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      配方法在初中數(shù)學(xué)解題中的靈活運(yùn)用

      2022-04-29 07:25:08戴曉峰

      戴曉峰

      摘要:配方法是初中數(shù)學(xué)中恒等變形的一種重要方法,也是一種靈活、廣泛運(yùn)用的高效解題方法.本文中結(jié)合典型例題的具體分析,探討了在各類題型中靈活運(yùn)用配方法解題的方法與技巧問題.

      關(guān)鍵詞:挖掘關(guān)系;觀察配方;湊項(xiàng)配方;利用公式

      1 引言

      在初中數(shù)學(xué)中,配方法是一種能夠靈活運(yùn)用、十分重要且有效的解題思想和方法.它常見于各類數(shù)學(xué)問題的解答之中,現(xiàn)將其常見的解題思路與方法歸類解析如下.

      2 配方法在各類題型中的靈活運(yùn)用

      2.1 在代數(shù)式運(yùn)算中的運(yùn)用

      例1 已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x=6-y,z2=xy-9,試求x,y,z的值.

      解:把x=6-y代入z2=xy-9中,得

      2=(6-y)y-9=-(y-3)2,即

      2+(y-3)2=0????? ①

      因?yàn)閥,z是實(shí)數(shù),所以z2≥0,(y-3)2≥0.

      欲使①式成立,則z=0,y=3,此時(shí)x=3.

      故x=y=3,z=0.

      思路與方法:本題的題設(shè)條件中等式只有2個(gè),而未知元卻有3個(gè),要想求出這三個(gè)未知量,還應(yīng)挖掘條件中等式隱含的某種特殊關(guān)系,這就需要運(yùn)用配方法,例如通過把x=6-y代入z2=xy-9中,再化為z2+(y-3)2=0,這樣就等于消去了一個(gè)未知元x,達(dá)到了化繁為簡的目的.

      例2 設(shè)x=n+1-nn+1+n,y=n+1+nn+1-n(n為自然數(shù)),當(dāng)n為何值時(shí),等式x2+1 504xy+y2=1 986成立?

      解:x+y=n+1-nn+1+n+n+1+nn+1-n=(n+1-n)2+(n+1+n)2(n+1+n)(n+1-n)=4n+2,

      xy=n+1-nn+1+n×n+1+nn+1-n=1.

      故由x2+1 504xy+y2=(x+y)2+1 502xy=(4n+2)2+1 502=1 986,解得n=5.

      思路與方法:通過觀察發(fā)現(xiàn),題設(shè)條件中,x與y互為倒數(shù),容易求出x+y和xy的值;再將要求的等式左邊利用配方法變化成含x+y和xy的形式,即可輕松求解.

      2.2 在解方程中的運(yùn)用

      例3 解方程:x29+16x2=103x3-4x.

      解:因?yàn)閤29-83+16x2=x3-4x2,所以原方程可變形為x3-4x2+83=103x3-4x.

      設(shè)y=x3-4x,代入上述方程,得y2+83=103y.

      整理得3y2-10y+8=0,解得y1=43,y2=2.

      再由43=x3-4x和2=x3-4x,

      解得原方程的四個(gè)根分別為

      x1=6,x2=-2,x3,4=3±21.

      思路與方法:通過觀察發(fā)現(xiàn),方程左邊的兩項(xiàng)x29和16x2分別是右邊括號(hào)內(nèi)的兩項(xiàng)x3與4x的平方.這就啟發(fā)我們,可以通過“湊項(xiàng)”的方法將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于新未知數(shù)y=x3-4x的方程,進(jìn)行求解.

      例4 求方程x+y-1+z-2=12(x+y+z)的實(shí)數(shù)解.

      解:原方程可變形為:2x+2y-1+2z-2=x+y+z

      (x-2x+1)+[(y-1)-2y-1+1]+[(z-2)-2z-2+1]=0

      (x-1)2+(y-1-1)2+(z-2-1)2=0.

      根據(jù)實(shí)數(shù)性質(zhì),可得x=1,y-1=1,z-2=1,解得x=1,y=2,z=3.

      經(jīng)檢驗(yàn),x=1,y=2,z=3是原方程的解.

      思路與方法:一般來說,當(dāng)未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)時(shí),方程(組)的解就有了不確定性[1].例如本題通過配方,將左邊湊成了三個(gè)完全平方式之和,而右邊為零,利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì),就暴露了問題的特殊性,即x-1=0,y-1-1=0,z-2-1=0三者同時(shí)成立,則原方程同解于三個(gè)方程組成的方程組,從而順利解決問題.

      2.3 在函數(shù)中的運(yùn)用

      例5 求函數(shù)y=x4+x2+1的最小值.

      解:y=x4+x2+1=(x2)2+x2+1

      =x2+122+34.

      因?yàn)閤2≥0,x2的最小值是0,所以,當(dāng)x=0時(shí),y=0+122+34=1,即所求函數(shù)的最小值為1.

      思路與方法:一般來說,當(dāng)自變量取值范圍有限制時(shí),要求y=ax2+bx+c的最值,不能輕易套用最值公式,應(yīng)先通過配方再求最值,防止出錯(cuò).例如在本題中,如果直接套用二次函數(shù)的最值公式y(tǒng)=4ac-b24a,當(dāng)x2=-b2a=-12時(shí),y取得最小值,這是不可能的,因?yàn)閤2≥0,x2不能取-12.

      例6 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最小值12,且a∶b∶c=1∶3∶2,求此函數(shù)的解析式.

      解:設(shè)函數(shù)的解析式為y=a(x+h)2-12(a>0).

      因?yàn)閍∶b=1∶3,所以b2a=32=h,此時(shí),函數(shù)的解析式為y=ax+322-12=ax2+3ax+9a-24.

      由條件c∶a=2∶1,得9a-24=2a,即a=2.

      故所求二次函數(shù)的解析式為y=2x+322-12,

      即y=2x2+6x+4.

      思路與方法:由本題的題設(shè)可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為-32,-12,所以設(shè)二次函數(shù)解析式為“配方式”求解較為方便.

      2.4 在平面幾何中的運(yùn)用

      例7 如圖1,在△ABC中,∠A+∠C=2∠B,其中最大邊與最小邊分別是方程3x(x-9)+32=0的兩根,求△ABC的內(nèi)切圓面積.

      解:因?yàn)椤螦+∠C=2∠B,

      所以3∠B=180°,即

      ∠B=60°.因?yàn)槿切沃凶畲蠼遣恍∮?0°,最小角

      不大于60°,而∠B=60°,所以∠B必是最大邊與最小邊的夾角.

      原方程整理為3x2-27x+32=0.

      設(shè)△ABC最大邊為a,最小邊為c,則a,c為方程的兩根.由韋達(dá)定理可知a+c=9,ac=323.

      由余弦定理,可知b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-3ac=92-3\5323=49,解得b=7.

      所以S△ABC=12acsin B=12\5323\532=833.

      由S△ABC=12(a+b+c)r(r為三角形內(nèi)切圓半徑),得

      r=2S△ABCa+b+c=2×8339+7=33.

      故三角形內(nèi)切圓面積為S=πr2=13π.

      思路與方法:本題如果采用常規(guī)方法,通過求解方程的兩根來計(jì)算內(nèi)切圓的面積,運(yùn)算會(huì)非常繁瑣,所以另辟蹊徑,巧用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及配方法[2],則計(jì)算過程簡捷多了.

      例8 已知,a,b,c,d皆為正數(shù),且滿足a4+b4+c4+d4=4abcd.

      求證:以a,b,c,d為邊的四邊形為菱形.

      證明:將條件式變形為a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2+2c2d2-4abcd=0.

      即(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0.

      所以a2-b2=0,c2-d2=0,ab-cd=0.

      解得a=b=c=d.

      所以,以a,b,c,d為邊的四邊形為菱形.

      思路與方法:證明本題的主要技巧在于利用完全平方公式將條件式配方變形,只需要證明a=b=c=d即可.

      2.5 在根式運(yùn)算中的運(yùn)用

      例9 化簡:x+2x-1+x-2x-1(其中x≥1).

      解:

      x+2x-1+x-2x-1

      =(x-1)+2x-1+1+

      (x-1)-2x-1+1

      =(x-1+1)2+(x-1-1)2

      =x-1+1+x-1-1

      =2x-1,x≥2,2,1≤x<2.

      思路與方法:本題利用配方法,將根式中的代數(shù)式配成完全平方式以便求其算術(shù)平分根,其中將x改寫成x-1+1的形式是解題的關(guān)鍵.

      3 結(jié)論

      從上述典型例題思路與方法的解析中可以看出,靈活運(yùn)用配方法解題,關(guān)鍵是要在儲(chǔ)備大量基礎(chǔ)知識(shí)、能嫻熟運(yùn)用相關(guān)公式、定理、性質(zhì)的基礎(chǔ)上,有目的地去“變形配方”,充分運(yùn)用發(fā)散思維,多角度思考、多途徑嘗試、多聯(lián)想、多分析、多訓(xùn)練,從中尋找、挖掘條件之間、條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.長此以往,堅(jiān)持訓(xùn)練,一定能夠提高綜合解題能力.

      參考文獻(xiàn):

      [1]王亞峰.配方法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].理科考試研究,2016(8):1.

      [2]劉夢.配方法在解題中的運(yùn)用[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué),2021(13):20-21,14.

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