zhong et al.,2019a, 2019b），而在月球背面的Moscoviense海，彈性厚度的結果（18 km）遠小于之前研究的結果（60 km），表明Moscoviense海可能經歷較為顯著的熱活動，如重復撞擊事件（Zhong et al., 2019c）.

影響月球彈性厚度估計結果的原因包括：（1）月球的二分性以及熱演化過程的橫向不均一性使得不同區(qū)域巖石圈的溫度結構本身就存在區(qū)別；（2）重力與地形數據的更新使得彈性厚度估計結果不斷優(yōu)化；（3）不同導納模型得到的彈性厚度結果也存在區(qū)別.

1.3 月殼厚度

月殼平均厚度是用于估計月球整體組成成分的重要參數（Taylor et al., 2006），而殼層厚度的橫向不均勻性則反映了不同區(qū)域經歷的不同地質演化過程. 除了月震手段，殼層的平均厚度還可以使用上一節(jié)所述重力—地形導納法進行估計. 由于殼幔存在密度差，殼層厚度變化及其密度的橫向不均勻性引起的重力異常也可以在重力場模型中得到體現.

Zuber等（1994）在假設月球平均殼層厚度為64 km的條件下，計算了月球的殼層厚度分布，其設定的殼層密度為2 800 kg/m3，幔層密度為3 300 kg/m3. 殼層厚度模型結果顯示月球背面殼層整體更厚，大型盆地表現出了顯著的殼層變薄結構，這是月球殼層厚度分布的兩大主要特征. 在Crisium盆地中心，殼層厚度接近于0 km, Orientale盆地殼層厚度也比較薄，約為4 km. Zuber等（1994）還發(fā)現，月球正背面殼層厚度差異所造成的月殼體積差異與月球南極—艾肯盆地的開挖體積相當，引發(fā)了關于南極—艾肯盆地濺射是否造成了月球正背面殼層厚度差異的思考.

Neumann等（1996）也計算了月球的殼層厚度模型，其結果顯示月球正背面殼層厚度差異約為12 km，月球全球的殼層厚度變化范圍為20～120 km之間. Wieczorek和Phillips（1997）提出了利用重力—水準面比例（geoid to topography ratios,GTRs）估計月球的平均殼層厚度的方法，在艾里均衡假設下，得到的月球平均殼層厚度為49±16 km，在普拉特均衡假設下平均厚度為53～96 km（Wieczorek et al., 2006）. 此后，Wieczorek和Phillips（1998）提出了一種“有限功率地形”法，將笛卡爾坐標系內快速傅里葉變換反演殼層厚度的方法引入到了球諧坐標系中，給出了單層和雙層月殼模型假設下的月球殼層厚度分布. Hikida和Wieczorek（2007）設計了一種基于多邊形外部重力場反演殼幔邊界起伏的方法，也給出了全月球的殼層厚度分布. 李斐等（2009）估計了4個主要月海區(qū)域的平均殼層厚度，結果為57～72 km.

最新的月球殼層厚度模型使用了GRAIL高分辨率重力場數據（Wieczorek et al., 2013）. 在其殼層厚度模型的計算過程中，考慮了殼層密度的橫向不均勻性與月震數據對著陸點殼層厚度的約束，最終獲取了平均厚度為34～43 km的殼層厚度模型（圖4）. Crisium和Moscoviense盆地中心的殼層厚度接近于0 km，而Humboldtianum、Apollo和Poincaré撞擊坑的殼層厚度小于5 km，這與遙感數據在Crisium、Moscoviense和Humboldtianum盆地周圍發(fā)現的富橄欖巖物質相符，是撞擊過程鑿穿月殼從而將幔層物質開挖到月表的證據（Yamamoto et al., 2010）.

圖4 GRAIL重力數據與LRO地形數據計算的月球殼層厚度（Wieczorek et al., 2013）Fig. 4 Crustal thickness of the Moon from GRAIL gravity and LRO topography （Wieczorek et al., 2013）

1.4 月幔

解算重力場時，一同解算的潮汐參數表征了月球整體對潮汐作用力的響應，因此可以用于研究月球內部的密度和黏度結構. 對于存在部分熔融的星球，潮汐作用力對其產生的形變更加顯著，其潮汐勒夫數通常也大于一個純固體星球. Harada等（2014）利用解算的潮汐勒夫數k2與潮汐品質因子Q反演了月球內部的分層結構，其結果表明，當低黏度層位于月球半徑約500 km處時，其黏度約為2×1016Pa. 而 Matsumoto等（2015）在關于月球內部結構的研究中加入了月球激光測距、GRAIL任務獲取的潮汐勒夫數與慣性矩的約束，給出了月幔底部低黏度層厚度和黏度的估計值（170 km與3×1016Pa）. Tan和Harada（2021）反演出這一熔融層半徑約為560 km或580 km，其存在將對整個月球內部的能量耗散產生顯著的影響，對于我們研究月球的熱演化過程具有重要的意義.

1.5 月核

重力相關的測地學參數（慣性矩）也可以用來反映月核的尺寸. 慣性矩可以由重力場二階系數C20與C22結合天平動、軌道傾角、自轉參數來計算. 勻質球體的慣性矩為0.4，天體的慣性矩越接近0.4，則說明其內部密度分布越均勻，此時其核心占比可能比較小；天體的慣性矩與0.4的差距越大，表明其向內的密度結構變化越大，說明其核心占比較大或是核幔邊界密度差很大. 早期關于月核尺寸與狀態(tài)的研究受制于當時的數據條件，Toks?z等（1974）給出了不同組分假設下的月核半徑上限，對于FeS組成的月核，其最大半徑為700 km，而由Fe組成的月核，最大半徑為450 km.Hood（1986）的計算模型則表明，月幔密度提升10 %的情況下，沒有月核的月球模型也能滿足慣性矩的條件，而Mueller等（1988）則認為月球至少存在一個150 km的金屬內核.

通過以上步驟產生的空調系統(tǒng)，同樣需要進行三種驗證。第一，主要設備額定流量的匹配；第二，末端溫度滿足預設值；第三，動力設備壓頭達到要求。滿足以上要求，可視為空調系統(tǒng)合理。

隨著跟蹤技術的發(fā)展，人們獲取的月球重力場與自轉參數精度也在不斷提高，從而提升了月核尺寸反演的可靠性. 利用新近軌道數據獲取的慣性矩給出的月核半徑的不確定性也在減小. Konopliv等（1998）使用重力場模型對月核半徑的反演結果表明，Fe核尺寸范圍為220～370 km，而Fe-FeS的核心組分得到的液態(tài)月核半徑為330～590 km. 柯寶貴等（2009）給出了月核的密度和半徑變化范圍，分別是4700～7 000 kg/m3以及356～704 km.Garcia等（2011）聯合多源數據建立了初始月球參考模型，其中核心的半徑為380±40 km，平均密度為5 200±1 000 kg/m3. 不同學者利用最新的GRAIL重力場模型對月核半徑進行了研究，計算結果分別為370 km（Yan et al., 2015）、200～380 km的液核與0～280 km的固核（Williams et al., 2014）以及381±12 km（Viswanathan et al., 2019）.

2 月球重力場模型應用中的若干問題

當前，重力場模型是研究月球內部結構的重要手段，但在實際運用中，仍然存在一些限制與問題.

2.1 重力反演的非唯一性問題

首先，重力反演本身的多解性問題仍然存在（如圖5），這影響到了月球內部結構模型的構建；通常的做法是將重力數據結合其他物理參數（潮汐品質因子、潮汐勒夫數等）開展聯合反演.

圖5 質量體深度與尺度的錐體分布（修改自Nettleton,1976）Fig. 5 Cone shape distribution of the depth and size for buried mass body （modified from Nettleton, 1976）

考慮到重力場模型通常以球諧系數表達，一些學者嘗試構建起重力場模型階次與密度體深度之間的關系，為重力反演多解性問題的解決提供了參考. Featherstone等（2013）基于Bowin（1983）深度限定公式開展了對月球重力場模型階次與敏感深度的分析，Bowin（1983）的深度限定公式為：

式中，R為行星半徑，n為重力場模型階次，D為深度. Featherstone等（2013）為了研究月球背面潛在的質量瘤撞擊坑，基于該月球重力場模型從18階開始展開，對應了100 km深度以上的重力異常特征. Zuber等（2016）在月殼范圍內（＜45 km）基于球諧函數分辨率來對階次與深度的關系進行了正演建模驗證，其使用的重力場模型階次與深度關系關系式為：

Zuber等（2016）認定的深度D與球諧函數分辨率的空間尺度S一致：

式中，S為分辨率的空間尺度，λmin為最小分辨波長. 通過公式（2）與公式（3）的對比，不難發(fā)現Bowin深度限定公式與Zuber基于球諧函數分辨率的深度限定公式有著不同的階次—深度對應關系.Featherstone等（2013）對Bowin公式的運用（18階對應100 km）以及Zuber等（2016）在月殼深度范圍內對階次—深度關系的驗證（120階對應45 km、180階對應30 km、270階對應20 km以及540階對應10 km），表明這兩種階次—深度關系可能適用于不同的深度條件： Bowin公式可能適用于目標異常體較深、階次較低的條件，而Zuber等（2016）的深度關系則在目標異常體較淺、階次較高的條件下發(fā)揮作用.

對Bowin公式本身而言，在其深度限定關系的推導過程中，需要將n階的重力異常與水準面比例與點質量造成的整體重力異常與水準面比例進行聯立，這一聯立的合理性是值得質疑的. Bowin公式還隱含了重力異常與水準面差距需要獨立測量的前提，該前提在月球的情形中無法得到保證. 在Bowin公式的推導過程中，n階的重力異常與水準面差距應當同號，而在針對青藏高原區(qū)域場源效應的研究中，重力異常與水準面差距是反號的（Zhang et al., 2011），表明Bowin公式的適用范圍即使在地球上也是受限制的.

由于月球內部的質量分布情況無法準確獲知，并且重力場反演存在固有的多解性，現有情況下我們難以研究出更嚴密的階次—深度—尺度的定量關系. 如果今后的月球探測任務能夠獲得更加豐富的月震數據，結合GRAIL高分辨率重力場模型，有望對重力場模型階次和深度之間的關系提供新的看法.

2.2 高分辨率地形模型的重力建模問題

研究月球殼層內部密度異常結構時，需要在重力場模型中扣除地形引起的部分重力. 在進行地形引起重力計算時，需要注意如下幾個問題. 首先，重力位在包含了質量體的空間之外是調和的，而地形不存在調和這一屬性，月球表面的各種陡崖與斷層表明地形可以在較小的空間尺度內發(fā)生較大的變化. 其次，地形數據獲取時，得到的是空間域內的幾何量數據集，而重力場模型是以球諧形式表達的物理量. 地形到重力的轉換還涉及由空間域到球諧域的轉換過程，而在這一過程中，球諧形式表達地形建模的收斂性問題（Hirt and Kuhn, 2017）需要特別謹慎.

Wieczorek和Phillips（1998）提出的 “有限功率地形”法被廣泛用于計算地形引起的重力，而Hirt和 Kuhn（2017）通過對比多種地形建模方法，指出“有限功率地形”法的計算結果在360階以上的地形模型時會面臨不收斂問題. 其不收斂點往往位于布里淵球內部深處，比如撞擊盆地區(qū)域，而撞擊盆地的重力信號正是研究月球殼層內部結構的重要區(qū)域. 因此，“有限功率地形法”在處理高階次重力場模型時并非完全可靠，需要尋求新的途徑.

3 結論與展望

重力場數據有著全球均勻覆蓋、高分辨率以及持續(xù)改進的特點. 從最初的16階模型直到當前最高的1 500階模型，分辨率提升了2個數量級. 這些改進為利用重力場開展的月球內部結構研究提供了更為廣闊的前景.

重力場模型分辨率的提升使我們獲取了更為精細的月球重力異常分布，并且高階次重力場模型的持續(xù)改善也使得針對月球內部結構的研究逐漸向淺層推進，為月球表面的演化過程研究提供了幫助.然而，短波（高階）部分的噪聲影響了重力異常圖的可靠性，因此，后續(xù)研究應當重點關注高階次重力場以及地形產生重力的收斂性問題，提升重力場短波部分的數據質量，繼續(xù)增進我們對于月球重力場橫向變化的理解.

月球重力異常圖主要反映了重力在橫向范圍的變化，基于重力異常開展的研究極少涉及徑向方向重力特征的定位與識別，因此對月球內部圈層結構的約束力度仍然不夠. 當前，月球內部結構研究處于一個特殊的階段，對徑向圈層結構較為敏感的月震數據已經超過40年沒有得到更新，僅在數據處理方法上進行改進，難以對月球的內部結構研究產生突破性成果；而參考地球GRACE探測模式實施的GRAIL任務獲取了全月球均勻覆蓋、高分辨率高精度的重力數據，并且由于月球不存在大氣，GRAIL飛行器的軌道高度遠遠低于GRACE 飛行器，其所估計的月球重力場模型階次（1 500階）也遠超GRACE所估計的地球重力場階次（以GGM05為例，衛(wèi)星重力數據所能獲取的地球重力場階次為360階）. 在新的月震數據尚無法獲取的情形下，開展月球內部圈層結構研究的關鍵就在于發(fā)掘重力數據對徑向結構的約束潛力. Bowin所提出階次—深度限定關系為我們分析重力場模型的徑向特征提供了參考，但其推導過程也存在局限性，并且將Bowin公式遷移運用至月球的可行性也未可知. 如何構建球諧基本函數的階次與重力場徑向分辨能力之間的關系，將是后續(xù)月球乃至行星重力場研究中的重要問題之一. 從球諧基本函數在球面的分辨率與波長出發(fā)，可能會對這一問題的推進提供線索.

隨著新的月球探測任務開展，探測器將攜帶更多的探測設備（如：我國嫦娥7號將攜帶月震儀），將重力場數據與月震、雷達、月磁等其他數據的深度融合與綜合應用，將極大促進對月球內部結構，特別是月球圈層結構的認識，并將在地月系乃至太陽系的演化過程研究中發(fā)揮更大的作用.