放縮法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

李鑫

近年來，高考題或模考題的導(dǎo)數(shù)壓軸題中的函數(shù)往往是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或者指對數(shù)并存的超越函數(shù)，主要考察零點(diǎn)問題、不等式證明問題、恒成立問題等方向。如果利用常規(guī)方法處理，直接構(gòu)造出的函數(shù)，有時(shí)候需要多次求導(dǎo)，求最值比較困難，可能涉及到隱零點(diǎn)設(shè)而不求的思想方法。同學(xué)們往往感覺很吃力。

2022年廣東省一模的第21題是導(dǎo)數(shù)問題，涉及到了利用已證結(jié)論放縮的思想判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題。很多同學(xué)做得不夠理想。如果同學(xué)們掌握放縮法，對常見的不等式放縮有一定的積累，便可以將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為較為簡單的函數(shù)。放縮法較為靈活，同學(xué)們要能夠根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

本文，我將給同學(xué)們介紹三種常見的放縮思路：利用常見的不等式結(jié)論放縮、利用參數(shù)范圍局部放縮、利用已證結(jié)論放縮。

類型一：利用常見的不等式結(jié)論放縮

常用的不等式：

指數(shù)放縮：①? ? ? ? ? ? ? ? ;②? ? ? ? ? ? （? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 為函數(shù)? ? ? ? ? ?圖象的兩條切線）;

對數(shù)放縮：①? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?;②? ? ? ? ? ? ? ?;③? ? ? ? ? ? ? ? ? ;

（? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?為函數(shù)? ? ? ? ? ? ? 圖象的兩條切線）

指對放縮：

問題1：已知函數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，證明：

觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，函數(shù)中有指、對結(jié)構(gòu)，利用不等關(guān)系? ? ? ? ，得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，使問題簡化.

解：

當(dāng)? ? ? ? ? ? ? ? 有解時(shí)，等號成立.

變式1：已知函數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?當(dāng)? ? ? ? ? 時(shí)，函數(shù)? ? ? ? ? ? ? ?滿足：對任意? ? ? ? ? ? ? ? ?，都有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?恒成立，求實(shí)數(shù)? ? 的取值范圍.

思維點(diǎn)撥：

恒成立問題回顧常用的方法有分離參數(shù)、含參討論單調(diào)性等，首選辦法是分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)求最值，若直接通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性求最值，方法較困難，觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，函數(shù)中有指、對結(jié)構(gòu)，利用不等關(guān)系? ? ? ? ? ? ? ，得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，使問題簡化。

解：當(dāng)? ? ? ? ? ?時(shí)，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 恒成立求? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的最大值

此處需要證明不等式

在? ? ? ? ? ?上是增函數(shù)，

且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ? ? ? ? ，故存在? ? ? ? ? ? ? ? ? 使得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?成立，

∴ 等號成立，? ? ? 能取得最大值? ? ，即? ? 的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ?.

方法總結(jié)：如果構(gòu)造出來的函數(shù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，可以考慮運(yùn)用常見不等式進(jìn)行放縮，從圖象的角度看，是以直代曲，同時(shí)注意恒成立求取值范圍的問題，放縮以后，要確保不等式中等號能否取到。

類型二：利用參數(shù)范圍局部放縮

問題2：已知函數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，證明：? ? ? ? ?時(shí)，? ? ? ? ? ? ? .

思維點(diǎn)撥：

已知參數(shù)范圍，證明不等式成立，且函數(shù)指對結(jié)構(gòu)都有，想到利用參數(shù)的范圍對參數(shù)進(jìn)行局部放縮。求不含參函數(shù)的最值較為簡單。

解：

（這兩個(gè)不等式需要證明才能用）

放縮取等號的條件一致都是

變式2. 已知函數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?當(dāng)? ? ? ? ? 時(shí)，證明：

（2）證明：當(dāng)? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ?時(shí)，

令? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，則? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，當(dāng)? ? ? ? ? 時(shí)，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

在? ? ? ? ? ? 上單調(diào)遞增，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

即? ? ? ? ? ? ? ?，

設(shè)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，則? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，當(dāng)? ? ? ? ? ? ? 時(shí)，? ? ? ? ? ? ?，? ? ?單調(diào)遞減;當(dāng)? ? ? ? 時(shí)，? ? ? ? ? ? ，? ? ? 單調(diào)遞增，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

而上式三個(gè)不等號不能同時(shí)成立，故

方法總結(jié)：不等式的證明問題中含有參數(shù)，若直接構(gòu)造函數(shù)含參討論，難以解決的情況下，為避開討論，可以在參數(shù)給定的范圍內(nèi)，進(jìn)行局部放縮，達(dá)到消參的目的，轉(zhuǎn)化為證明不含參的不等式。

類型三：利用已證結(jié)論放縮

問題3：已知函數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ?（? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即自然對數(shù)的底數(shù)）。

（1）若函數(shù)? ? ? ? ?在? ? ? ? ? ?上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)? ?的取值范圍;

（2）在（1）的條件下，當(dāng)? ? ? ? ? ?時(shí)，證明：

思維點(diǎn)撥：

這是一道數(shù)列型不等式問題，通常借助于第一問的結(jié)論對? ?的通項(xiàng)公式進(jìn)行放縮，便于求和。注意觀察? ? 的結(jié)構(gòu)，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆趴s。

解：（1）由題意得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ?恒成立? ? ? ? ? ? ?，故 實(shí)數(shù)? ?的取值范圍為? ? ? ? ? ? ;

（2）由（1）得當(dāng)? ? ? ? ?時(shí)，? ? ? ? 單調(diào)遞減，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

可得? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ，令? ? ? ? ? ? ? ? ?，則? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

對任意的? ? ? ? ? ?成立.

方法總結(jié)：函數(shù)中證明與? 有關(guān)的求和問題，或數(shù)列不等式證明問題，要仔細(xì)觀察不等式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，往往會利用已證結(jié)論進(jìn)行放縮，化繁為簡。

導(dǎo)數(shù)解答題中，函數(shù)多以? ? 、? ? ? 型的函數(shù)與其他函數(shù)結(jié)合的形式出現(xiàn)，當(dāng)然也有一些是與三角函數(shù)相結(jié)合的問題。如果同學(xué)們掌握了一定的放縮方法和技巧，就能將難以處理的函數(shù)轉(zhuǎn)化為較為簡單的函數(shù)。放縮法是解決函數(shù)不等式的一個(gè)利器，但由于放縮法很靈活，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ顷P(guān)鍵一環(huán)。同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中，要注意積累常見的不等結(jié)論，同時(shí)注意等號成立的條件。