煤層底板突水預(yù)測的PCA-Fisher判別模型

薛峰　李希建

摘? 要：為提高小樣本數(shù)據(jù)預(yù)測煤層底板突水狀態(tài)可靠性，結(jié)合主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）與Fisher判別法構(gòu)建煤層底板突水預(yù)測模型。以華北典型礦區(qū)為例，選取12項(xiàng)可直接測量指標(biāo)作為煤層底板突水評價(jià)指標(biāo)，采用主成分分析處理評價(jià)指標(biāo)，用5項(xiàng)主成分代替原有12項(xiàng)指標(biāo)，定性分析煤層底板突水狀態(tài)。利用Fisher判別法分析主成分分析處理結(jié)果，確定評價(jià)集與兩類突水狀態(tài)的距離，進(jìn)行樣本歸類判別。研究表明：回判15組訓(xùn)練樣本并預(yù)測3組待測樣本，誤判率為0%。PCA-Fisher判別模型可減弱指標(biāo)間關(guān)聯(lián)度，在煤層底板突水樣本數(shù)據(jù)有限的情況下，可獲得良好的預(yù)測效果。

關(guān)鍵詞：煤層底板突水 主成分分析（PCA）判別法（Fisher）模型研究

由于我國煤田水文地質(zhì)條件的復(fù)雜性，在煤層開采過程中極易受水害威脅。盡管采取了大量防治措施，但隨著開采深度的增加，煤層水壓逐漸升高，突水災(zāi)害日益加深。煤層底板突水受多種因素的控制，其機(jī)理非常復(fù)雜，且突水?dāng)?shù)據(jù)難以獲得。因此，基于小樣本數(shù)據(jù)高效準(zhǔn)確預(yù)測煤層底板突水狀態(tài)已成為目前研究的迫切需求。

近年來，諸多學(xué)者對煤層底板突水問題的研究取得了一定成果。劉磊、趙德康、申建軍、徐德寶等分別采用灰色理論、熵權(quán)-未確知測度理論、可拓物元模型和突變理論確定指標(biāo)權(quán)重，對煤層底板突水危險(xiǎn)性趨勢進(jìn)行了預(yù)測，但對煤層底板突水影響因素重要程度賦值具有主觀性及隨意性，影響預(yù)測精度。LSTM（Long Short-Term Memory，長短時(shí)記憶）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、改進(jìn)脆弱性指數(shù)法、未確知測度理論等方法利用現(xiàn)場實(shí)測數(shù)據(jù)，驗(yàn)證預(yù)測煤層突水模型準(zhǔn)確性；盡管上述研究方法可預(yù)測煤層底板突水狀態(tài)，但評價(jià)指標(biāo)間重疊性強(qiáng)，計(jì)算過程復(fù)雜，在樣本數(shù)據(jù)有限的情況下，難以精準(zhǔn)預(yù)測突水狀態(tài)。Fisher判別法可很好預(yù)測小樣本數(shù)據(jù)，周健、孫文潔、畢建武、侯恩科等利用Fisher判別法分別預(yù)測了地下礦山礦柱穩(wěn)定性、礦井水文地質(zhì)類型、煤與瓦斯突出類型、風(fēng)化基巖富水性，減少樣本數(shù)據(jù)有限時(shí)對預(yù)測精度的影響。但預(yù)測模型中評價(jià)指標(biāo)眾多且關(guān)聯(lián)性強(qiáng)，僅采用Fisher判別法預(yù)測，計(jì)算過程冗雜，影響預(yù)測精度。

為此，筆者基于主成分分析（PCA）和Fisher判別法建立煤層底板突水預(yù)測模型，選取12項(xiàng)可直接測量指標(biāo)作為煤層底板突水評價(jià)指標(biāo)，減少賦值主觀性，提取煤層底板突水評價(jià)指標(biāo)特征信息，用少量主成分代替原有眾多評價(jià)指標(biāo)，減弱指標(biāo)間關(guān)聯(lián)度，簡化計(jì)算過程，確定評價(jià)集與兩類突水狀態(tài)距離，提高預(yù)測精度，以期在樣本數(shù)據(jù)有限情況下，得到更合理、可靠的煤層底板突水預(yù)測結(jié)果，為礦井防治煤層底板突水事故提供一定理論支撐。

1? 建立PCA-Fisher判別模型

1.1 主成分分析方法

主成分分析本質(zhì)上是一種有效的降維手段，其核心是將原始數(shù)據(jù)通過線性組合，利用矩陣正交變換將初始信息提煉，用較少主成分線性函數(shù)與特定成分之和表達(dá)原有眾多指標(biāo)，消除指標(biāo)間相關(guān)性，降低預(yù)測樣本復(fù)雜度、提高預(yù)測精度。分析步驟如下：

1）建立原始數(shù)據(jù)矩陣，表達(dá)式為：

2）將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，可表示為：

3）求相關(guān)系數(shù)矩陣G，表達(dá)式為：

4）計(jì)算矩陣G特征值及特征向量，表達(dá)式為：

經(jīng)計(jì)算得出特征值λi（i=1，2，3，，p），并按其大小順序進(jìn)行排列后分別求出特征值所對應(yīng)的特征向量。

5）確定主成分?jǐn)?shù)目。計(jì)算單個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率及主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率，取累計(jì)貢獻(xiàn)率S≥85%所對應(yīng)的前h個(gè)主成分。

第h個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率，可表示為：

前h個(gè)主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率，可表示為：

6）經(jīng)線性組合后可得y=AX，即：

式（7）中線性變換要滿足以下條件：①；②；③yi是與y1，y2，…，yi-1都不相關(guān)的x1，x2，…，xi全部線性組合中方差最大者。

組合中方差最大者。

1.2 Fisher判別模型

Fisher判別法中心思想為投影，即將原始的n組p維數(shù)據(jù)依據(jù)方差分析原理投影到某方向，將原始的多維數(shù)據(jù)簡化為一維函數(shù)。設(shè)從總體中選取m組具有p項(xiàng)指標(biāo)的樣本作為觀測數(shù)據(jù)，運(yùn)用方差分析原理構(gòu)造一個(gè)或多個(gè)判別函數(shù)為[15]。

預(yù)測煤層底板是否突水時(shí)Fisher判別準(zhǔn)則如下：

煤層底板突水樣本共有2個(gè)類別，即突水與未突水。設(shè)樣本數(shù)為ni，每個(gè)樣本有p項(xiàng)指標(biāo)，協(xié)方差矩陣及均值分別為x（i），。為判定新樣本是否突水，構(gòu)建判別函數(shù)為：

式中。

y（x）在總體上的樣本均值及樣本方差為：

式中，和Si表示總體內(nèi)x的樣本均值向量和樣本協(xié)方差陣。若為樣本總均值向量，則。

最大離差比γ可表示為：

式中，，為組內(nèi)離差平方和；，為組間離差平方和。

根據(jù)極值存在必要條件，經(jīng)代數(shù)計(jì)算，可構(gòu)造t（t為E-1B非零特征值個(gè)數(shù)）個(gè)判別函數(shù)。

單個(gè)判別函數(shù)的判別能力定義為：

式中，λ為E-1B對應(yīng)的特征值。

前h個(gè)判別函數(shù)的判別能力定義為：

若Ps≥85%，可采用前h判別函數(shù)進(jìn)行判別。將新樣本p項(xiàng)指標(biāo)函數(shù)帶入判別函數(shù)中即可求出y值，將其與判別臨界值進(jìn)行比較，即可判定該樣本是否突水。

2? 煤層底板突水主成分分析

2.1 煤層底板突水預(yù)測指標(biāo)的確定

煤層底板突水事故的影響因素多而復(fù)雜，所選取的指標(biāo)將直接影響評價(jià)結(jié)果。為減少主觀性，提高預(yù)測準(zhǔn)確性，根據(jù)華北典型礦區(qū)資料，結(jié)合前人研究結(jié)果選取12項(xiàng)可直接測量指標(biāo)作為煤層底板突水評價(jià)指標(biāo)，18組煤層底板樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，編號為1～18。X1為含水層厚度、X2為水壓、X3為隔水層厚度、X4為砂石比、X5為泥石比、X6為煤層底板標(biāo)高、X7為煤層傾角、X8為斷層落差、X9為距斷層距離、X10為開采高度、X11為開采深度、X12為采動(dòng)速度。具體煤層底板突水樣本數(shù)據(jù)見表1。

2.2 主成分分析結(jié)果

利用SPSS（Statistical Product and Service Solutions），統(tǒng)計(jì)產(chǎn)品與服務(wù)解決方案軟件），對表1中18組樣本數(shù)據(jù)、12項(xiàng)評價(jià)指標(biāo)進(jìn)行主成分分析，由此得出煤層底板突水各主成分的特征值及貢獻(xiàn)率，見表2；煤層底板突水PCA碎石特征值及累計(jì)貢獻(xiàn)率圖，見圖2。由表2可知，前5項(xiàng)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率為85.044%，說明前5項(xiàng)主成分包含原有指標(biāo)數(shù)據(jù)85.044%的信息。由圖2可知，前5個(gè)主成分特征值散點(diǎn)圖呈陡坡形，后5個(gè)主成分特征散點(diǎn)圖趨于平緩，表明前5項(xiàng)主成分可以較好的解釋煤層底板突水原始指標(biāo)的絕大部分信息，且各成分間的重疊性弱。因此，提取前5項(xiàng)主成分代替原有的12項(xiàng)指標(biāo)更為合適。

利用SPSS軟件，求得煤層底板突水5個(gè)主成分的因子載荷矩陣，見表3。其中，第1主成分Y1與指標(biāo)X6、X1、X12、X8、X4、X5、X10、X11顯著相關(guān)，表明Y1包含煤層底板標(biāo)高、含水層厚度、采動(dòng)速度、斷層落差、砂石比、泥石比、開采高度及開采深度的指標(biāo)信息；第2主成分Y2與指標(biāo)X2顯著相關(guān)，表明Y2包含水壓的指標(biāo)信息。同樣可以確定，第3主成分Y3包含X3隔水層厚度的指標(biāo)信息；第4主成分Y4包含X9距斷層距離的指標(biāo)信息；第5主成分Y5包含X7煤層傾角的指標(biāo)信息。

2.3 主成分分析煤層底板突水狀態(tài)

表4為主成分得分?jǐn)?shù)據(jù)。根據(jù)主成分Y1和Y2得分?jǐn)?shù)據(jù)，畫出樣本得分散點(diǎn)圖，如圖3所示。由表4和圖3可知：Y1和Y2主成分分別包含原始指標(biāo)信息的38.632%和18.080%。樣本編號為1、5、11、15、17的5個(gè)樣本分布在主成分Y1、Y2的正向區(qū)間（第Ⅰ象限），Y1、Y2主成分得分較大，結(jié)合實(shí)際情況可知，這5個(gè)樣本都屬于突水狀態(tài)。樣本編號為4、12、13、16、18的5個(gè)樣本分布在主成分Y1、Y2的負(fù)向區(qū)間（第Ⅲ象限），結(jié)合實(shí)際情況可知，這5個(gè)樣本都屬于未突水狀態(tài)。

由表2和圖3可知：Y1和Y2主成分得分散點(diǎn)圖包含原始數(shù)據(jù)54.712%信息，且Y1、Y2特征值均大于2。除Y1、Y2外，其他主因子對原有信息涵蓋較少，無法定性描述煤層底板突水狀態(tài)。

3? 評價(jià)煤層底板突水狀態(tài)

3.1 預(yù)測煤層底板突水狀態(tài)

基于主成分分析法，將提取的5個(gè)主成分，即Y1～Y5作為Fisher判別指標(biāo)輸入層，將樣本編號1～15組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本輸入，16～18組數(shù)據(jù)作為預(yù)測樣本輸出，輸出參數(shù)為煤層底板突水狀態(tài)。利用SPSS軟件，由Fisher判別法計(jì)算可得判別函數(shù)，見式（13）。

判別函數(shù)G對應(yīng)的特征值為7.066，典型相關(guān)性達(dá)到0.936，大于0.85，說明其判別能力顯著，方差為100.00%，表明運(yùn)用函數(shù)G即可解釋樣本全部信息。

煤層底板突水狀態(tài)中心值，見表5。在判別函數(shù)G中，未突水的中心值為-2.645，突水的中心值為2.315。通過比較預(yù)測樣本函數(shù)值與突水狀態(tài)中心值的距離，即取兩者差值絕對值，根據(jù)絕對值最小所在類別確定樣本最終突水狀態(tài)。

為檢驗(yàn)PCA-Fsher判別模型的準(zhǔn)確性及可靠性，將15組訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)逐一回代，通過比較樣本函數(shù)值與突水狀態(tài)中心值的距離，確定樣本的突水狀態(tài)。1～15組回判函數(shù)、16～18組判斷函數(shù)值，結(jié)果見表6。

3.2 結(jié)果分析

PCA-Fisher判別對1～15組訓(xùn)練樣本回判結(jié)果全部正確，16～18組預(yù)測樣本全部正確，回判及預(yù)測過程中都沒有造成誤判。主成分分析提取影響煤層底板突水指標(biāo)主成分，減弱各指標(biāo)間關(guān)聯(lián)性。Fisher判別模型預(yù)測煤層底板突水狀態(tài)，利用判別函數(shù)對訓(xùn)練樣本進(jìn)行回判，提高小樣本預(yù)測效率及精度。綜上表明：PCA-Fisher判別模型預(yù)測小樣本煤層底板突水穩(wěn)定程度高且較為可靠，能滿足突水判別的實(shí)際要求。

4? 結(jié)論

1）采用主成分分析對影響煤層底板突水指標(biāo)進(jìn)行降維處理，確定5個(gè)主成分代替原有的12項(xiàng)評價(jià)指標(biāo)，降低指標(biāo)信息間關(guān)聯(lián)度，提高預(yù)測精度。

2）將確定的主成分，帶入Fisher判別中，前15組樣本數(shù)據(jù)逐一回判，后3組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果均與實(shí)際數(shù)據(jù)一致。

3）煤層底板突水預(yù)測的PCA-Fisher判別模型具有較高的穩(wěn)定性及可靠性，簡化了判別模型，提高了預(yù)測效率。

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